Заметка по поступательному и вращательному движениям

zer0mail · Регистрация: 03.07.2012

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Сравнение понятий для поступательного и вращательного движений тел

Поступательное движение:

Кликните здесь для просмотра всего текста

Импульс P движущегося тела связан с массой m и скоростью V: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec P=m*\vec V$
Суммарный импульс тел сохраняется при отсутствии действующих на систему внешних сил, но импульс отдельного тела в системе может меняться за счет столкновения (передаваться от одного тела другому).
Важностью импульса, надеюсь, прониклись

. Как он меняется? Чтобы импульс изменился, должна измениться масса или скорость. Изменение массы здесь не будем рассматривать (это вопрос теории относительности Эйнштейна), а изменение скорости есть ускорение. Если на тело действует сила F, то тело ускорятся и величина ускорения $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A=\frac{F}{m}$ . Видно, что чем больше масса, тем меньше ускорение при той же воздействующей силе.
Если на систему действует сила F, производная импульса системы $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{dP}{dt}=F$ (замечание: не зависит от массы!). Отсюда: Если на систему в течении времени действует сила F, импульс системы изменится на $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\Delta P=F*T$
Вопрос: сколько времени надо, чтобы остановить тело с импульсом P (или чтобы придать покоящемуся телу импульс P), действуя силой F?
Ответ: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?T=\frac{P}{F}$ , "чем больше у тела импульс, тем дольше по времени его надо тормозить".

Кликните здесь для просмотра всего текста

Кинетическая энергия E тела массы m, движущегося со скоростью V: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?E=\frac{m*V^2}{2}$
Если тело движется со скорость V и него в течении малого времени T воздействует сила F, то как меняется кинетическая энергия тела?
Доказывать не буду, напишу формулу: энергия увеличится на $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\Delta E=(\vec F*\vec V)*T=(\vec F*\vec S)$ , где S -перемещение тела за время T, а скобки - это скалярное произведение векторов.
Если направления векторов совпадают (тело подталкивают), то скалярное произведение равно произведение длин векторов, а если направления противоположны (тело тормозят),
то скалярное произведение равно произведение длин векторов, но со знаком "минус".
Задача: Автомобиль массы m движется со скоростью V. В момент времени t=0 включаются тормоза и на автомобиль действуют сила F (до момента остановки).
Нужно рассчитать все, что можно

Импульс автомобиля P=m*V, Энергия $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?E=\frac{m*V^2}{2}$ , ускорение равно $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A=\frac{F}{m}$ ;
Время до остановки $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?T=\frac{P}{F}$ , пройденный путь $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S=\frac{AT^2}{2}=\frac{AT^2}{2}=\frac{FP^2}{2m*F^2}=\frac{mV^2}{2*F}=E/F$ ,
Итак, взяв "время от импульса" и честно просчитав ускорение и пройденный путь, пришли к тому, что <СилаТорможения>*Путь=<КинетическаяЭнерг ияТела>,
т.е. сила трения, действуя против направления движение тела, отняла всю кинетическую энергию. Это не доказательство формулы $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\Delta E=(\vec F*\vec S)$ , а иллюстрация того факта, что в физике "концы с концами сходятся" и разные (но правильные) пути приводят к одному и тому же результату

Кликните здесь для просмотра всего текста

Кинетическая энергия системы тел при отсутствии внешних сил сохраняется при упругих соударениях (при неупругих нет, но импульс сохраняется и при неупругих).
Если система тел находится в поле тяжести (или другом потенциальном поле) то при отсутствии других внешних сил (кроме силы тяжести) сохраняется сумма кинетических и потенциальных энергий.

