Исправить программу вычисления суммы ряда

@Darkonitos · Регистрация: 15.05.2018

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Рекурсия.

Никак не могу понять, что не так составляю в формуле, ведь по итогу, можете пожалуйста помочь!
Нужно чтобы сумма ряда по итогу +- сходилась с контрольной формулой

Pascal
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
program req;
 
var
  x, e: real;
  
  sum, y: real;
  
  a: real;
  i: integer;
  k: integer;
  
begin
  write('Введите аргумент: ');
  readln(x);
  write('Введите точность: ');
  readln(e);
  
  i := 2;
  a := sqr(x) / 1 * (2 * 1 - 1);
  sum := a;
  
  while abs(a) > e do begin
    a := a * ((-(x * x) * (i * (2 * (i - 1)))) / ((i + 1) * (2 * i - 1)));
    sum := sum + a;
    i := i + 1;
  end;
  
  y := 2 * x * arctan(x) - 2 * ln(sqrt(1 + x*x)); 
  k := 5;
  writeln('Сумма ряда = ', sum:(k + 3):k);
  writeln('Контрольная формула = ', y:(k + 3):k);
end.

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{x^2}{1 \cdot \left(2 \cdot 2 - 1 \right)} - \frac{x^4}{2 \cdot\left(2 \cdot 2 - 1 \right)}+\frac{x^6}{3 \cdot \left(2 \cdot 3 -1 \right)}- \dots \pm \frac{x^{2i}}{i \cdot \left(2i-1 \right)}\mp\\2x \cdot \arctan\:x - 2\ln\sqrt{1+x^2}$

@Cyborg Drone · 05.12.2022, 12:27

Замечание: ряд сходится при |x| < 1.

Исправьте:

Pascal
18
  i := 1;

Pascal
23
    a := a * ((-(x * x) * (i * (2 * i - 1)) / ((i + 1) * (2 * (i + 1) - 1))));

Последнее выражение можно упростить и сократить на 2. Кроме того, для уменьшения ошибок окргления можно чередовать операции умножения и деления.

Pascal
23
    a := -a * x * x * i  / (i + 1) * (i - 0.5) / (i + 0.5);

А почему Ваша тема называлась "Рекурсия"? В Вашей программе нет рекурсии, зато есть рекуррентное соотношение.

Вам нужно решение с рекурсией, или Вы перепутали термины?

@Darkonitos · 05.12.2022, 18:08 **[ТС]**

Спасибо большое! Да, перепутал термины, не знаю как так написал, а можно чуть поподробнее на счет сокращения, хотел бы все таки вникнуть в правильное решение

Добавлено через 1 час 28 минут
Извиняюсь, решение сказали неправильное, хоть вывод и правильный, но "он перегружает систему", тк у меня двухрядовое уравнение - нужно как-то по другому составить, вообще не понимаю чего хочет от меня препод

@Cyborg Drone · 06.12.2022, 00:13

Насчёт сокращения.

Ряд:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \sum_{i=1}^{\infty }\frac{(-1)^{i+1}x^{2i}}{i(2i-1)}=\sum_{i=1}^{\infty }\!a_i $

Рекуррентное соотношение:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \boxed{a_1=x^2};\ \ \ a_i=\frac{(-1)^{i+1}x^{2i}}{i(2i-1)};\ \ \ a_{i+1}=\frac{(-1)^{i+1+1}x^{2(i+1)}}{(i+1)(2(i+1)-1)}; $

В формуле для a_i+1 раскрываем некоторые скобки и приводим подобные члены:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? a_{i+1}=\frac{(-1)^{i+1+1}x^{2(i+1)}}{(i+1)(2(i+1)-1)}=\frac{(-1)^{i+2}x^{2i+2)}}{(i+1)(2i+2-1)}=\frac{(-1)^{i+2}x^{2i+2}}{(i+1)(2i+1)} $

Выражаем a_i+1 через a_i :

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \frac{a_{i+1}}{a_i}=\frac{\frac{(-1)^{i+2}x^{2i+2}}{(i+1)(2i+1)}}{\frac{(-1)^{i+1}x^{2i}}{i(2i-1)}}=\frac{(-1)^{i+2}}{(-1)^{i+1}}\cdot \frac{x^{2i+2}}{x^{2i}}\cdot \frac{i}{i+1}\cdot \frac{2i-1}{2i+1} $

В последней дроби выносим 2 за скобки и сокращаем:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \frac{2i-1}{2i+1}=\frac{2(i-0.5)}{2(i+0.5)}=\frac{i-0.5}{i+0.5} $

Если не сокращать на 2, то получится Ваше рекуррентное соотношение.

Сокращаем первую и вторую дробь, и окончательно получаем

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \frac{a_{i+1}}{a_i}=-x^2\cdot \frac{i}{i+1}\cdot \frac{i-0.5}{i+0.5}\ \Rightarrow \ \boxed{a_{i+1}=-a_ix^2\cdot \frac{i}{i+1}\cdot \frac{i-0.5}{i+0.5}} $

Теперь иное решение.

Насчёт "он перегружает систему" - не знаю. То ли Вы не всё передали, что там Ваш преподаватель сказал, либо преподаватель любитель говорить нелепыми загадками.

