Вероятность одеть не свою шляпу

@oobarbazanoo · Регистрация: 13.05.2015

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Подскажите, пожалуйста, как решить следующую задачу.

На празднике было n человек. Все они оставили свои шляпы в гардеробе. Когда пришло время уходить никто не мог отличить свою шляпу от чужих. Какая вероятность, что все уйдут с чужой шляпой?

Правильно ли считаю? Всего возможностей обменяться шляпами $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n!$ . Теперь выбираем первому человеку не его шляпу из $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n-1$ шляп, выбираем второму - чью шляпу взял первый из $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n-1$ шляп и так далее. Тогда используя классическое определение вероятности получим искомую вероятность: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{(n-1)(n-1)(n-3)(n-3)...}{n!}$ . Но это срабатывает лишь для чётного $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n$ и перебирает не все возможные варианты, а поэтому неправильное решение.

@jogano · 12.11.2017, 17:18

Посмотрите здесь пост #3, первую половину.

@oobarbazanoo · 12.11.2017, 18:24 **[ТС]**

Проверьте, пожалуйста, правильно ли я делаю.

Всего $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n!$ вариантов выбрать шляпы.
Пускай $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{A}_{1}$ - 1-й человек взял свою шляпу, ..., $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{A}_{n}$ - n-й человек взял свою шляпу.
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{A}_{a}$ - все взяли не свою шляпу.
Для любого $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?i \in [1, n], i\in N$ в $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{A}_{i}$ существует $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(n-1)!$ перестановок, так как мы вот этот $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?i$ -й зафиксируем так что бы соответствующий человек взял свою шляпу и расставим остальные произвольным образом.
Тогда $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{A}_{a} = n! - {A}_{1} - ... - {A}_{n} + {A}_{1}{A}_{2} + ... + {(-1)}^{n}{A}_{1}...{A}_{n}$ - все взяли так шляпы, что это не их, то есть все взяли не свои шляпы.
И по классическому определению получаем вероятность того, что все люди взяли не свои шляпы:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?1 - \frac{{A}_{1} + ... + {A}_{n} - {A}_{1}{A}_{2} - ... - {(-1)}^{n}{A}_{1}...{A}_{n}}{n!}$ .

@jogano · 12.11.2017, 18:39

Если бы вы ещё не путали событие А с количеством перестановок, для которых это событие выполнено, было бы правильно.

@oobarbazanoo · 12.11.2017, 19:05 **[ТС]**

jogano, если во всех вычеслениях вместо $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{A}_{i}$ написать $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(n-1)!$ , то это будет верно?

@jogano · 12.11.2017, 19:08

А вместо A_iA_j что вы напишете? $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left( \left(n-1 \right)!\right)^2$ ?

@oobarbazanoo · 13.11.2017, 13:12 **[ТС]**

jogano, подскажите, пожалуйста.
Правильно ли утверждать, что вероятность того, что все n человек уйдут с чужой шляпой равна $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?1 - \frac{\sum_{r = 1}^{n}{(-1)}^{r-1} {(C_{n}^{r})}^{2}(n-r)!}{n!}$ ?

Добавлено через 16 часов 24 минуты
jogano, гляньте мой седьмой пост, пожалуйста. Правильное ли утверждение?

@jogano · 13.11.2017, 14:25

Какой настырный молодой человек... А сами не в состоянии проверить, раскрыв С через факториалы и убедиться, что это НЕ правильно? Подставьте n=3, выйдет "вероятность" -2/3.

@oobarbazanoo · 14.11.2017, 19:38 **[ТС]**

jogano, а что тогда не так с рассуждениями-то?