Вращательное движение:

Кликните здесь для просмотра всего текста

Аналогом импульса для вращающегося тела является момент импульса $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec L$ , аналогом скорости является угловая скорость $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec \Omega$ , аналогом массы момент инерции I, аналогом силы момент силы $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec M$ (можно спутать с массой, но такое обозначение принято...).
Важно: тело вращается вокруг некоторой оси и вышеперечисленные параметры надо брать относительно этой оси (есть формулы пересчета от одной оси к другой).
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec L=(I)*\vec \Omega$ ключевая формула, связывающая момент импульса L, момент инерции и угловую скорость. Угловая скорость $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\Omega$ считается в радианах/сек и связана с "обычной" скоростью вращения N(об/сек) формулой $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\Omega=2\pi*N$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec L$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec \Omega$ - это вектора, а вот I - это так называемый "тензор инерции"

. При умножении тензора инерции на вектор угловой скорости получается вектор момента импульса, направление которого может не совпадать с направлением вектора угловой скорости. Вот такое "маленькое" усложнение при переходе от поступательного движения к вращательному - если для вычисления поступательного импульса надо было просто умножить скорость на число (массу), то здесь надо делать матричное умножение на тензор момента инерции. Если вектор - это три числа (координаты его по осям), то тензор инерции – это 6 различных чисел

Кликните здесь для просмотра всего текста

К счастью, не все так плохо (есть и плюсы). Оказывается, каждое тело имеет три особых, взаимно перпендикулярных оси (обозначим их О1,О2,О3), при вращении вокруг которых для получения момента импульса надо угловую скорость умножить на число (момент инерции относительно этой оси). Для любого тела есть три таких особых оси O1,O2,O3 и три числа I1,I2,I3. Для некоторых тел два из этих трех чисел совпадают. А есть и такие тела, для которых все три числа совпадают (шар, куб, любое платоново тело).
1-й плюс: Для любого тела, у которого все три момента совпадают (I1=I2=I3=I) момент импульса связан с угловой скоростью формулой $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec L=I*\vec \Omega$ , где I-число. Для них все оси - "особые".
2-й плюс: в задачах часто тело вращается вокруг одной из "особых" осей и момент импульса получается умножением угловой скорости на момент инерции относительно этой особой оси (просто число).
3-й плюс: моменты инерции можно не считать, а брать из справочников (например, http://ru.wikipedia.org/wiki/%... 0%F6%E8%E8)
Производная момента импульса по времени равна моменту силы $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{dL}{dt}=M$ (аналог $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{dP}{dt}=F$ ). Сила, направление действия которой проходит через ось, имеет момент силы равный нулю и не изменяет момент импульса системы относительно этой оси (но относительно другой оси может изменять). Поэтому в задачах важно правильно найти ось, относительно которой надо делать расчеты

Кликните здесь для просмотра всего текста

Пусть тело вращается (но его центр масс неподвижен), его "кусочки" движутся и, следовательно, каждый "кусочек" обладает кинетической энергией <масса кусочка>*<скорость кусочка>^2/2.
Сложим кинетические энергии всех кусочков и что получим? А получим кинетическую энергию вращения тела (аналог кинетической энергии движущегося тела)! Но ведь разбивать тело на кусочки, вычислять скорость каждого кусочка, считать энергию и суммировать так сложно. Нельзя ли попроще? Можно и попроще: взглянем на формулу кинетической энергии: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{m*V^2}{2}$ и заменим mV на импульс P: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{P*V}{2}$ . А что такое P*V - это скалярное произведение вектора импульса на вектор скорости (направления-то совпадают). Теперь заменим импульс и скорость на их вращательные аналоги и получим $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?E=\frac{(\vec L*\vec \Omega)}{2}$ . В скобках скалярное произведение векторов (формула правильная, несмотря на "нестрогость" вывода

). Если тело вращается вокруг "особой" оси с моментом инерции I, то $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec L=I*\vec \Omega$ и тогда $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?E=\frac{I*\Omega^2}{2}$ , точно как в поступательном движении (но помните - для "особых" осей

).

Кликните здесь для просмотра всего текста

Чтобы вычислить энергию тела массы m, которое движется и вращается, надо его движение представить как сумму поступательного движения со скоростью V и вращательного со скоростью $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\Omega$ , проходящего через центр масс. Полная энергия движения – это сумма поступательных и вращательных движений: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?E=\frac{m*V^2}{2}+\frac{(\vec L*\vec \Omega)}{2}$ ,

Кому это интересно, можете почитать статьи из интернета, например: http://bog5.in.ua/lection/mech... 8_meh.html

vetvet · 07.12.2012, 15:23

Не по теме:

zer0mail, вы бы хоть под спойлер по абзацам это спрятали.

zer0mail · 07.12.2012, 15:51 **[ТС]**

Уже поздно, да и какой смысл? Кому надо - придется "раскрывать"

А кому не надо - тоже

vetvet · 07.12.2012, 16:15

Не по теме:

Сообщение от zer0mail

Кому надо - придется "раскрывать"

Если разбить спойлерами на абзацы, то раскрывать по частям и читать удобнее.

