Задача на теорию систем линейных уравнений с 2-мя неизвестными

@4ik · Регистрация: 05.02.2013

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Здравствуйте!
В школьной программе уже давно не изучается зависимость коэффициентов в системе от кол-во решений*.
*)

Но встретилось задание связанное с ней:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{cases} bx-y=a{c}^{2}\\ (b-6)x+2by=c+1\end{cases}$
при каких a для любого b найдется c , что эта система имеет хотя бы 1 решение?
Мое решение:
исходя из теоремы я пошел от противного "когда нет решений" , т.е. 1 условие выполняется а 2-ое нет.
из 1 условия я получил b=1 (1) или b=-1,5 (2) из не отрицательности дискриминанта для 2 условия (дельта 1 и 2) следует, что:
(1)
a<= 1/8 & a <=1/20
(2)
a>= -1/20 & a>=-1/12 .
Ответ в книге -1/12=<a<=1/8. Как обосновать его?И как объяснить фразу "при каких a для любого b найдется c , что эта система имеет хотя бы 1 решение?" (развернуть проще).
Заранее спасибо за ответы.

@kabenyuk · 25.02.2014, 13:35

Определитель системы равен $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?2b^2+b-6.$
Если он отличен от нуля, то система совместна. Он обращается в ноль при b=-2, 3/2.
Если b=-2, то наша система совместна при условии
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?ac^2=\frac{c+1}{4}.$

Если b=3/2, то наша система совместна при условии
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?ac^2=-\frac{c+1}{3}.$

Осталось ответить на вопрос: при каких $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a$ одновременно оба квадратных уравнения относительно c имеют вещественные корни. Это так, если их дискриминанты неотрицательны:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?1+16a\geq0,$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?1-12a\geq0.$
Отсюда
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?-\frac{1}{16}\leq a\leq\frac{1}{12}.$

@4ik · 25.02.2014, 14:10 **[ТС]**

kabenyuk, Ответ в книге -1/12=<a<=1/8 опечаток не замечал. А откуда условия следуют и почему задействовано только дельта 1(рис)?Лит-ру не подскажите где более подробно рассмотрена теория систем линейных уравнений?

@kabenyuk · 25.02.2014, 15:23

Если для школьников, то почитайте статью
Дорофеев Г. , Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными.
Если интересует самый общий случай линейных систем, возьмите учебник по так называемой высшей алгебре. Например, Курош А.Г., Курс высшей алгебры. Но эта ваша задача не требует всей этой теории - достаточно здравого смысла. Что ответ не тот - тут три варианта: моя ошибка в вычислениях, вы не правильно переписали задачу, и все-таки опечатка в вашей книге.

@4ik · 25.02.2014, 19:09 **[ТС]**

kabenyuk, Ну в вычислениях все верно, я все так переписал, значит учебник, ну ок. Спасибо за ответы!

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Символьное дифференцирование igorrr37 13.02.2026 / * Логарифм записывается как: (x-2)log(x^2+2) - означает логарифм (x^2+2) по основанию (x-2). Унарный минус обозначается как ! */ #include <iostream> #include <stack> #include <cctype>. . .	Камера Toupcam IUA500KMA Eddy_Em 12.02.2026 Т. к. у всяких "хикроботов" слишком уж мелкий пиксель, для подсмотра в ESPriF они вообще плохо годятся: уже 14 величину можно рассмотреть еле-еле лишь на экспозициях под 3 секунды (а то и больше),. . .	И ясному Солнцу zbw 12.02.2026 И ясному Солнцу, и светлой Луне. В мире покоя нет и люди не могут жить в тишине. А жить им немного лет.	«Знание-Сила» zbw 12.02.2026 «Знание-Сила» «Время-Деньги» «Деньги -Пуля»
SDL3 для Web (WebAssembly): Подключение Box2D v3, физика и отрисовка коллайдеров 8Observer8 12.02.2026 Содержание блога Box2D - это библиотека для 2D физики для анимаций и игр. С её помощью можно определять были ли коллизии между конкретными объектами и вызывать обработчики событий столкновения. . . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Загрузка PNG с прозрачным фоном с помощью SDL_LoadPNG (без SDL3_image) 8Observer8 11.02.2026 Содержание блога Библиотека SDL3 содержит встроенные инструменты для базовой работы с изображениями - без использования библиотеки SDL3_image. Пошагово создадим проект для загрузки изображения. . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Загрузка PNG с прозрачным фоном с помощью SDL3_image 8Observer8 10.02.2026 Содержание блога Библиотека SDL3_image содержит инструменты для расширенной работы с изображениями. Пошагово создадим проект для загрузки изображения формата PNG с альфа-каналом (с прозрачным. . .	Установка Qt-версии Lazarus IDE в Debian Trixie Xfce volvo 10.02.2026 В общем, достали меня глюки IDE Лазаруса, собранной с использованием набора виджетов Gtk2 (конкретно: если набирать текст в редакторе и вызвать подсказку через Ctrl+Space, то после закрытия окошка. . .

