Площадь полной поверхности цилиндра равна 8пи

@MyLifeStyle · 05.01.2016, 17:14. **Показов** 3005. **Ответов** 1

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Площадь полной поверхности цилиндра равна 8пи .Найти радиус и высоту цилиндра, чтобы его объем был бы наибольшим.

@DocC · 06.01.2016, 14:03

Сообщение от MyLifeStyle

Площадь полной поверхности цилиндра равна 8пи .Найти радиус и высоту цилиндра, чтобы его объем был бы наибольшим.

Итак, поехали:
Площадь полной поверхности цилиндра следующая.
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{S}_{poverh} = 8\pi$
Формула для нахождения площади полной поверхности цилиндра:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{S}_{poverh} = 2\pi{R}^{2} + 2\pi Rh$
Выразим высоту $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?h$ :
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?h = \frac{{S}_{poverh} -2\pi{R}^{2} }{2\pi R} = \frac{8\pi - 2\pi {R}^{2}}{2\pi R} = \frac{4 - {R}^{2}}{R}$
Формула объёма цилиндра:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?V = \pi {R}^{2}h$
В соответствие с выведенным выше, объем цилиндра имеет следующий вид:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?V = \pi {R}^{2}h = \pi {R}^{2} * \frac{4 - {R}^{2}}{R} = 4\pi R - \pi{R}^{3}$
Это и есть наша задача на экстремум (в данном случае на максимум). Найдя максимальное R (радиус) - не трудно найти и максимальное h (высоту).
Находим производную $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?V{|'}_{R}$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?V{|'}_{R} = {(4\pi R - \pi{R}^{3})'}_{R} = 4\pi - 3\pi {R}^{2}$
Приравниваем производную к нулю и ищем корни:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?4\pi - 3\pi {R}^{2} = 0$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{R}_{1} = \frac{2\sqrt3}{3} = \frac{2}{\sqrt3}$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{R}_{2} = -\frac{2\sqrt3}{3} = -\frac{2}{\sqrt3}$ - этот корень нам не подходит, ведь не может расстояние быть отрицательным.
Итого:
Максимальный радиус:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?R = \frac{2}{\sqrt3}$
Максимальная высота:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?h = \frac{4 - {R}^{2}}{R} = \frac{4 - { (\frac{2}{\sqrt3})}^{2}}{ \frac{2}{\sqrt3}} = \frac{4\sqrt3}{3} = \frac{4}{\sqrt3}$
Ну и тогда максимальный объём:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?V = \pi {R}^{2}h = \pi{(\frac{2}{\sqrt3})}^{2}\frac{4}{\sqrt3} = \frac{16\pi\sqrt3}{9} = \frac{16\pi}{3\sqrt3} = 9.6736$

Проверим:
Уже давно выведенная формула для нахождения наибольшего объема цилиндра, при указанной площади полной поверхности:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{V}_{max} = \frac{{S}_{poverh}}{3}\sqrt{\frac{{S}_{poverh}}{6\pi}}$
Подставим числовое значение полной площади полной поверхности $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{S}_{poverh} = 8\pi$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{V}_{max} = \frac{{S}_{poverh}}{3}\sqrt{\frac{{S}_{poverh}}{6\pi}} = \frac{8\pi}{3}\sqrt{\frac{8\pi}{6\pi}} = \sqrt{\frac{512{\pi}^{3}}{54\pi}} = \sqrt{\frac{256{\pi}^{2}}{27}} = \frac{16\pi}{3\sqrt3} = 9.6736$ - что сходится с полученным ранее

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
SDL3 для Web (WebAssembly): Основы отладки веб-приложений на SDL3 по USB и Wi-Fi, запущенных в браузере мобильных устройств 8Observer8 07.02.2026 Содержание блога Браузер Chrome имеет средства для отладки мобильных веб-приложений по USB. В этой пошаговой инструкции ограничимся работой с консолью. Вывод в консоль - это часть процесса. . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Обработчик клика мыши в браузере ПК и касания экрана в браузере на мобильном устройстве 8Observer8 02.02.2026 Содержание блога Для начала пошагово создадим рабочий пример для подготовки к экспериментам в браузере ПК и в браузере мобильного устройства. Потом напишем обработчик клика мыши и обработчик. . .	Философия технологии iceja 01.02.2026 На мой взгляд у человека в технических проектах остается роль генерального директора. Все остальное нейронки делают уже лучше человека. Они не могут нести предпринимательские риски, не могут. . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Вывод текста со шрифтом TTF с помощью SDL3_ttf 8Observer8 01.02.2026 Содержание блога В этой пошаговой инструкции создадим с нуля веб-приложение, которое выводит текст в окне браузера. Запустим на Android на локальном сервере. Загрузим Release на бесплатный. . .
SDL3 для Web (WebAssembly): Сборка C/C++ проекта из консоли 8Observer8 30.01.2026 Содержание блога Если вы откроете примеры для начинающих на официальном репозитории SDL3 в папке: examples, то вы увидите, что все примеры используют следующие четыре обязательные функции, а. . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Установка Emscripten SDK (emsdk) и CMake для сборки C и C++ приложений в Wasm 8Observer8 30.01.2026 Содержание блога Для того чтобы скачать Emscripten SDK (emsdk) необходимо сначало скачать и уставить Git: Install for Windows. Следуйте стандартной процедуре установки Git через установщик. . . .	SDL3 для Android: Подключение Box2D v3, физика и отрисовка коллайдеров 8Observer8 29.01.2026 Содержание блога Box2D - это библиотека для 2D физики для анимаций и игр. С её помощью можно определять были ли коллизии между конкретными объектами. Версия v3 была полностью переписана на Си, в. . .	Инструменты COM: Сохранение данный из VARIANT в файл и загрузка из файла в VARIANT bedvit 28.01.2026 Сохранение базовых типов COM и массивов (одномерных или двухмерных) любой вложенности (деревья) в файл, с возможностью выбора алгоритмов сжатия и шифрования. Часть библиотеки BedvitCOM Использованы. . .

@MyLifeStyle Заблокирован

	Площадь полной поверхности цилиндра равна 8пи 05.01.2016, 17:14. Показов 3005. Ответов 1 Метки нет (Все метки) Площадь полной поверхности цилиндра равна 8пи .Найти радиус и высоту цилиндра, чтобы его объем был бы наибольшим. 0

Площадь полной поверхности цилиндра равна 8пи

Решение