Sergeiy_98 · 07.12.2012, 17:49

zer0mail, Ну а что нужно делать? Пока от поступательного до вращательного (остальное завтра). В этой части статьи есть некоторая корявость формулировок.
1. Вопрос: сколько времени надо, чтобы остановить тело с импульсом P (или чтобы придать покоящемуся телу импульс P), действуя силой F? Я бы говорил об изменении импульса.
2. На мой взгляд ( только на мой) в задаче вообще не верно поставлены вопросы, так как вопрос: Рассчитать импульс автомобиля, энергию ... и т.д. эквивалентен вопросу, который всегда смущает студентов: В поле движется частица .. Я спрашиваю в каком - ржаном, магнитном, гравитационном ... Не ясно где и когда надо определять импульс или его изменение, энергию и т. д. ..

Не по теме:

Неужели Вы так свято верите википедии? или интернету? Пока я не согласен не с Вами а с это статьёй.Остальное потом.

zer0mail · 07.12.2012, 19:34 **[ТС]**

Не по теме:

Так в чем проблема - напишите свой вариант (а я покритикую) ;)

Sergeiy_98 · 07.12.2012, 20:15

Проблем нет и каждый может говорить об одном и том же разными словами, только смысл должен быть не искажён. Я бы отличал прямолинейное от криволинейного (вращательного) рассмотрением движение системы координат с тв. телом относительно неподвижной системы отсчёта. При прямолинейном движении центр масс тв.тела переходит из одного положения в другое при неизменной ориентации осей подвижной системы, так называемый параллельный перенос:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec{r} = \vec{r} ( \Delta r)$
Если ориентация осей подвижной системы меняется, совершая малый поворот, то радиус- вектор зависит от угла:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec{r} = \vec {r}(\varphi )$
А в общем случае:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec{r} = \vec{r} ( \varphi, \Delta )$
Ну а далее можно вводить характеристики криволинейного движения. Но это то, что мне нравится и я ни в коем случае не навязываю кому либо своё отличие прямолинейности от криволинейности. Я просто делюсь своим объяснением. А если совсем коротко, то можно различать эти движения по поведению перемещения и пути. Равны их модули или нет, но это для школьников.

zer0mail · 07.12.2012, 20:21 **[ТС]**

Я хотел только помочь понять (тем, кто не понимает), что такое момент имульса, момент сил и т.п. путем проведение аналогий с поступательным движением (которое легче понимается), поскольку на форуме много вопросов по задачам на эту тему. Вращающихся и неинерциальных систем отсчета я не касался (и не собирался).

Если кто-то скажет, прочитав мой опус: "теперь я понял (сам!), как решить задачу" - значит, я старался на зря

Sergeiy_98 · 07.12.2012, 20:41

Сообщение от zer0mail

Если кто-то скажет, прочитав мой опус: "теперь я понял (сам!), как решить задачу" - значит, я старался на зря

Да это лучшая благодарность.

Не по теме:

А насчёт момента сил, у нас в аудитории дверь тяжёлая, дубовая и открывается в коридор. И освободив её от защёлки я мелом ставлю точку ближе к оси и прошу распахнуть её надавив на эту точку. Во общем не занятие, а цирк получается, но народ ощущает момент сил.

