Сумма кубов биномиальных коэффициентов (числа Франеля)

@zazaza691 · Регистрация: 20.09.2014

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Всем привет! Сегодня преподаватель дал интересную задачку - найти сумму кубов биномиальных коэффициентов. Посидев некоторое время решил поискать информацию в Интернете. Нашёл красивое выражение
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{S_n} = \sum\limits_{k = 0}^n {{{(C_n^k)}^3}} = \sum\limits_{k = 0}^n {{{(C_n^k)}^2}C_{2k}^n}$
Так называемое первое тождество Штреля (если я правильно понял). Кстати, не понимаю, почему в правой части равенства суммирование ведётся от 0, а не от 1. Ведь при $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?k=0$ для $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S_n$ мы получаем множитель $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C_0^n=-n$ .
Также через некоторое время я нашёл рекуррентное соотношение для этой суммы
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{S_n} = \frac{{(7{n^2} - 7n + 2){S_{n - 1}} + 8{{(n - 1)}^2}{S_{n - 2}}}}{{{n^2}}}$
Однако сколько я не искал, я не смог найти понятного доказательства как для первого равенства, так и для второго. Возможно кто-то из вас знает, доказательство любого из 2ух равенств? Или хотя бы подскажет, где посмотреть/спросить.

@eropegov · 11.02.2017, 08:39

Сообщение от zazaza691

множитель $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C_0^n=-n$

По определению, $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C_0^n=0$ .

@kabenyuk · 11.02.2017, 14:38

Сообщение от zazaza691

мы получаем множитель

В правой части половина множителей равна 0. Вот здесь в конце приводится очень ясное комбинаторное рассуждение для первого равенства.
Написал - ясное, а потом стал обдумывать детали, но что-то не очень ясно - может кто разберет.

@zazaza691 · 11.02.2017, 14:58 **[ТС]**

Да, видел эту тему, но всё равно спасибо. Сейчас пытаюсь разобраться с алгоритмом Zeilberger (не знаю, как звучит на русском). Вроде при помощи него можно вторую ф-лу вывести

@Alex5 · 15.02.2017, 21:53

Кликните здесь для просмотра всего текста

Вычислим коэффициент перед Xⁿ в тождестве $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(1+X)^A (1+X)^B = (1+X)^{A+B}$

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C_{A+B}^n = \sum\limits_{i} C_{A}^i C_{B}^{n-i}$

Можно начать с того, что

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? C_{2k}^n = \sum\limits_{m} C_{k}^m C_{k}^{n-m}$

Теперь в правой части

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum\limits_{m} \sum\limits_{k} C_n^k C_n^k C_{k}^m C_{k}^{n-m}$

Далее,

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C_n^k C_{k}^m = C_n^m C_{n-m}^{k-m}$

Добавлено через 19 минут
Аналогично,

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C_n^k C_{k}^{n-m} = C_n^{n-m} C_{n-(n-m)}^{k-(n-m)}$

И, последний шаг,

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{k} C_{n-m}^{k-m} * C_{n-(n-m)}^{k-(n-m)} = \sum_{k} C_{n-m}^{n-k} * C_{m}^{k-(n-m)} = C_n^{m}$