Сначала посчитаем вероятность того, что хотя бы один уйдёт со своей шляпой. Это будет вероятность объединения событий, когда 1-й уходит с шляпой, 2-й, ..., n-й. Эта вероятность равна $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{i=1}^{n}{(-1)}^{1-i}\sum_{1\leq {j}_{1} < {j}_{2} < ... < {j}_{i}\leq n}^{}P({A}_{{j}_{1}})P({A}_{{j}_{2}})...P({A}_{{j}_{i}})$ , где $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{A}_{i}$ - событие, при котором i-й человек одевает свою шляпу. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P({A}_{i}) = \frac{(n-1)!}{n!} = \frac{1}{n}$

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{i=1}^{n}{(-1)}^{1-i}\sum_{1\leq {j}_{1} < {j}_{2} < ... < {j}_{i}\leq n}^{}P({A}_{{j}_{1}})P({A}_{{j}_{2}})...P({A}_{{j}_{i}}) = \sum_{i=1}^{n}{(-1)}^{1-i}\sum_{i = 1}^{C_n^i}\frac{1}{{n}^{i}} = \sum_{i=1}^{n}{(-1)}^{1-i}\sum_{i = 1}^{C_n^i}\frac{1}{{n}^{i}}=\sum_{i=1}^{n}{(-1)}^{1-i}\frac{C_n^i}{{n}^{i}}$ .

И тогда вероятность того, что все n уйдёт с чужими шляпами: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?1- \sum_{i=1}^{n}{(-1)}^{1-i}\frac{C_n^i}{{n}^{i}}$ .
Теперь вроде бы верно.

Добавлено через 12 минут
И при n = 3 имеем вполне нормальный результат: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?1 - (1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{27}) = \frac{8}{27}$ .

@jogano · 14.11.2017, 20:22

В длинные выкладки я не вчитался пока (вы сегодня превзошли самого себя по длине сообщения

), но по последнему результату напишу. Критерием истины есть практика, как бы это банально ни звучало. n=3 - 3 человека, 3 шляпы. Выпишем все перестановки 3-х чисел:
123 132 213 231 312 321 - 3!=6 перестановок, как положено. Из них не правильных только две - 4-я и 5-я. Вероятность 1/3, а никак не 8/27. По моей формуле вероятность такая же:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?1-\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}=\frac{1}{2}-\frac{1}{6}=\frac{1}{3}$
Так что... что-то в ваших рассуждениях не так.

@oobarbazanoo · 16.11.2017, 19:53 **[ТС]**

jogano, по Вашей формуле при четырёх гостях вероятность того, что все гости уйдёт с чужой шляпой равна $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{3}{8}$ . Верно?

@ant-ares · 23.06.2020, 22:37

думаю вероятность взять не свою будет уменьшаться (а взять свою - увеличиваться) по мере уменьшения кандидатов и сокращения шляп; поэтому вероятность всего события будет суммой вероятностей каждого кандидата при уменьшении их числа и числа шляп; и вероятность первого будет самой большей

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
PhpStorm 2025.3: WSL Terminal всегда стартует в ~ and_y87 14.12.2025 PhpStorm 2025. 3: WSL Terminal всегда стартует в ~ (home), игнорируя директорию проекта Симптом: После обновления до PhpStorm 2025. 3 встроенный терминал WSL открывается в домашней директории. . .	Access VikBal 11.12.2025 Помогите пожалуйста !! Как объединить 2 одинаковые БД Access с разными данными.	Новый ноутбук volvo 07.12.2025 Всем привет. По скидке в "черную пятницу" взял себе новый ноутбук Lenovo ThinkBook 16 G7 на Амазоне: Ryzen 5 7533HS 64 Gb DDR5 1Tb NVMe 16" Full HD Display Win11 Pro	Музыка, написанная Искусственным Интеллектом volvo 04.12.2025 Всем привет. Некоторое время назад меня заинтересовало, что уже умеет ИИ в плане написания музыки для песен, и, собственно, исполнения этих самых песен. Стихов у нас много, уже вышли 4 книги, еще 3. . .	От async/await к виртуальным потокам в Python IndentationError 23.11.2025 Армин Ронахер поставил под сомнение async/ await. Создатель Flask заявляет: цветные функции - провал, виртуальные потоки - решение. Не threading-динозавры, а новое поколение лёгких потоков. Откат?. . .
Поиск "дружественных имён" СОМ портов Argus19 22.11.2025 Поиск "дружественных имён" СОМ портов На странице: https:/ / norseev. ru/ 2018/ 01/ 04/ comportlist_windows/ нашёл схожую тему. Там приведён код на С++, который показывает только имена СОМ портов, типа,. . .	Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Programma_Boinc 20.11.2025 Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Вот решила сделать интересный приблизительный подсчет, сколько государство потратило на меня денег на покупку инсулинов. . . .	Ломающие изменения в C#.NStar Alpha Etyuhibosecyu 20.11.2025 Уже можно не только тестировать, но и пользоваться C#. NStar - писать оконные приложения, содержащие надписи, кнопки, текстовые поля и даже изображения, например, моя игра "Три в ряд" написана на этом. . .	Мысли в слух kumehtar 18.11.2025 Кстати, совсем недавно имел разговор на тему медитаций с людьми. И обнаружил, что они вообще не понимают что такое медитация и зачем она нужна. Самые базовые вещи. Для них это - когда просто люди. . .	Создание Single Page Application на фреймах krapotkin 16.11.2025 Статья исключительно для начинающих. Подходы оригинальностью не блещут. В век Веб все очень привыкли к дизайну Single-Page-Application . Быстренько разберем подход "на фреймах". Мы делаем одну. . .