zer0mail · 27.11.2019, 15:50 **[ТС]**

Ссылка в начале темы на моменты инерции перестала работать, вот новая: https://ru.wikipedia.org/wiki/Момент_инерции

zer0mail · 30.08.2020, 08:39 **[ТС]**

Небольшое дополнение
Пусть стержень массы m и длины d вращается вокруг своего центра. Его момент импульса $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec{L}=I*\vec{\Omega}$ . Как посчитать момент инерции? Момент инерции -сумма масс частичек*расстояие² от оси вращения.
Значит Iс=k*m*d^2 [1] (k-пока неизвестный коэффициент). А если вращать не вокруг центра, а вокруг одного из концов? По теореме Штейнера I=Ic+m*r^2, где r-расстояние между центром масс и осью вращения. Значит, I=Ic+m*(d/2)^2=k*m*d^2+m*(d/2)^2.
Приклеим к концу такой же стержень, их общий момент инерции удвоится: 2I=2*k*m*d^2+m*d^2/2
С другой стороны, у нас просто стержень массы 2m длины 2d и эти значения можно подставить в [1]
2*k*m*d^2+m*d^2/2 =k*(2m)*(2d)^2=8k*m*d^2
отсюда k=1/12. Этот же результат можно получить интегрированием, но мы не ищем легких путей

Пусть некое тело (для примера диск) с моментом инерции $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?I$ вращается со скоростью $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec{\Omega}$ .
Как описано выше, момент импульса $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec{L}$ связан с моментом инерции $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?I$ и скоростью вращения $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec{\Omega}$ : $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec{L}=I*\vec{\Omega}$

Если диск вращается и движется, то его кинетическая энергия - сумма вращательной и поступательной. А каков его момент импульса относительно некой оси S? Оказывается, момент равен <моменту относительно центра масс> + m*V*r [2], где V-скорость центра масс, а r-расстояние от прямой, по которой движется центр масс, до оси S. Или $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec{Ls}=I*\vec{\Omega}+m[\vec{R}\times\vec{V}]$ , где $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec{R}$ - вектор от оси вращения до цм.

Рассмотрим случай, когда диск движется вправо со скоростью V и вращается против часовой стрелки со скоростью w, причем его цм имеет координату y=0. Тогда точка с координатой y=V/w неподвижна, это мгновенный центр вращения.
Значит, момент L=Iy*w=(I+m*(V/w)^2)*w=I*w+m*V²/w
-------------------------^^^^^^^^ теорема Штейнера

По формуле[2] L=I*w+m*y*V=I*w+m*(V/w)*V=I*w+m*V²/w, т.е такой же. Это конечно не доказательство [2], но все же...

zer0mail · 31.08.2020, 05:35 **[ТС]**

выше надо вместо "оси S" написать "точки S"

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Обмен данными в микросервисной архитектуре ArchitectMsa 06.04.2025 Когда разработчики начинают погружаться в мир микросервисов, они часто сталкиваются с парадоксальным правилом: "два сервиса не должны делить один источник данных". Эта мантра звучит повсюду в. . .	PostgreSQL в Kubernetes: Автоматизация обслуживания с CNPG Mr. Docker 06.04.2025 Администраторы баз данных сталкиваются с целым рядом проблем при обслуживании PostgreSQL в Kubernetes: как обеспечить правильную репликацию данных, как настроить автоматическое переключение при. . .	Async/await в TypeScript run.dev 06.04.2025 Асинхронное программирование — это подход к разработке программного обеспечения, при котором операции выполняются независимо друг от друга. В отличие от синхронного выполнения, где каждая последующая. . .	Многопоточность в C#: Синхронизация потоков UnmanagedCoder 06.04.2025 Многопоточное программирование стало неотъемлемой частью разработки современных приложений на C#. С появлением многоядерных процессоров возможность выполнять несколько задач параллельно значительно. . .	TypeScript: Классы и конструкторы run.dev 06.04.2025 TypeScript, как статически типизированный язык, построенный на основе JavaScript, привнес в веб-разработку новый уровень надежности и структурированности кода. Одним из важнейших элементов этой. . .
Многопоточное программирование: Rust против C++ golander 06.04.2025 C++ существует уже несколько десятилетий и его поддержка параллелизма постепенно наращивалась со временем. Начиная с C++11, язык получил стандартную библиотеку для работы с потоками, а в последующих. . .	std::vector в C++: от основ к оптимизации производительности NullReferenced 05.04.2025 Для многих программистов знакомство с std::vector происходит на ранних этапах изучения языка, но между базовым пониманием и подлинным мастерством лежит огромная дистанция. Контейнер std::vector. . .	Реляционная модель и правила Кодда: фундамент современных баз данных Codd 05.04.2025 Конец 1960-х — начало 1970-х годов был периодом глубоких трансформаций в области хранения и обработки данных. На фоне растущих потребностей бизнеса и правительственных структур существовавшие на тот. . .	Асинхронные операции в Django с Celery py-thonny 05.04.2025 Разработчики Django часто сталкиваются с проблемой, когда пользователь нажимает кнопку отправки формы и. . . ждёт. Секунды растягиваются в минуты, терпение иссякает, а интерфейс приложения замирает. . . .	Использование кэшей CPU: Максимальная производительность в Go golander 05.04.2025 Разработчикам хорошо известно, что эффективность кода зависит не только от алгоритмов и структур данных, но и от того, насколько удачно программа взаимодействует с железом. Среди множества факторов,. . .

