Какая разница между иррациональными и рациональными числами?

Согласно определению, иррациональное число невозможно представить в виде обыкновенной дроби.

...

Слева простая дробь с целыми числами в числителе и знаменателе.
Справа бесконечная десятичная дробь.

Равенство этих дробей требует доказательство того факта, что справа непериодическая десятичная дробь, и, следовательно, такое доказательство существует для всех непериодических десятичных дробей.

Кто-нибудь может дать на него ссылку? Или приведите это доказательство здесь, если оно не очень длинное. Или можно просто указать, из каких цифр состоит период именно данной дроби.

0

Традиционная проблема - "кто на ком стоял?"...

Вы хотите доказать, что в приведенном равенстве справа непериодическая дробь? Это невозможно, поскольку утверждение неверно.

Или вы хотите доказать, что если число иррациональное, то дробь будет непериодической? Или обратное утверждение?

Эти два проще всего доказывать от противного. Если дробь периодическая, то число рациональное - путем записи числа как суммы бесконечной геометрической прогрессии. Если число рациональное, то дробь периодическая - рассмотрением процесса получения частного (буквально алгоритма деления "в столбик") и констатация того факта, что число возможных остатков от деления конечно и ограничено сверху знаменателем рационального числа, что дает такое же ограничение на возможный период десятичной дроби.

0

Сообщение от Pphantom Вы хотите доказать, что в приведенном равенстве справа непериодическая дробь? Это невозможно, поскольку утверждение неверно.

Я не утверждаю, я спрашиваю: какой знак надо сюда засунуть?

...

...

Выбор всего из двух вариантов, не так уж много. Меньше не бывает, ибо один вариант из одного — это не выбор. Я бы даже не спрашивал.

0

Сообщение от Adatto Я не утверждаю, я спрашиваю: какой знак надо сюда засунуть?

Мда, понять это по тексту стартового сообщения невозможно.

Но хорошо, пусть так. Равенство. Аккуратнее было бы, если бы период был указан явно, но для разумного читателя и так сойдет.

0

Сообщение от Pphantom Равенство. Аккуратнее было бы, если бы период был указан явно, но для разумного читателя и так сойдет.

Для вас, возможно, сойдёт и так, но для меня не сойдёт. Мне, видите ли, позарез нужен период в явном виде, чтобы убедиться, что вы меня не обманываете. Но после вашего ответа я перестал понимать ещё больше, чем понимал. Теряюсь теперь в догадках: вы человек разумный, но неаккуратный? Или наоборот?

0

Троеточие — это неформальное метаматематическое обозначение, которое означает «мне лень писать всё явно и я не считаю это целесообразным, но нам всем очевидно, что я имею в виду, и если вдруг возникнет потребность проговорить формально, то мы это сможем сделать без видимых на то проблем».

Вот в первом сообщении использовалось троеточие, и по хорошему здесь следует остановиться и уточнить, что именно имеется в виду в правой части равенства.

Вот наводящие вопросы:
1. можно ли правую часть равенства рассматривать в отрыве от левой? Выражение «1,42857142857…» имеет самостоятельный смысл?
2. можно ли правую часть заменить на 1,4(285714)? Смысл вопроса останется?

Первый ответ в этой теме ровно о том, что не понятно, о чём вопрос, — настолько плохо он поставлен, что остаётся только гадать.

Уточните первоначальный вопрос, объясните выбранную нотацию, и тогда ответят.

1

Сообщение от Adatto Мне, видите ли, позарез нужен период в явном виде, чтобы убедиться, что вы меня не обманываете.

Он у вас уже написан. Из изложенного мной выше следует, что период дроби вида не может превышать 6 (поскольку нулевой остаток означает, что дробь будет конечной), следовательно, он полностью "укладывается" в шесть первых цифр после запятой. Так как периодичности внутри них явно не прослеживается, то он именно из 6 цифр и состоит.

Сообщение от Adatto Теряюсь теперь в догадках: вы человек разумный, но неаккуратный? Или наоборот?

Похоже, я человек слишком добрый. Но это исправимо.

1

Сообщение от Mysterious Light 2. можно ли правую часть заменить на 1,4(285714)? Смысл вопроса останется?

