Построение касательной окружности к двум прямым с ограничениями для точек касания

@Ромуальд_7 · Регистрация: 11.04.2015

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Всем доброго времени суток!
Прошу вашей помощи в решении простой (но которая не даётся мне) задачи:
существуют две прямые заданные двумя (различными) точками и направляющими векторами; необходимо построить окружность, которая касалась бы обеих прямых, при этом, чтобы точки касания находились выше тех, которыми заданы прямые.
На приложенном рисунке изображены условия и три сценария: все окружности касаются прямых (с этим проблем нет), но жёлтая (1) и синяя (2) удовлетворяют требованиям к решению, а розовая (3) касается второй прямой "слишком поздно".
Таким образом, нужно найти множество точек биссектрисы угла, образованного данными прямыми, на которых мог бы разместиться центр окружности так, чтобы точки касания "не заходили" бы за начальные точки прямых.
Я составил систему уравнений для этой задачи:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A_1*x+B_1*y+C_1 <= 0$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A_2*x+B_2*y+C_2 <= 0$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A_{p1}*x+B_{p1}*y+C_{p1} = 0$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A_{p2}*x+B_{p2}*y+C_{p2} = 0$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?X_{perp1}>X1; Y_{perp1}>Y1;$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?X_{perp2}<X2; Y_{perp2}>Y2;$
где: An,Bn и Сn - соответствующие коэффициенты в каноническом виде уравнений прямых 1 и 2; Apn,Bpn и Сpn - соответствующие коэффициенты в каноническом виде уравнений перпендикуляров к соответствующим прямым (к 1 и ко 2); Xperpn, Ypeprn - координаты точек касания на соответствующих прямых (1-й и 2-й).
Изначально всё должно было решаться через solve с символьными переменными Xperp1, Ypepr1, Xperp2, Ypepr2 (данные для вставки в solve убраны):

Matlab M
1
2
3
4
5
syms xperp1 yperp1 xperp2 yperp2
x = 100*rand(1,10000);
y = 100*rand(1,10000);
[a1, a2, a3, a4] = solve([A1*x+B1*y+C1<=0, A2*x+B2*y+C2<=0, Ap1*x+Bp1*y+Cp1==0, Ap2*x+Bp2*y+Cp2==0,...
     xperp1>X1, yperp1>Y1, xperp2<X2, yperp2>Y2], [xperp1, yperp1, xperp2, yperp2]);

, после чего я должен был лицезреть массивы точек допустимого касания, однако лицезрел отсутствие явных решений.
Я полагаю, дело в том, что в уравнении присутствует некоторая базисная сетка x,y, по которой и ведётся поиск решений (и, естественно, не найдётся никогда (с высокой вероятностью)), но что же делать?
Как задать ограничения, не опираясь на множество точек поиска?

В этих уравнениях через символьные переменные вычисляются коэффициенты Cp1 = -(xp1*xperp1 + yp1*yperp1), Cp2 = -(xp2*xperp2 + yp2*yperp2)
, где: xpn и ypn - пара координат соответствующего направляющего вектора заданной прямой.

@nuHrBuH · 26.05.2019, 22:29

Если есть уравнение типа $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?ax + by + c = 0$ , то задавать нужно только одно x или y, на то оно и уравнение
А возможно ли найти уравнение бисектрисы? Я бы хотел как-то к радиусу/растоянию привязаться