zer0mail 2687 / 2259 / 244 Регистрация: 03.07.2012 Сообщений: 8,227 Записей в блоге: 1

	Заметка по поступательному и вращательному движениям 07.12.2012, 15:03. Показов 11939. Ответов 11 Метки нет (Все метки) Сравнение понятий для поступательного и вращательного движений тел Поступательное движение: Кликните здесь для просмотра всего текста Импульс P движущегося тела связан с массой m и скоростью V: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec P=m\vec V$ Суммарный импульс тел сохраняется при отсутствии действующих на систему внешних сил, но импульс отдельного тела в системе может меняться за счет столкновения (передаваться от одного тела другому). Важностью импульса, надеюсь, прониклись . Как он меняется? Чтобы импульс изменился, должна измениться масса или скорость. Изменение массы здесь не будем рассматривать (это вопрос теории относительности Эйнштейна), а изменение скорости есть ускорение. Если на тело действует сила F, то тело ускорятся и величина ускорения $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A=\frac{F}{m}$ . Видно, что чем больше масса, тем меньше ускорение при той же воздействующей силе. Если на систему действует сила F, производная импульса системы $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{dP}{dt}=F$ (замечание: не зависит от массы!). Отсюда: Если на систему в течении времени действует сила F, импульс системы изменится на $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\Delta P=FT$ Вопрос: сколько времени надо, чтобы остановить тело с импульсом P (или чтобы придать покоящемуся телу импульс P), действуя силой F? Ответ: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?T=\frac{P}{F}$ , "чем больше у тела импульс, тем дольше по времени его надо тормозить". Кликните здесь для просмотра всего текста Кинетическая энергия E тела массы m, движущегося со скоростью V: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?E=\frac{mV^2}{2}$ Если тело движется со скорость V и него в течении малого времени T воздействует сила F, то как меняется кинетическая энергия тела? Доказывать не буду, напишу формулу: энергия увеличится на $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\Delta E=(\vec F\vec V)T=(\vec F\vec S)$ , где S -перемещение тела за время T, а скобки - это скалярное произведение векторов. Если направления векторов совпадают (тело подталкивают), то скалярное произведение равно произведение длин векторов, а если направления противоположны (тело тормозят), то скалярное произведение равно произведение длин векторов, но со знаком "минус". Задача: Автомобиль массы m движется со скоростью V. В момент времени t=0 включаются тормоза и на автомобиль действуют сила F (до момента остановки). Нужно рассчитать все, что можно Импульс автомобиля P=mV, Энергия $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?E=\frac{mV^2}{2}$ , ускорение равно $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A=\frac{F}{m}$ ; Время до остановки $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?T=\frac{P}{F}$ , пройденный путь $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S=\frac{AT^2}{2}=\frac{AT^2}{2}=\frac{FP^2}{2mF^2}=\frac{mV^2}{2F}=E/F$ , Итак, взяв "время от импульса" и честно просчитав ускорение и пройденный путь, пришли к тому, что <СилаТорможения>Путь=<КинетическаяЭнерг ияТела>, т.е. сила трения, действуя против направления движение тела, отняла всю кинетическую энергию. Это не доказательство формулы $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\Delta E=(\vec F\vec S)$ , а иллюстрация того факта, что в физике "концы с концами сходятся" и разные (но правильные) пути приводят к одному и тому же результату Кликните здесь для просмотра всего текста Кинетическая энергия системы тел при отсутствии внешних сил сохраняется при упругих соударениях (при неупругих нет, но импульс сохраняется и при неупругих). Если система тел находится в поле тяжести (или другом потенциальном поле) то при отсутствии других внешних сил (кроме силы тяжести) сохраняется сумма кинетических и потенциальных энергий. Вращательное движение: Кликните здесь для просмотра всего текста Аналогом импульса для вращающегося тела является момент импульса $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec L$ , аналогом скорости является угловая скорость $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec \Omega$ , аналогом массы момент инерции I, аналогом силы момент силы $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec M$ (можно спутать с массой, но такое обозначение принято...). Важно: тело вращается вокруг некоторой оси и вышеперечисленные параметры надо брать относительно этой оси (есть формулы пересчета от одной оси к