Можно заменить так, а можно и не так.
Точный калькулятор даёт такое решение:



Период можно записать иначе:







Вариантов можно насочинять больше, чем количество цифр в периоде, потому что запятую можно перемещать в зависимости от выбранного масштаба числовой оси. А масштаб числовой оси, как следует опять-таки из её дефиниции, является произвольным.
Проблема эта концептуальная, и вопрос о том, что там происходит в бесконечности, не так прост, как хотелось бы. Мы до сих пор не знаем даже того, с какого места эта бесконечность начинается.
Но я поясню, что меня смущает в таких вещах, которые кажутся всем очевидными.
Мы ведь уверены, что умеем считать, не так ли? Но до скольки? До скольки угодно?
А попробуйте-ка посчитать количество голов разумных существ, обитающих на нашей планете. Когда вы дойдёте до последнего континента, число помеченных красной краской темечек, ушедших с начала отсчёта в мир иной, уже может оказаться больше, чем голов существ живых, которых вы как ни в чём не бывало продолжаете считать. Или, например, количество сгнивших яблок превысит количество вновь подсчитанных. Или, того страшнее, электрона уже не будет на свете, когда вы прислоните рулетку к точке конца замера. Получается, что мы считаем и измеряем не что-то вполне реальное, а что-то между выдумкой и реальностью, которые постоянно меняются друг с другом местами. Досчитали, наконец, до нужного знака десятичной дроби, а ваша теория к тому моменту уже устарела, и ваш результат никому не нужен.
Где гарантия, что предложенный вами период дроби в какой-то момент не закончится? И где гарантия, что у непериодической дроби период всё-таки есть, но его длина существенно больше, чем мы до этого места досчитали? Ведь сколько бы времени на эти вычисления ни угробить, доказательств у нас, извините, не прибавится. Как много бы треугольников вы ни подвергли измерениям, на практике невозможно убедиться, что сумма углов равна в точности двум прямым. А в теории это вопрос её (теории) жизни и смерти.
Я намякиваю вот на что: в логике, а, значит, и в теории, нет и не должно быть ничего произвольного.

Невозможно дать определение понятию "иррациональное число", пока не будет дано определение понятию "число".

Логика! Закон дедукции.
Во всём остальном я не уверен, и меня это сильно беспокоит. Откуда у вас уверенность, что вы правы, а я не прав? Вдруг с какого-то места на оси времени ситуация изменится на противоположную?
Все мы смотрим на один и тот же ряд цифр, но видим разное. Вы видите одно и то же до бесконечности, а я так далеко заглянуть не могу. Разум сопротивляется. Отказывается верить на слово. Доказательства ему, видишь ли, подавай.

Добавлено через 4 минуты

Сообщение от Pphantom Похоже, я человек слишком добрый. Но это исправимо.

Похоже, я человек слишком тупой. Жаль, но это неисправимо.

Добавлено через 42 минуты

Сообщение от Pphantom Он у вас уже написан. Из изложенного мной выше следует, что период дроби вида не может превышать 6 (поскольку нулевой остаток означает, что дробь будет конечной), следовательно, он полностью "укладывается" в шесть первых цифр после запятой. Так как периодичности внутри них явно не прослеживается, то он именно из 6 цифр и состоит.

Я увеличил числитель и знаменатель всего на 1 (одну!) цифру, и посмотрите, что из этого вышло.



Длина периода возросла более чем в два раза, почти в три. А ведь до бесконечности ещё шагать и шагать. Семь вёрст до небес, и всё лесом.

0

Поскольку ответ был дан на моё сообщение, я прокомментирую.

Хотелось бы сперва услышать ответ на первый из поставленных мною вопросов.

Любой калькулятор даёт ответ с некоторой конечной точность.

Сообщение от Adatto Период можно записать иначе:

Можно. Я понимаю смысл каждой из этих записей в известном мне формализме и могу в нём же доказать равенство этих чисел.

Сообщение от Adatto А масштаб числовой оси, как следует опять-таки из её дефиниции, является произвольным.

Мне кажется, что для конструктивного общения полезно было бы явно проговорить эти самые дефиниции.

Сообщение от Adatto Но я поясню, что меня смущает в таких вещах, которые кажутся всем очевидными.

Не клевещите, пожалуйста. Я многие вещи, связанные с действительными числами, не считаю очевидными. Но я изучал математический анализ и могу какие-то из этих вещей построить и обосновать (ничего большего в математике желать и не стоит).