@oobarbazanoo 7 / 30 / 9 Регистрация: 13.05.2015 Сообщений: 1,835

	Вероятность одеть не свою шляпу 12.11.2017, 16:39. Показов 13593. Ответов 11 Метки нет (Все метки) Подскажите, пожалуйста, как решить следующую задачу. На празднике было n человек. Все они оставили свои шляпы в гардеробе. Когда пришло время уходить никто не мог отличить свою шляпу от чужих. Какая вероятность, что все уйдут с чужой шляпой? Правильно ли считаю? Всего возможностей обменяться шляпами $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n!$ . Теперь выбираем первому человеку не его шляпу из $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n-1$ шляп, выбираем второму - чью шляпу взял первый из $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n-1$ шляп и так далее. Тогда используя классическое определение вероятности получим искомую вероятность: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{(n-1)(n-1)(n-3)(n-3)...}{n!}$ . Но это срабатывает лишь для чётного $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n$ и перебирает не все возможные варианты, а поэтому неправильное решение. 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6360 / 4067 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	12.11.2017, 17:18
	Сообщение было отмечено oobarbazanoo как решение Решение Посмотрите здесь пост #3, первую половину. 1

@oobarbazanoo 7 / 30 / 9 Регистрация: 13.05.2015 Сообщений: 1,835
	12.11.2017, 18:24 [ТС]
	Проверьте, пожалуйста, правильно ли я делаю. Всего $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n!$ вариантов выбрать шляпы. Пускай $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{A}_{1}$ - 1-й человек взял свою шляпу, ..., $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{A}_{n}$ - n-й человек взял свою шляпу. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{A}_{a}$ - все взяли не свою шляпу. Для любого $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?i \in [1, n], i\in N$ в $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{A}_{i}$ существует $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(n-1)!$ перестановок, так как мы вот этот $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?i$ -й зафиксируем так что бы соответствующий человек взял свою шляпу и расставим остальные произвольным образом. Тогда $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{A}_{a} = n! - {A}_{1} - ... - {A}_{n} + {A}_{1}{A}_{2} + ... + {(-1)}^{n}{A}_{1}...{A}_{n}$ - все взяли так шляпы, что это не их, то есть все взяли не свои шляпы. И по классическому определению получаем вероятность того, что все люди взяли не свои шляпы: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?1 - \frac{{A}_{1} + ... + {A}_{n} - {A}_{1}{A}_{2} - ... - {(-1)}^{n}{A}_{1}...{A}_{n}}{n!}$ . 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6360 / 4067 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	12.11.2017, 18:39
	Если бы вы ещё не путали событие А с количеством перестановок, для которых это событие выполнено, было бы правильно. 1

@oobarbazanoo 7 / 30 / 9 Регистрация: 13.05.2015 Сообщений: 1,835
	12.11.2017, 19:05 [ТС]
	jogano, если во всех вычеслениях вместо $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{A}_{i}$ написать $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(n-1)!$ , то это будет верно? 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6360 / 4067 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	12.11.2017, 19:08
	А вместо A_iA_j что вы напишете? $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left( \left(n-1 \right)!\right)^2$ ? 1

