Может ли число 5^n+1 делиться на 5^k-1, где n и k натуральные числа

@Настя Мулан · Регистрация: 11.02.2017

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Очень нужно, помогите пожалуйста.
Может ли число 5^n+1 делиться на 5^k-1, где n и k натуральные числа?
вроде через мат. индукцию как- то сказали сделать

Байт · 11.02.2017, 14:19

Настя Мулан, Начнем с того, что оно обязано в таком случае делиться на 4. А очень несложно показать, что оно не делится. Так как на 4 делятся числа вида 5^m - 1

Добавлено через 4 минуты

Сообщение от Настя Мулан

вроде через мат. индукцию как- то сказали сделать

Ну и пусть через индукцию делают те, кому своего времени не жалко. А мы воспользуемся простой формулой для суммы геометрической прогрессии (которая, кстати, доказывается методом мат-индукции)

@kabenyuk · 11.02.2017, 15:03

Сообщение от Байт

простой формулой для суммы геометрической прогрессии

Пусть k>0, то
5ⁿ+1=(5^k-1)q.
Левая часть сравнима с 2, а правая с 0 по модулю 4.
А формулой для суммы геометрической прогрессии пользуются те, кому времени не жалко. Шутка.

Байт · 11.02.2017, 15:10

Сообщение от kabenyuk

пользуются те, кому времени не жалко.

Если я правильно вас понял, то ваши рассуждения базируются на том удивительном факте, что 5 = 4 + 1

@kabenyuk · 11.02.2017, 15:25

Сообщение от Байт

базируются на том удивительном факте, что 5 = 4 + 1

Ну еще и на замечательном равенстве 4=5-1. Ну и на свойствах сравнений - это для ТС и рассуждаем от противного.

Байт · 11.02.2017, 16:55

В продолжении этой интереснейшей высоконаучной беседы могу предложить небольшое усиление результата
Mⁿ+1 Не может делиться на M^k-1

@eropegov · 11.02.2017, 17:09

Сообщение от Байт

Mⁿ+1 Не может делиться на M^k-1

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?3^n+1$ прекрасно делится на $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?3^1-1$ .

Байт · 11.02.2017, 17:12

Сообщение от eropegov

прекрасно делится

Ну что ж, беру свои слова обратно...

@eropegov · 11.02.2017, 17:14

Сообщение от Байт

беру свои слова обратно

Берите, но не все! Можно ж сыскать условия-ограничения, при которых это будет верно.

@kabenyuk · 12.02.2017, 06:39

Сообщение от Байт

Ну что ж, беру свои слова обратно

Вот так можно сформулировать общую задачу.
1) Найти все целые положительные M, для которых Mⁿ+1 не делится на M^k-1 для любых целых положительных n и k.
Еще одна задача - посложнее будет.
2) Найти все тройки М, n , k целых положительных чисел, для которых Mⁿ+1 делится на M^k-1.

@Настя Мулан 1 / 1 / 0 Регистрация: 11.02.2017 Сообщений: 24
		1
	Может ли число 5^n+1 делиться на 5^k-1, где n и k натуральные числа 11.02.2017, 12:18. Показов 2853. Ответов 9 Метки нет (Все метки) Очень нужно, помогите пожалуйста. Может ли число 5^n+1 делиться на 5^k-1, где n и k натуральные числа? вроде через мат. индукцию как- то сказали сделать 0

Байт Диссидент 27706 / 17322 / 3812 Регистрация: 24.12.2010 Сообщений: 38,979
	11.02.2017, 14:19	2
	Настя Мулан, Начнем с того, что оно обязано в таком случае делиться на 4. А очень несложно показать, что оно не делится. Так как на 4 делятся числа вида 5^m - 1 Добавлено через 4 минуты Сообщение от Настя Мулан вроде через мат. индукцию как- то сказали сделать Ну и пусть через индукцию делают те, кому своего времени не жалко. А мы воспользуемся простой формулой для суммы геометрической прогрессии (которая, кстати, доказывается методом мат-индукции) 1

@kabenyuk $Эксперт по математике/физике$ 4166 / 3038 / 914 Регистрация: 19.11.2012 Сообщений: 6,182
	11.02.2017, 15:03	3
	Сообщение от Байт простой формулой для суммы геометрической прогрессии Пусть k>0, то 5ⁿ+1=(5^k-1)q. Левая часть сравнима с 2, а правая с 0 по модулю 4. А формулой для суммы геометрической прогрессии пользуются те, кому времени не жалко. Шутка. 1

Байт Диссидент 27706 / 17322 / 3812 Регистрация: 24.12.2010 Сообщений: 38,979
	11.02.2017, 15:10	4
	Сообщение от kabenyuk пользуются те, кому времени не жалко. Если я правильно вас понял, то ваши рассуждения базируются на том удивительном факте, что 5 = 4 + 1 0

@kabenyuk $Эксперт по математике/физике$ 4166 / 3038 / 914 Регистрация: 19.11.2012 Сообщений: 6,182
	11.02.2017, 15:25	5
	Сообщение от Байт базируются на том удивительном факте, что 5 = 4 + 1 Ну еще и на замечательном равенстве 4=5-1. Ну и на свойствах сравнений - это для ТС и рассуждаем от противного. 0

Байт Диссидент 27706 / 17322 / 3812 Регистрация: 24.12.2010 Сообщений: 38,979
	11.02.2017, 16:55	6
	В продолжении этой интереснейшей высоконаучной беседы могу предложить небольшое усиление результата Mⁿ+1 Не может делиться на M^k-1 0

@eropegov $Эксперт по математике/физике$ 505 / 465 / 100 Регистрация: 30.01.2017 Сообщений: 1,371
	11.02.2017, 17:09	7
	Сообщение от Байт Mⁿ+1 Не может делиться на M^k-1 $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?3^n+1$ прекрасно делится на $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?3^1-1$ . 0

Байт Диссидент 27706 / 17322 / 3812 Регистрация: 24.12.2010 Сообщений: 38,979
	11.02.2017, 17:12	8
	Сообщение от eropegov прекрасно делится Ну что ж, беру свои слова обратно... 0

@eropegov $Эксперт по математике/физике$ 505 / 465 / 100 Регистрация: 30.01.2017 Сообщений: 1,371
	11.02.2017, 17:14	9
	Сообщение от Байт беру свои слова обратно Берите, но не все! Можно ж сыскать условия-ограничения, при которых это будет верно. 0

@kabenyuk $Эксперт по математике/физике$ 4166 / 3038 / 914 Регистрация: 19.11.2012 Сообщений: 6,182
	12.02.2017, 06:39	10
	Сообщение от Байт Ну что ж, беру свои слова обратно Вот так можно сформулировать общую задачу. 1) Найти все целые положительные M, для которых Mⁿ+1 не делится на M^k-1 для любых целых положительных n и k. Еще одна задача - посложнее будет. 2) Найти все тройки М, n , k целых положительных чисел, для которых Mⁿ+1 делится на M^k-1. 0