@Ромуальд_7 · 30.05.2019, 21:01 **[ТС]**

А ларчик просто открывался

1. Составляем уравнения (не неравенства) точно характеризующие местоположение окружности:
Abis*xc+Bbis*yc+Cbis=0 - уравнение биссектрисы через её коэффициенты с явным указанием прохождения через центр искомой окружности (xc, yc),
A1*x1+B1*y1+C1=0 - уравнение прямой по первому вектору с явным указанием её существования в точке касания с искомой окружностью (x1, y1),
(x1-xc)^2+(y1-yc)^2=R^2 - уравнение самой окружности фиксированного радиуса с указанием центра окружности, но вместо геометрического места точек в явном виде указывается лишь одна - точка касания с вектор-линией 1 (x1, y1),
Ap1*(x1-xc)+Bp1*(y1-yc)=0 - уравнение перпендикуляра к вектор-линии 1 в точке её касания с окружностью с явным указанием прохождения её через точку касания и центр окружности. Является излишним уравнением по геометрическому смыслу, однако Матлабу (Боже, Матлаб храни) не нравится отсутствие этого уравнения в системе настолько, что решение (как он считает, что неверно, разумеется) находится только в комплексной области чисел.
Вот это всё стчастье реализуем таким образом:

Matlab M
1
2
3
4
5
6
syms y1 x1 yc xc
[xcsol, ycsol, x1sol, y1sol] = solve([Abis*xc+Bbis*yc+Cbis==0, A1*x1+B1*y1+C1==0, (x1-xc)^2+(y1-yc)^2==Rmin^2, Ap1*(x1-xc)+Bp1*(y1-yc)==0],...
        [xc, yc, x1, y1]);
% plot(double(xcsol(1)), double(ycsol(1)), 'o')
xcsol = double(xcsol);
ycsol = double(ycsol);

Впрочем, разумеется, решение имеет место в двух точках, ведь окружность данного радиуса между пересекающимися прямыми можно построить в двух местах - симметрично относительно точки их пересечения с центром на общей биссектрисе вертикальных углов.
2. После всего этого берём набор точек, в которых имеет место биссектриса:

Matlab M
1
2
3
xb = -100:0.1:200;
yb = (ypbis/xpbis)*(xb-Xperesech)+Yperesech;
plot(xb,yb);

и отсекаем от него участок не удовлетворяющий условиям задачи:

Matlab M
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
    f3 = Ap1*xb+Bp1*yb+Cp1>=0; % отсекаем все точки биссектрисы, находящиеся ниже перпендикуляра к точке X1, Y1
    f4 = Ap2*xb+Bp2*yb+Cp2<=0; % отсекаем все точки биссектрисы, находящиеся ниже перпендикуляра к точке X2, Y2
    f5 = xb<=xcsol("1" или "2", на выбор);                                          % отсечение точек биссектрисы, лежащих выше (или 
    f6 = yb>=ycsol("1" или "2", соответствующе предыдущей строке); % ниже) точки центра окружности минимально 
                                                                                                           допустимого радиуса
   % в данном случае неравенства написаны для представленной на картинке выше ситуации, но вообще говоря, этих
   % ситуаций 16 вариантов с двумя подвариантами в половине случаев
    L = f3 & f4 & f5 & f6; % объединяем всю вышеописанную логику в единую функцию
    aa = xb(L);
    bb = yb(L);
   % и выбрасываем, то что не удовлетворяет условиям
    plot(aa,bb,'.')

Вот таким образом будут найдены все точки, полностью удовлетворяющие всем начальным условиям

@Centurio · 30.05.2019, 23:43

Ромуальд_7, я бы сделал так: нашёл бы пересечение прямых; выбрал бы из двух данных точек ту, которая ближе к точке пересечения; определил бы точку пересечения перпендикуляра из выбранной точки с биссектрисой. Интервал на биссектрисе от точки пересечения прямых до точки пересечения перпендикуляра с биссектрисой и будет геометрическим местом центов окружностей.

@Ромуальд_7 · 31.05.2019, 00:05 **[ТС]**

Centurio, да, это хороший метод, но в дальнейшем потребовался бы поиск центра окружности заданного радиуса и тут уже так просто не выходит, к сожалению; но спасибо Вам!

@Centurio · 31.05.2019, 00:09

Сообщение от Ромуальд_7

но в дальнейшем потребовался бы поиск центра окружности заданного радиуса и тут уже так просто не выходит

А что там сложнее по отношению к решению, полученного вашим методом? У вас решение будет то же самое.

