Вывод поста из категории

<?php $getcat = get_the_category();?>
<?php $cat = $getcat[0]->cat_ID; ?>
<?php $the_query = new WP_Query( array( 'cat' => $cat, 'showposts=1') );
$post_id = get_the_ID(); ?>
<?php if ( $the_query->have_posts($post_id) ) : ?>
    <?php while ( $the_query->have_posts() ) : $the_query->the_post($post_id); ?>
 
        <?php the_title(); ?>
        <?php the_content(); ?>
        <?php previous_post_link('%link', 'Предыдущая', true); ?> 
<?php next_post_link('%link', 'Следующая', true); ?>   
    <?php endwhile; ?>
    <?php wp_reset_postdata(); ?>
<?php else : ?>
    <p><?php _e( 'Sorry, no posts matched your criteria.' ); ?></p>
<?php endif; ?>

'showposts=1' заменить на 'posts_per_page' => 1
из ->have_posts( $post_id ) нужно убрать $post_id ( в обоих местах )

$paged = ( get_query_var( 'paged' ) ) ? get_query_var( 'paged' ) : ( get_query_var( 'page' ) ? get_query_var( 'page' ) : 0;

add_query_arg( 'paged', $paged+1, remove_query_arg( 'paged', get_permalink( $post_id ) ) ); // и соответственно -1 для предыдщей ссылки

<?php $getcat = get_the_category();?>
<?php $cat = $getcat[0]->cat_ID; ?>
<?php $post_id = get_the_ID(); ?>
<?php $the_query = new WP_Query( array( 'cat' => $cat, 'posts_per_page' => 1, 'p' => $post_id) );?>
<?php if ( $the_query->have_posts() ) : ?>
    <?php while ( $the_query->have_posts() ) : $the_query->the_post(); ?>
 
        <?php the_title(); ?>
        <?php the_content(); ?>
        <?php previous_post_link('%link', 'Предыдущая', true); ?>   
<?php next_post_link('%link', 'Следующая', true); ?>    
    <?php endwhile; ?>
    <?php wp_reset_postdata(); ?>
<?php else : ?>
    <p><?php _e( 'Sorry, no posts matched your criteria.' ); ?></p>
<?php endif; ?>

if( have_posts() ) while( have_posts() ) : the_post(); 
/// тут html
endwhile; endif;