другой). $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec L=(I)\vec \Omega$ ключевая формула, связывающая момент импульса L, момент инерции и угловую скорость. Угловая скорость $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\Omega$ считается в радианах/сек и связана с "обычной" скоростью вращения N(об/сек) формулой $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\Omega=2\piN$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec L$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec \Omega$ - это вектора, а вот I - это так называемый "тензор инерции". При умножении тензора инерции на вектор угловой скорости получается вектор момента импульса, направление которого может не совпадать с направлением вектора угловой скорости. Вот такое "маленькое" усложнение при переходе от поступательного движения к вращательному - если для вычисления поступательного импульса надо было просто умножить скорость на число (массу), то здесь надо делать матричное умножение на тензор момента инерции. Если вектор - это три числа (координаты его по осям), то тензор инерции – это 6 различных чисел Кликните здесь для просмотра всего текста К счастью, не все так плохо (есть и плюсы). Оказывается, каждое тело имеет три особых, взаимно перпендикулярных оси (обозначим их О1,О2,О3), при вращении вокруг которых для получения момента импульса надо угловую скорость умножить на число (момент инерции относительно этой оси). Для любого тела есть три таких особых оси O1,O2,O3 и три числа I1,I2,I3. Для некоторых тел два из этих трех чисел совпадают. А есть и такие тела, для которых все три числа совпадают (шар, куб, любое платоново тело). 1-й плюс: Для любого тела, у которого все три момента совпадают (I1=I2=I3=I) момент импульса связан с угловой скоростью формулой $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec L=I\vec \Omega$ , где I-число. Для них все оси - "особые". 2-й плюс: в задачах часто тело вращается вокруг одной из "особых" осей и момент импульса получается умножением угловой скорости на момент инерции относительно этой особой оси (просто число). 3-й плюс: моменты инерции можно не считать, а брать из справочников (например, http://ru.wikipedia.org/wiki/%... 0%F6%E8%E8) Производная момента импульса по времени равна моменту силы $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{dL}{dt}=M$ (аналог $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{dP}{dt}=F$ ). Сила, направление действия которой проходит через ось, имеет момент силы равный нулю и не изменяет момент импульса системы относительно этой оси (но относительно другой оси может изменять). Поэтому в задачах важно правильно найти ось, относительно которой надо делать расчеты Кликните здесь для просмотра всего текста Пусть тело вращается (но его центр масс неподвижен), его "кусочки" движутся и, следовательно, каждый "кусочек" обладает кинетической энергией <масса кусочка><скорость кусочка>^2/2. Сложим кинетические энергии всех кусочков и что получим? А получим кинетическую энергию вращения тела (аналог кинетической энергии движущегося тела)! Но ведь разбивать тело на кусочки, вычислять скорость каждого кусочка, считать энергию и суммировать так сложно. Нельзя ли попроще? Можно и попроще: взглянем на формулу кинетической энергии: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{mV^2}{2}$ и заменим mV на импульс P: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{PV}{2}$ . А что такое PV - это скалярное произведение вектора импульса на вектор скорости (направления-то совпадают). Теперь заменим импульс и скорость на их вращательные аналоги и получим $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?E=\frac{(\vec L\vec \Omega)}{2}$ . В скобках скалярное произведение векторов (формула правильная, несмотря на "нестрогость" вывода ). Если тело вращается вокруг "особой" оси с моментом инерции I, то $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec L=I\vec \Omega$ и тогда $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?E=\frac{I\Omega^2}{2}$ , точно как в поступательном движении (но помните - для "особых" осей ). Кликните здесь для просмотра всего текста Чтобы вычислить энергию тела массы m, которое движется и вращается, надо его движение представить как сумму поступательного движения со скоростью V и вращательного со скоростью $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\Omega$ , проходящего через центр масс. Полная энергия движения – это сумма поступательных и вращательных движений: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?E=\frac{mV^2}{2}+\frac{(\vec L\vec \Omega)}{2}$ , Кому это интересно, можете почитать статьи из интернета, например: http://bog5.in.ua/lection/mech... 8_meh.html 3