@oobarbazanoo 7 / 30 / 9 Регистрация: 13.05.2015 Сообщений: 1,835
	13.11.2017, 13:12 [ТС]
	jogano, подскажите, пожалуйста. Правильно ли утверждать, что вероятность того, что все n человек уйдут с чужой шляпой равна $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?1 - \frac{\sum_{r = 1}^{n}{(-1)}^{r-1} {(C_{n}^{r})}^{2}(n-r)!}{n!}$ ? Добавлено через 16 часов 24 минуты jogano, гляньте мой седьмой пост, пожалуйста. Правильное ли утверждение? 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6360 / 4067 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	13.11.2017, 14:25
	Какой настырный молодой человек... А сами не в состоянии проверить, раскрыв С через факториалы и убедиться, что это НЕ правильно? Подставьте n=3, выйдет "вероятность" -2/3. 1

@oobarbazanoo 7 / 30 / 9 Регистрация: 13.05.2015 Сообщений: 1,835
	14.11.2017, 19:38 [ТС]
	jogano, а что тогда не так с рассуждениями-то? Сначала посчитаем вероятность того, что хотя бы один уйдёт со своей шляпой. Это будет вероятность объединения событий, когда 1-й уходит с шляпой, 2-й, ..., n-й. Эта вероятность равна $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{i=1}^{n}{(-1)}^{1-i}\sum_{1\leq {j}_{1} < {j}_{2} < ... < {j}_{i}\leq n}^{}P({A}_{{j}_{1}})P({A}_{{j}_{2}})...P({A}_{{j}_{i}})$ , где $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{A}_{i}$ - событие, при котором i-й человек одевает свою шляпу. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P({A}_{i}) = \frac{(n-1)!}{n!} = \frac{1}{n}$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{i=1}^{n}{(-1)}^{1-i}\sum_{1\leq {j}_{1} < {j}_{2} < ... < {j}_{i}\leq n}^{}P({A}_{{j}_{1}})P({A}_{{j}_{2}})...P({A}_{{j}_{i}}) = \sum_{i=1}^{n}{(-1)}^{1-i}\sum_{i = 1}^{C_n^i}\frac{1}{{n}^{i}} = \sum_{i=1}^{n}{(-1)}^{1-i}\sum_{i = 1}^{C_n^i}\frac{1}{{n}^{i}}=\sum_{i=1}^{n}{(-1)}^{1-i}\frac{C_n^i}{{n}^{i}}$ . И тогда вероятность того, что все n уйдёт с чужими шляпами: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?1- \sum_{i=1}^{n}{(-1)}^{1-i}\frac{C_n^i}{{n}^{i}}$ . Теперь вроде бы верно. Добавлено через 12 минут И при n = 3 имеем вполне нормальный результат: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?1 - (1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{27}) = \frac{8}{27}$ . 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6360 / 4067 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	14.11.2017, 20:22
	В длинные выкладки я не вчитался пока (вы сегодня превзошли самого себя по длине сообщения ), но по последнему результату напишу. Критерием истины есть практика, как бы это банально ни звучало. n=3 - 3 человека, 3 шляпы. Выпишем все перестановки 3-х чисел: 123 132 213 231 312 321 - 3!=6 перестановок, как положено. Из них не правильных только две - 4-я и 5-я. Вероятность 1/3, а никак не 8/27. По моей формуле вероятность такая же: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?1-\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}=\frac{1}{2}-\frac{1}{6}=\frac{1}{3}$ Так что... что-то в ваших рассуждениях не так. 1

@oobarbazanoo 7 / 30 / 9 Регистрация: 13.05.2015 Сообщений: 1,835
	16.11.2017, 19:53 [ТС]
	jogano, по Вашей формуле при четырёх гостях вероятность того, что все гости уйдёт с чужой шляпой равна $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{3}{8}$ . Верно? 0

@ant-ares 18 / 9 / 4 Регистрация: 22.04.2016 Сообщений: 310
	23.06.2020, 22:37
	думаю вероятность взять не свою будет уменьшаться (а взять свою - увеличиваться) по мере уменьшения кандидатов и сокращения шляп; поэтому вероятность всего события будет суммой вероятностей каждого кандидата при уменьшении их числа и числа шляп; и вероятность первого будет самой большей 0

Вероятность одеть не свою шляпу

Решение