Какую геометрическую форму принимает лист при изгибе (естественно, в пределах упругости)?

Уважаемые,

у меня есть длинный, достаточно (широкий/высокий), тонкий, упругий лист (пластик, металл и т.д.).

я сближаю 2 противоположные стороны его ("изгибаю" лист).

Какую геометрическую форму он принимает (естественно, в пределах упругости)?

Часть цилиндра, или какая-то "брахистохрона"?

Если последнее - напишите формулу, плиз.

0

Не склепать, а соединить шарнирно, например скотчем. Затем зажимать 'каплю' в тисках, когда угол капли станет развернутым вы получите 'овал' с соотношением высоты к ширине как 1 к 0.6 (примерно, если не ошибаюсь). Проверьте! Сложите лист бумаги и скрепите концы скотчем..
Граничные условия я уже озвучил. Вертикальность касательной левого конца и заданное положение правого на оси х. Правый конец соединен шарнирно. Все.

0

Трудно обсуждать в условиях отождествления шарнира и соединения скочем. Шарнир, насколько известно, допускает любой угол. А мы говорим о совпадении касательных!

0

VAF34, закрепление скотчем тоже допускает любой угол. Я фото с линейкой согнутой в каплю выкладывал. Концы закреплены скотчем. Шарнирно. Скотч, в отличие от линейки не обладает заметной упругостью. Еще раз: просто проверьте на практике. Это для вас что, так трудно?

0

О-Ф-И-Г-Е-Т-Ь !!!!!!!

я-то. по наивности, думал, что сопромат давно такую задачку решил, а вы тут уже до эллиптических интегралов дошли!

Конкретно, причиной вопроса была непонятка:

я сгибаю стоящий вертикально упругий лист. Не до касания концов. Скажем, сближаю верт. стороны на 1/3...1/2 исходной горизонт. длины листа.

Получается некая фигура, явно похожая на часть верт. цилиндра.

Так вот: есть ли у этой фигуры фокус? Или там сплошная каустика?

0

Сообщение от u235 nikipor, какой другой? Возьмите гибкую линейку да проверьте.

Проверил. Я прав. форма получается двояковогнутой, если опереть серединой на точку.

0

nikipor, фото, пожалуйста.
ygy, сопромат обычно изучает малые деформации. А у вас задача из теории упругости. Такие кривые называют эластиками Эйлера. Их уже давно исследовали Бернулли, Гюгенс. Проблема в том что такие фигуры не выражаются в элементарных функциях и фокусов у них нет, как у параболы или эллипса.

Миниатюры

 

0

u235,
первый раз слышу про эластики.
Посмотрел в www.
Нашёл статью "А. А. Ардентов, Интерфейс для моделирования эластик Эйлера в программной среде Mathematica" (https://psta.psiras.ru/read/psta2012_1_31-50.pdf)

Там в пункте 2.2 говорится: "К вырожденным эластикам относят окружности:

Добавлено через 3 минуты
что-то движок форума съел завершение фразы. Завершение такое:


"так, м.б., моя сжимаемая верт. пластина - всё же часть цилиндра и имеет фокус? "

0

ygy, окружности - да, а вот части окружности (дуги) - нет.
Точнее дуги тоже, но нужно будет задавать не только положение краев, но и касательные к ним. Если просто связывать края веревкой - части окружности не получится. Если упрощать, то вам нужна форма лука, с тетивой определенной длины. В сопромате такое изучалось только при малых деформациях в задачах об устойчивости вертикальной нагруженной балки. Решение для малых деформаций - часть синусоиды. Для больших деформаций уже задачв не сопрамата, а теории упругости, решения - эластики.

Вот как-то так, почти как у Гюгенса:
Aspect ratio для осей графика немного не единичный получился..

ygy, если вам нужен именно фокус, то просто сделайте парабалические опоры/нервюры для гибкого листа,с учетом его толщины, по форме близкие к эластике. Для оптики не пойдет, а для светотехники - будет нормально, думаю...

Миниатюры

 

0

Уравнение описывающее состояние упругого стержня нулевой толщины очень простое d(alpha)/d(s)=M Здесь alpha - угол наклона в используемой системе координат, s - положение точки на стержне, то есть расстояние по дуге от начала стержня и M - отношение изгибающего момента к упругости стержня. При отсутствии перерезающих сил М постоянно. На рисунке стержень при различных величинах М.

Миниатюры

 

0

VAF34, или Бернулли был не прав и никто не заметил или у вас ошибка. Практика - критерий истины. Проведите опыт и сделайте фото. Вот если стянуть скотчем гибкую линейку, так чтобы касательные на концах стали параллельны друг другу (перпендикулярны скотчу) получим соотношение сторон 205мм/240мм =0.85, а теоретическое значение для прямоугольной эластики будет 0.83, что достаточно близко с учетом неточности измерения. В вашем же случае отношение будет 0.5 для полуокружности (2/4 на вашем графике), когда касательные к краям будут параллельны.

Миниатюры

 

0

С чем вы спорите: с уравнениями или методом решения. Действительно, нарисованное мной не есть динамика изгиба, а серия статических положений, которые в идеальном случае могут рассматриваться как динамика при бесконечно медленном движении. В реальности, переход на пруток конечной толщины, организация изгиба сложная задача, может быть не решаемая скочем. Я не знаю, как этот переход описать математически, но технологически его можно организовать, если заранее определить движение свободного (на рисунке) конца прутка и выполнить переход так, чтобы движение свободного конца происходило по заданной траектории.
Для математического описания надо задать силы, действующие на концах прутка как функции времени.

0

VAF34, тут, в вашем случае, мало того, что бы свободный конец был в определенной точке. Энергия каплевидной фигуры меньше чем окружности той же длины.. Т.е. чтобы перевести каплю в круг при фиксированом положении концевых точек, нужно затратить дополнительную энергию на разворачивание уголка. Свободные эластики обладают минимальной энергией. Они получаются если просто стягивать два края листа веревкой. Окружности так не получатся. После стягивания веревкой на то же растояние нужно будет еще приложить усилие и задать касательную чем-то типа гигантских плоскогубцев/тисков по всей свободной кромке листа. Вообще если использовать оправку, то можно получить и параболический профиль. Но я так понял ТС, хочет зафиксировать просто определенное растояние между краями листа, без дополнительных внешних нагрузок на сам лист (шарнирное соединение края).

0