vetvet
	07.12.2012, 15:23
	Не по теме: zer0mail, вы бы хоть под спойлер по абзацам это спрятали. 0

zer0mail 2687 / 2259 / 244 Регистрация: 03.07.2012 Сообщений: 8,227 Записей в блоге: 1
	07.12.2012, 15:51 [ТС]
	Уже поздно, да и какой смысл? Кому надо - придется "раскрывать" А кому не надо - тоже 0

vetvet
	07.12.2012, 16:15
	Не по теме: Сообщение от zer0mail Кому надо - придется "раскрывать" Если разбить спойлерами на абзацы, то раскрывать по частям и читать удобнее. 0

Sergeiy_98 2356 / 1463 / 125 Регистрация: 20.12.2011 Сообщений: 2,223
	07.12.2012, 17:49
	zer0mail, Ну а что нужно делать? Пока от поступательного до вращательного (остальное завтра). В этой части статьи есть некоторая корявость формулировок. 1. Вопрос: сколько времени надо, чтобы остановить тело с импульсом P (или чтобы придать покоящемуся телу импульс P), действуя силой F? Я бы говорил об изменении импульса. 2. На мой взгляд ( только на мой) в задаче вообще не верно поставлены вопросы, так как вопрос: Рассчитать импульс автомобиля, энергию ... и т.д. эквивалентен вопросу, который всегда смущает студентов: В поле движется частица .. Я спрашиваю в каком - ржаном, магнитном, гравитационном ... Не ясно где и когда надо определять импульс или его изменение, энергию и т. д. .. Не по теме: Неужели Вы так свято верите википедии? или интернету? Пока я не согласен не с Вами а с это статьёй.Остальное потом. 0

zer0mail
	07.12.2012, 19:34 [ТС]
	Не по теме: Так в чем проблема - напишите свой вариант (а я покритикую) ;) 0

Sergeiy_98 2356 / 1463 / 125 Регистрация: 20.12.2011 Сообщений: 2,223
	07.12.2012, 20:15
	Проблем нет и каждый может говорить об одном и том же разными словами, только смысл должен быть не искажён. Я бы отличал прямолинейное от криволинейного (вращательного) рассмотрением движение системы координат с тв. телом относительно неподвижной системы отсчёта. При прямолинейном движении центр масс тв.тела переходит из одного положения в другое при неизменной ориентации осей подвижной системы, так называемый параллельный перенос: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec{r} = \vec{r} ( \Delta r)$ Если ориентация осей подвижной системы меняется, совершая малый поворот, то радиус- вектор зависит от угла: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec{r} = \vec {r}(\varphi )$ А в общем случае: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec{r} = \vec{r} ( \varphi, \Delta )$ Ну а далее можно вводить характеристики криволинейного движения. Но это то, что мне нравится и я ни в коем случае не навязываю кому либо своё отличие прямолинейности от криволинейности. Я просто делюсь своим объяснением. А если совсем коротко, то можно различать эти движения по поведению перемещения и пути. Равны их модули или нет, но это для школьников. 0

zer0mail 2687 / 2259 / 244 Регистрация: 03.07.2012 Сообщений: 8,227 Записей в блоге: 1
	07.12.2012, 20:21 [ТС]
	Я хотел только помочь понять (тем, кто не понимает), что такое момент имульса, момент сил и т.п. путем проведение аналогий с поступательным движением (которое легче понимается), поскольку на форуме много вопросов по задачам на эту тему. Вращающихся и неинерциальных систем отсчета я не касался (и не собирался). Если кто-то скажет, прочитав мой опус: "теперь я понял (сам!), как решить задачу" - значит, я старался на зря 0