Сообщение от Adatto А попробуйте-ка посчитать количество голов разумных существ, обитающих на нашей планете. Когда вы дойдёте до последнего континента, число помеченных красной краской темечек, ушедших с начала отсчёта в мир иной, уже может оказаться больше, чем голов существ живых, которых вы как ни в чём не бывало продолжаете считать. Или, например, количество сгнивших яблок превысит количество вновь подсчитанных. Или, того страшнее, электрона уже не будет на свете, когда вы прислоните рулетку к точке конца замера. Получается, что мы считаем и измеряем не что-то вполне реальное, а что-то между выдумкой и реальностью, которые постоянно меняются друг с другом местами. Досчитали, наконец, до нужного знака десятичной дроби, а ваша теория к тому моменту уже устарела, и ваш результат никому не нужен.

Эти вопросы не имеют отношения к математике. К приложению математики в других областях (скотоводство, физика, философия) — имеют, а с самой математике — нет.

Сообщение от Adatto Где гарантия, что предложенный вами период дроби в какой-то момент не закончится?

Где-где, в доказательстве соответствующей теоремы.
Например, я утверждаю: период 10/7 равен 6. Вот доказательство: (…)
Тогда гарантия находится в доказательстве. Если оно составлено правильно с использованием постулируемых аксиом и правил вывода, то само доказательство и есть гарантия.



Скажем, как убедиться, что период 10/7 не больше 6? Обратитесь вежливо к Pphantom, он Вам напишет гарантийный талон доказательство этой теоремы.

Сообщение от Adatto Я намякиваю вот на что: в логике, а, значит, и в теории, нет и не должно быть ничего произвольного.

Хороший философский императив. Одобряю.

Сообщение от Adatto Откуда у вас уверенность, что вы правы, а я не прав?

Моя аргументация в правоте отверждения «вопрос в первом сообщении плохо поставлен»: все принявшие участие в этой теме люди (кроме, может быть, ТС) не поняли, в чём состоит первоначальный вопрос.

Подвожу итог:
1. Для продолжения беседы нам нужно определить, в какой теории мы работаем. В идеале нужен полный исчерпывающий перечень аксиом и правил вывода, а также определения всех используемых понятий. Минимальное требование: ссылка на учебник, где это всё вводится хотя бы полуформально.
2. Нужна точная формулировка вопроса. По схеме: 1) какие построения делаются, 2) что получается, 3) что ожидалось получить.
3. Пока этого сделано не будет, дальнейшее общение я считаю контрпродуктивным и оскорбительным.

2

Сообщение от Adatto Проблема эта концептуальная

Скорее надуманная. Естественно, можно пытаться начинать начинать отсчет периода откуда попало, но практического смысла в этом никакого.

Почти весь остальной текст не имеет никакого отношения к математике. К приложениям математики, кстати, тоже.

Сообщение от Adatto Я увеличил числитель и знаменатель всего на 1 (одну!) цифру, и посмотрите, что из этого вышло.

Вы увеличили знаменатель в два с лишним раза. Логично, что верхняя оценка длины периода (в этом случае также совпадающая с реальной длиной) увеличилась в то же число раз.

Сообщение от Mysterious Light Скажем, как убедиться, что период 10/7 не больше 6? Обратитесь вежливо к Pphantom, он Вам напишет гарантийный талон доказательство этой теоремы.

Я в общем-то основную идею уже написал. Поскольку полная ее реализация - это материал максимум математического кружка для школьников, то кажется, что либо человек может довести ее до победного конца самостоятельно, либо ему просто не надо обсуждать вопросы подобного рода.

1

Сообщение от Mysterious Light В идеале нужен полный исчерпывающий перечень аксиом и правил вывода, а также определения всех используемых понятий.

Именно этим я и занимаюсь. Сформулировал несколько аксиом, дал определение числу, множеству, выстроил очерёдность появления первых математических понятий, и многое из этого было уже опубликовано на форуме.
Исходные понятия, определения и аксиомы не доказываются. Потому что доказательства невозможны без всего перечисленного. Тем не менее реакция специалистов всегда была одинаково отрицательной. И диагноз один и тот же у всех, кто его мне ставил.

Сообщение от Pphantom ему просто не надо обсуждать вопросы подобного рода.

Обсуждение требует участия по меньшей мере двух человек. Но я же никого не принуждал, согласны? Даже когда озвучил свои любимые пунктики:

Альфа топ. Не существует таких идей, которые нельзя обсуждать.
Омега-топ. Да существуют такие идеи, которые нельзя воплощать.

После этого я вынес на публичное осмеяние свой гениальный вывод: нельзя воплощать идеи, которые нельзя обсуждать.

Урок, извлечённый из этого опыта, убедил меня в том, что между математиками, ботаниками, астрологами и прочими болтунами и зазнайками разницы решительно никакой, реакция у всех как под копирку.