@Ромуальд_7 · 31.05.2019, 14:30 **[ТС]**

Centurio, это я добавил по отношению к Вашему предложению

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Оттенки серого Argus19 18.03.2026 Оттенки серого Нашёл в интернете 3 прекрасных модуля: Модуль класса открытия диалога открытия/ сохранения файла на Win32 API; Модуль класса быстрого перекодирования цветного изображения в оттенки. . .	SDL3 для Desktop (MinGW): Рисуем цветные прямоугольники с помощью рисовальщика SDL3 на Си и C++ 8Observer8 17.03.2026 Содержание блога Финальные проекты на Си и на C++: finish-rectangles-sdl3-c. zip finish-rectangles-sdl3-cpp. zip	Символические и жёсткие ссылки в Linux. algri14 15.03.2026 Существует два типа ссылок — символические и жёсткие. Ссылка в Linux — это запись в каталоге, которая может указывать либо на inode «файла-ИСТОЧНИКА», тогда это будет «жёсткая ссылка» (hard link),. . .	[Owen Logic] Поддержание уровня воды в резервуаре количеством включённых насосов: моделирование и выбор регулятора ФедосеевПавел 14.03.2026 Поддержание уровня воды в резервуаре количеством включённых насосов: моделирование и выбор регулятора ВВЕДЕНИЕ Выполняя задание на управление насосной группой заполнения резервуара,. . .
делаю науч статью по влиянию грибов на сукцессию anaschu 13.03.2026 прикрепляю статью	SDL3 для Desktop (MinGW): Создаём пустое окно с нуля для 2D-графики на SDL3, Си и C++ 8Observer8 10.03.2026 Содержание блога Финальные проекты на Си и на C++: hello-sdl3-c. zip hello-sdl3-cpp. zip Результат:	Установка CMake и MinGW 13.1 для сборки С и C++ приложений из консоли и из Qt Creator в EXE 8Observer8 10.03.2026 Содержание блога MinGW - это коллекция инструментов для сборки приложений в EXE. CMake - это система сборки приложений. Здесь описаны базовые шаги для старта программирования с помощью CMake и. . .	Как дизайн сайта влияет на конверсию: 7 решений, которые реально повышают заявки Neotwalker 08.03.2026 Многие до сих пор воспринимают дизайн сайта как “красивую оболочку”. На практике всё иначе: дизайн напрямую влияет на то, оставит человек заявку или уйдёт через несколько секунд. Даже если у вас. . .

@nuHrBuH 483 / 427 / 205 Регистрация: 04.03.2011 Сообщений: 1,259
	26.05.2019, 22:29
	Если есть уравнение типа $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?ax + by + c = 0$ , то задавать нужно только одно x или y, на то оно и уравнение А возможно ли найти уравнение бисектрисы? Я бы хотел как-то к радиусу/растоянию привязаться 1

@Centurio Модератор 1765 / 1610 / 541 Регистрация: 13.09.2015 Сообщений: 5,629
	30.05.2019, 23:43
	Ромуальд_7, я бы сделал так: нашёл бы пересечение прямых; выбрал бы из двух данных точек ту, которая ближе к точке пересечения; определил бы точку пересечения перпендикуляра из выбранной точки с биссектрисой. Интервал на биссектрисе от точки пересечения прямых до точки пересечения перпендикуляра с биссектрисой и будет геометрическим местом центов окружностей. 1

@Ромуальд_7 194 / 29 / 5 Регистрация: 11.04.2015 Сообщений: 735
	31.05.2019, 00:05 [ТС]
	Centurio, да, это хороший метод, но в дальнейшем потребовался бы поиск центра окружности заданного радиуса и тут уже так просто не выходит, к сожалению; но спасибо Вам! 0

@Ромуальд_7 194 / 29 / 5 Регистрация: 11.04.2015 Сообщений: 735
	31.05.2019, 14:30 [ТС]
	Centurio, это я добавил по отношению к Вашему предложению 0