Sergeiy_98 2356 / 1463 / 125 Регистрация: 20.12.2011 Сообщений: 2,223
	07.12.2012, 20:41
	Сообщение от zer0mail Если кто-то скажет, прочитав мой опус: "теперь я понял (сам!), как решить задачу" - значит, я старался на зря Да это лучшая благодарность. Не по теме: А насчёт момента сил, у нас в аудитории дверь тяжёлая, дубовая и открывается в коридор. И освободив её от защёлки я мелом ставлю точку ближе к оси и прошу распахнуть её надавив на эту точку. Во общем не занятие, а цирк получается, но народ ощущает момент сил. 0

zer0mail 2687 / 2259 / 244 Регистрация: 03.07.2012 Сообщений: 8,227 Записей в блоге: 1
	27.11.2019, 15:50 [ТС]
	Ссылка в начале темы на моменты инерции перестала работать, вот новая: https://ru.wikipedia.org/wiki/Момент_инерции 0

zer0mail 2687 / 2259 / 244 Регистрация: 03.07.2012 Сообщений: 8,227 Записей в блоге: 1
	30.08.2020, 08:39 [ТС]
	Небольшое дополнение Пусть стержень массы m и длины d вращается вокруг своего центра. Его момент импульса $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec{L}=I\vec{\Omega}$ . Как посчитать момент инерции? Момент инерции -сумма масс частичекрасстояие² от оси вращения. Значит Iс=kmd^2 [1] (k-пока неизвестный коэффициент). А если вращать не вокруг центра, а вокруг одного из концов? По теореме Штейнера I=Ic+mr^2, где r-расстояние между центром масс и осью вращения. Значит, I=Ic+m(d/2)^2=kmd^2+m(d/2)^2. Приклеим к концу такой же стержень, их общий момент инерции удвоится: 2I=2kmd^2+md^2/2 С другой стороны, у нас просто стержень массы 2m длины 2d и эти значения можно подставить в [1] 2kmd^2+md^2/2 =k(2m)(2d)^2=8kmd^2 отсюда k=1/12. Этот же результат можно получить интегрированием, но мы не ищем легких путей Пусть некое тело (для примера диск) с моментом инерции $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?I$ вращается со скоростью $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec{\Omega}$ . Как описано выше, момент импульса $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec{L}$ связан с моментом инерции $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?I$ и скоростью вращения $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec{\Omega}$ : $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec{L}=I\vec{\Omega}$ Если диск вращается и движется, то его кинетическая энергия - сумма вращательной и поступательной. А каков его момент импульса относительно некой оси S? Оказывается, момент равен <моменту относительно центра масс> + mVr [2], где V-скорость центра масс, а r-расстояние от прямой, по которой движется центр масс, до оси S. Или $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec{Ls}=I\vec{\Omega}+m[\vec{R}\times\vec{V}]$ , где $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec{R}$ - вектор от оси вращения до цм. Рассмотрим случай, когда диск движется вправо со скоростью V и вращается против часовой стрелки со скоростью w, причем его цм имеет координату y=0. Тогда точка с координатой y=V/w неподвижна, это мгновенный центр вращения. Значит, момент L=Iyw=(I+m(V/w)^2)w=Iw+mV²/w -------------------------^^^^^^^^ теорема Штейнера По формуле[2] L=Iw+myV=Iw+m(V/w)V=Iw+mV²/w, т.е такой же. Это конечно не доказательство [2], но все же... 0

zer0mail 2687 / 2259 / 244 Регистрация: 03.07.2012 Сообщений: 8,227 Записей в блоге: 1
	31.08.2020, 05:35 [ТС]
	выше надо вместо "оси S" написать "точки S" 0