@4ik 5 / 5 / 2 Регистрация: 05.02.2013 Сообщений: 98

	Задача на теорию систем линейных уравнений с 2-мя неизвестными 25.02.2014, 01:30. Показов 1486. Ответов 4 Метки нет (Все метки) Здравствуйте! В школьной программе уже давно не изучается зависимость коэффициентов в системе от кол-во решений. ) Но встретилось задание связанное с ней: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{cases} bx-y=a{c}^{2}\\ (b-6)x+2by=c+1\end{cases}$ при каких a для любого b найдется c , что эта система имеет хотя бы 1 решение? Мое решение: исходя из теоремы я пошел от противного "когда нет решений" , т.е. 1 условие выполняется а 2-ое нет. из 1 условия я получил b=1 (1) или b=-1,5 (2) из не отрицательности дискриминанта для 2 условия (дельта 1 и 2) следует, что: (1) a<= 1/8 & a <=1/20 (2) a>= -1/20 & a>=-1/12 . Ответ в книге -1/12=<a<=1/8. Как обосновать его?И как объяснить фразу "при каких a для любого b найдется c , что эта система имеет хотя бы 1 решение?" (развернуть проще). Заранее спасибо за ответы. 0

@kabenyuk $Эксперт по математике/физике$ 4182 / 3052 / 918 Регистрация: 19.11.2012 Сообщений: 6,196
	25.02.2014, 13:35
	Определитель системы равен $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?2b^2+b-6.$ Если он отличен от нуля, то система совместна. Он обращается в ноль при b=-2, 3/2. Если b=-2, то наша система совместна при условии $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?ac^2=\frac{c+1}{4}.$ Если b=3/2, то наша система совместна при условии $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?ac^2=-\frac{c+1}{3}.$ Осталось ответить на вопрос: при каких $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a$ одновременно оба квадратных уравнения относительно c имеют вещественные корни. Это так, если их дискриминанты неотрицательны: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?1+16a\geq0,$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?1-12a\geq0.$ Отсюда $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?-\frac{1}{16}\leq a\leq\frac{1}{12}.$ 0

@4ik 5 / 5 / 2 Регистрация: 05.02.2013 Сообщений: 98
	25.02.2014, 14:10 [ТС]
	kabenyuk, Ответ в книге -1/12=<a<=1/8 опечаток не замечал. А откуда условия следуют и почему задействовано только дельта 1(рис)?Лит-ру не подскажите где более подробно рассмотрена теория систем линейных уравнений? 0

@kabenyuk $Эксперт по математике/физике$ 4182 / 3052 / 918 Регистрация: 19.11.2012 Сообщений: 6,196
	25.02.2014, 15:23
	Если для школьников, то почитайте статью Дорофеев Г. , Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Если интересует самый общий случай линейных систем, возьмите учебник по так называемой высшей алгебре. Например, Курош А.Г., Курс высшей алгебры. Но эта ваша задача не требует всей этой теории - достаточно здравого смысла. Что ответ не тот - тут три варианта: моя ошибка в вычислениях, вы не правильно переписали задачу, и все-таки опечатка в вашей книге. 1

@4ik 5 / 5 / 2 Регистрация: 05.02.2013 Сообщений: 98
	25.02.2014, 19:09 [ТС]
	kabenyuk, Ну в вычислениях все верно, я все так переписал, значит учебник, ну ок. Спасибо за ответы! 0