У меня есть предположение: дело в том, что рекуррентное соотношение для всего слагаемого в данном случае получается неоправданно сложным, особенно учитывая то, что |x| < 1. Лучше разложить слагаемое на два сомножителя и найти рекуррентное соотношение только для одного сомножителя:

Ряд:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \sum_{i=1}^{\infty }\frac{(-1)^{i+1}x^{2i}}{i(2i-1)}=\sum_{i=1}^{\infty }\!\left( (-1)^{i+1}x^{2i}\cdot \frac{1}{i(2i-1)}\right) $

Пусть

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? a_i=(-1)^{i+1}x^{2i};\ \ \ b_i=\frac{a_i}{i(2i-1)} $

Для b_i искать рекуррентное соотношение не будем, как и планировали, поскольку это и есть слагаемое целиком.

Чтобы не плодить лишние (i+1), будем искать рекуррентное соотношение для a_i и a_i-1

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \boxed{a_1=x^2};\ \ \ a_i=(-1)^{i+1}x^{2i};\ \ \ a_{i-1}=(-1)^ix^{2i-2}; $

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \frac{a_i}{a_{i-1}}=\frac{(-1)^{i+1}x^{2i}}{(-1)^ix^{2i-2}}=-x^2\ \Rightarrow \ \boxed{a_i=-a_{i-1}x^2} $
Правим программу:

Pascal
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
program req;
var
  x, a, b, sum, y, e: real;
  i, k: integer;
begin
  write('Введите аргумент: ');
  readln(x);
  write('Введите точность: ');
  readln(e);
  i := 1;
  a := x * x;
  b := a; { b = a / (1 * (2 * 1 - 1)) = a }
  sum := b;
  while abs(b) > e do
    begin
      inc(i); { то же самое, что i := i + 1; }
      a := -a * x * x;
      b := a / i / 2 / (i - 0.5); { a / (i * (2 * i - 1)) = a / i / 2 / (i - 0.5) }
      sum := sum + b
    end;
  y := 2 * x * arctan(x) - 2 * ln(sqrt(1 + x * x));
  k := 5;
  writeln('Сумма ряда = ', sum:0:k);
  writeln('Контрольная формула = ', y:0:k)
end.

Комментарии перед сдачей повыкидывайте, чтобы программа выглядела лаконично.

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Access VikBal 11.12.2025 Помогите пожалуйста !! Как объединить 2 одинаковые БД Access с разными данными.	Новый ноутбук volvo 07.12.2025 Всем привет. По скидке в "черную пятницу" взял себе новый ноутбук Lenovo ThinkBook 16 G7 на Амазоне: Ryzen 5 7533HS 64 Gb DDR5 1Tb NVMe 16" Full HD Display Win11 Pro	Музыка, написанная Искусственным Интеллектом volvo 04.12.2025 Всем привет. Некоторое время назад меня заинтересовало, что уже умеет ИИ в плане написания музыки для песен, и, собственно, исполнения этих самых песен. Стихов у нас много, уже вышли 4 книги, еще 3. . .	От async/await к виртуальным потокам в Python IndentationError 23.11.2025 Армин Ронахер поставил под сомнение async/ await. Создатель Flask заявляет: цветные функции - провал, виртуальные потоки - решение. Не threading-динозавры, а новое поколение лёгких потоков. Откат?. . .	Поиск "дружественных имён" СОМ портов Argus19 22.11.2025 Поиск "дружественных имён" СОМ портов На странице: https:/ / norseev. ru/ 2018/ 01/ 04/ comportlist_windows/ нашёл схожую тему. Там приведён код на С++, который показывает только имена СОМ портов, типа,. . .
Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Programma_Boinc 20.11.2025 Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Вот решила сделать интересный приблизительный подсчет, сколько государство потратило на меня денег на покупку инсулинов. . . .	Ломающие изменения в C#.NStar Alpha Etyuhibosecyu 20.11.2025 Уже можно не только тестировать, но и пользоваться C#. NStar - писать оконные приложения, содержащие надписи, кнопки, текстовые поля и даже изображения, например, моя игра "Три в ряд" написана на этом. . .	Мысли в слух kumehtar 18.11.2025 Кстати, совсем недавно имел разговор на тему медитаций с людьми. И обнаружил, что они вообще не понимают что такое медитация и зачем она нужна. Самые базовые вещи. Для них это - когда просто люди. . .	Создание Single Page Application на фреймах krapotkin 16.11.2025 Статья исключительно для начинающих. Подходы оригинальностью не блещут. В век Веб все очень привыкли к дизайну Single-Page-Application . Быстренько разберем подход "на фреймах". Мы делаем одну. . .	Фото: Daniel Greenwood kumehtar 13.11.2025

Исправить программу вычисления суммы ряда

Решение

Решение

@Darkonitos 0 / 0 / 0 Регистрация: 15.05.2018 Сообщений: 2
	05.12.2022, 18:08 [ТС]
	Спасибо большое! Да, перепутал термины, не знаю как так написал, а можно чуть поподробнее на счет сокращения, хотел бы все таки вникнуть в правильное решение Добавлено через 1 час 28 минут Извиняюсь, решение сказали неправильное, хоть вывод и правильный, но "он перегружает систему", тк у меня двухрядовое уравнение - нужно как-то по другому составить, вообще не понимаю чего хочет от меня препод 0