Теперь в правой части получилось

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{m} C_n^m C_n^{n-m} C_n^m$

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Access VikBal 11.12.2025 Помогите пожалуйста !! Как объединить 2 одинаковые БД Access с разными данными.	Новый ноутбук volvo 07.12.2025 Всем привет. По скидке в "черную пятницу" взял себе новый ноутбук Lenovo ThinkBook 16 G7 на Амазоне: Ryzen 5 7533HS 64 Gb DDR5 1Tb NVMe 16" Full HD Display Win11 Pro	Музыка, написанная Искусственным Интеллектом volvo 04.12.2025 Всем привет. Некоторое время назад меня заинтересовало, что уже умеет ИИ в плане написания музыки для песен, и, собственно, исполнения этих самых песен. Стихов у нас много, уже вышли 4 книги, еще 3. . .	От async/await к виртуальным потокам в Python IndentationError 23.11.2025 Армин Ронахер поставил под сомнение async/ await. Создатель Flask заявляет: цветные функции - провал, виртуальные потоки - решение. Не threading-динозавры, а новое поколение лёгких потоков. Откат?. . .	Поиск "дружественных имён" СОМ портов Argus19 22.11.2025 Поиск "дружественных имён" СОМ портов На странице: https:/ / norseev. ru/ 2018/ 01/ 04/ comportlist_windows/ нашёл схожую тему. Там приведён код на С++, который показывает только имена СОМ портов, типа,. . .
Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Programma_Boinc 20.11.2025 Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Вот решила сделать интересный приблизительный подсчет, сколько государство потратило на меня денег на покупку инсулинов. . . .	Ломающие изменения в C#.NStar Alpha Etyuhibosecyu 20.11.2025 Уже можно не только тестировать, но и пользоваться C#. NStar - писать оконные приложения, содержащие надписи, кнопки, текстовые поля и даже изображения, например, моя игра "Три в ряд" написана на этом. . .	Мысли в слух kumehtar 18.11.2025 Кстати, совсем недавно имел разговор на тему медитаций с людьми. И обнаружил, что они вообще не понимают что такое медитация и зачем она нужна. Самые базовые вещи. Для них это - когда просто люди. . .	Создание Single Page Application на фреймах krapotkin 16.11.2025 Статья исключительно для начинающих. Подходы оригинальностью не блещут. В век Веб все очень привыкли к дизайну Single-Page-Application . Быстренько разберем подход "на фреймах". Мы делаем одну. . .	Фото: Daniel Greenwood kumehtar 13.11.2025

@zazaza691 0 / 0 / 0 Регистрация: 20.09.2014 Сообщений: 9

	Сумма кубов биномиальных коэффициентов (числа Франеля) 10.02.2017, 19:40. Показов 2785. Ответов 4 Метки нет (Все метки) Всем привет! Сегодня преподаватель дал интересную задачку - найти сумму кубов биномиальных коэффициентов. Посидев некоторое время решил поискать информацию в Интернете. Нашёл красивое выражение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{S_n} = \sum\limits_{k = 0}^n {{{(C_n^k)}^3}} = \sum\limits_{k = 0}^n {{{(C_n^k)}^2}C_{2k}^n}$ Так называемое первое тождество Штреля (если я правильно понял). Кстати, не понимаю, почему в правой части равенства суммирование ведётся от 0, а не от 1. Ведь при $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?k=0$ для $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S_n$ мы получаем множитель $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C_0^n=-n$ . Также через некоторое время я нашёл рекуррентное соотношение для этой суммы $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{S_n} = \frac{{(7{n^2} - 7n + 2){S_{n - 1}} + 8{{(n - 1)}^2}{S_{n - 2}}}}{{{n^2}}}$ Однако сколько я не искал, я не смог найти понятного доказательства как для первого равенства, так и для второго. Возможно кто-то из вас знает, доказательство любого из 2ух равенств? Или хотя бы подскажет, где посмотреть/спросить. 0

@zazaza691 0 / 0 / 0 Регистрация: 20.09.2014 Сообщений: 9
	11.02.2017, 14:58 [ТС]
	Да, видел эту тему, но всё равно спасибо. Сейчас пытаюсь разобраться с алгоритмом Zeilberger (не знаю, как звучит на русском). Вроде при помощи него можно вторую ф-лу вывести 0

@Alex5 1130 / 789 / 232 Регистрация: 12.04.2010 Сообщений: 2,012
	15.02.2017, 21:53
	Сообщение было отмечено zazaza691 как решение Решение Кликните здесь для просмотра всего текста Вычислим коэффициент перед Xⁿ в тождестве $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(1+X)^A (1+X)^B = (1+X)^{A+B}$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C_{A+B}^n = \sum\limits_{i} C_{A}^i C_{B}^{n-i}$ Можно начать с того, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? C_{2k}^n = \sum\limits_{m} C_{k}^m C_{k}^{n-m}$ Теперь в правой части $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum\limits_{m} \sum\limits_{k} C_n^k C_n^k C_{k}^m C_{k}^{n-m}$ Далее, $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C_n^k C_{k}^m = C_n^m C_{n-m}^{k-m}$ Добавлено через 19 минут Аналогично, $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C_n^k C_{k}^{n-m} = C_n^{n-m} C_{n-(n-m)}^{k-(n-m)}$ И, последний шаг, $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{k} C_{n-m}^{k-m} * C_{n-(n-m)}^{k-(n-m)} = \sum_{k} C_{n-m}^{n-k} * C_{m}^{k-(n-m)} = C_n^{m}$ Теперь в правой части получилось $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{m} C_n^m C_n^{n-m} C_n^m$ 1

Сумма кубов биномиальных коэффициентов (числа Франеля)

Решение