0

Сообщение от Adatto Период можно записать иначе

нет, для 10/7 период выглядит так и только так: 428571. Остальные варианты это ахинея.

Сообщение от Adatto Точный калькулятор даёт такое решение

точный калькулятор в таком случае выводит ответ в виде обыкновенной дроби, либо выводит с периодом, но никак не в виде длинной сосиски. Даже если там будет 1000 цифр это не будет точным ответом.

Например, этот калькулятор может вывести ответ как в виде обыкновенной дроби (обычная и смешанная запись)


так и в виде десятичной дроби, однако, в последнем случае калькулятор отображает период вместо "тупого" повтора цифр. Вот это я называю точным калькулятором.




Линия над цифрами - это период. Этот калькулятор также позволяет вводить период.

0

Сообщение от Royal_X нет, для 10/7 период выглядит так и только так: 428571. Остальные варианты это ахинея.

Значит, кроме метра или, скажем, килограмма нет других единиц измерения? Переставьте запятую на один или два знака вправо, и цифры из периода переместятся в целую часть числа. А если передвинуть её ещё дальше? Вы уверены, что период не изменится, когда вы переведёте парсеки в ангстремы?
Не знаю, что вы подразумеваете под словом "ахинея", а я, будучи бредогенератором с огромным стажем, понимаю это так: ахинея — это бессмыслица, не поддающаяся верификации. Однако вы же определили значение её истинности! Значит, ложь не является бессмыслицей.

Ложь ≠ ахинея.

Ахинея есть то, чего вы не понимаете. Но понимание всегда предшествует верификации.
Ложь есть то, что вы понимаете. В противном случае вы не можете знать, что это именно ложь.

0

Adatto, период это повторяющаяся часть десятичной бесконечной дроби. Для 10/7 при записи в виде десятичной дроби период это 428571. Соответственно, правильная запись только ваш первый вариант. Остальные это мусор.

При чем здесь вообще единицы измерения?

Конечно, не всегда у десятичных бесконечных дробей период начинается после десятичного разделителя. Но у 10/7 это именно так.

0

Сообщение от Royal_X Для 10/7 при записи в виде десятичной дроби период это 428571.

Тогда какой знак надо поставить между обыкновенной дробью и бесконечной десятичной дробью? Равно (да-А) или не равно (не-А)?

0

Adatto, это просто разные формы записи одного и того же числа. Нет там нескольких чисел, чтобы их сравнивать между собой.

0

Сообщение от Royal_X Adatto, это просто разные формы записи одного и того же числа. Нет там нескольких чисел, чтобы их сравнивать между собой.

Я понимаю так, что надо ставить знак равно. Не равно ставить нельзя. Отсюда следует вывод, что деление целых чисел не может дать непериодическую дробь. Хотя доказательства не существует.

0

Adatto, если же ты про то, например, если сделал вычисление и получил результат x=10/7, то можешь ли написать x=1.428571428571428571428571428571428571 4285714285714? Нет, не можешь.
Нельзя ставить равно, даже если ставишь в конце три точки: x=1.428571428571428571428571428571428571 4285714285714...

Но можно, x=1.(428571)

Равно это означает равно.

1.(428571) не равен 1.42857142857142857142857142857142857142 85714285714...

поэтому можешь ставить знак ≈

x ≈ 1.42857142857142857142857142857142857142 85714285714...

Например,

10/7 = 1.(428571) ≈ 1.42857142857142857142857142857142857142 85714285714

Добавлено через 7 минут

Сообщение от Adatto деление целых чисел не может дать непериодическую дробь

почему не может? Например, 3/8 это конечная дробь. В десятичной записи 0.375.

0

Сообщение от Royal_X Но можно, x=1.(428571)

Но если период растягивается до сотен тысяч знаков после запятой, я не смогу поставить знак равенства. Ну что ж, придётся смириться.
Мне известно, что дробь может получиться конечной. Плохо вот только, что период бесконечной дроби может быть бесконечным. И мне это не нравится, потому что констатировать такой факт невозможно. А отсюда куча разных теоретических неприятностей.

0

Adatto, период 428571 вообще означает



если сократишь эту дробь, получишь

То есть, 1.(428571) это одна целая и 3/7

Добавлено через 4 минуты

Сообщение от Adatto период бесконечной дроби может быть бесконечным

не может. Это просто будет бесконечная непериодическая десятичная дробь.
Если дробь бесконечная периодическая десятичная, то у нее точно конечный период

0