X^15 + 1 разложить

@stas00 · Регистрация: 15.12.2013

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Вот увидел такое

Многочлен x15 + 1 разлагается на множители (как? - вот в чем вопрос)

x^15 + 1 = (1 + x)(1 + x + x^2)(1 + x + x^2 + x^3 + x^4)(1 + x + x^4)(1 + x^3 + x^4),

и теперь ломаю голову как это вышло

Расскажите как так получилось. Вот что еще нашел, но мало что понял http://smolapo.ru/sites/defaul... ogenie.pdf

Байт · 18.10.2015, 23:21

stas00, Уравнение x¹⁵+1 = 0 имеет 15 комплексных корней x_i = cos (pi*(2k+1)/15) + i sin (pi*(2k+1)/15) , k = 0, 1... 14.
Один из них при k = 0 равен x₀ = -1. Дает множитель (x+1)
остальные 14 образуют 7 пар сопряженных, которые(пары вида (x-x_i), (x+x_i), i=1,2,...7 ) при перемножении дают 6 квадратных многочленов с действительными коэфициэнтами.
Это даст разложении на неприводимые множители.
Потом, видимо, надо как-то их по-хитрому сгруппировать, чтобы получить вот то самое красивое разложение...

@stas00 · 18.10.2015, 23:33 **[ТС]**

У вас есть ссылска на статью, где можно почить об этом и изучить пример, потому что все равно еще мало что понятно

Байт · 18.10.2015, 23:51

Сообщение от stas00

У вас есть ссылка

Увы! Но это просто Алгебра. Теория мночленов. А чт о именно непонятно?
Для уяснения механики попробуйте применить то, что я написал, к многочленам x³+1, x⁵+1

echs · 19.10.2015, 09:40

stas00,
Попробуйте начать так. Поскольку один множитель известен. Это x+1. То далее поступаем так.
(x^15+1)/(x+1)=1 - x + x^2 - x^3 + ... + x^14
В правой части 15 слагаемых. Сгруппируем их по три.
(1-x+x^2) - x^3(1-x+x^2) + x^6(1-x+x^2)- .... +x^12(1-x+x^2)
Далее
(1 - x + x^2)(1 - x^3 + x^6 - x9 + x^12)
Надеюсь, что я не ошибся
Для разложения последнего множителя лучше сделать постановку x^3=z. Имеем
z^4 - z^3 + z^2 - z + 1
Это возвратный многочлен четвертой степени
Попробуйте дальше сами (это лучше решать на бумаге, чем на экране планшетника)

Добавлено через 11 минут
stas00,
Ваш ответ явно ложный. Ибо все слагаемые множителей со знаком плюс!! Если их перемножить, то ничего не сократится!

@mathmichel · 19.10.2015, 09:56

Сообщение от stas00

Многочлен x15 + 1 разлагается на множители (как? - вот в чем вопрос)
x^15 + 1 = (1 + x)(1 + x + x^2)(1 + x + x^2 + x^3 + x^4)(1 + x + x^4)(1 + x^3 + x^4),

Нет такого разложения (даже с учетом замены знаков + на -)!

@kabenyuk · 19.10.2015, 16:42

Внесу свою лепту. Имеем очевидные (для многих) равенства
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> (1)\ 1+y^3=(1+y)(1-y+y^2) \Rightarrow 1+x^{15}=(1+x^5)(1-x^5+x^{10})= (1+x)(1-x+x^2-x^3+x^4)(1-x^5+x^{10});<br /> \\<br /> (2)\ 1+y^5=(1+y)(1-y+y^2+y^3-y^4) \Rightarrow 1+x^{15}=(1+x^3)(1-x^3+x^6-x^9+x^{12})=(1+x)(1-x+x^2)(1-x^3+x^6-x^9+x^{12}).<br />$

Из (1) следует, что p=1-x+x^2 - делитель 1+x^{15} и p взаимно прост с первыми двумя сомножителями из (2),
то p делитель последней скобки из (2). Если не лень, то поделите эту скобку на p, получите разложение,
которое указал mathidiot.

Добавлено через 2 часа 8 минут
Последняя фраза содержит опечатки. Надо все ссылки на формулы 1 и 2 поменять ролями.

@stas00 · 19.10.2015, 16:54 **[ТС]**

Хорошо, тогда нужно раскладывать как описал geh или есть еще способы?

echs · 19.10.2015, 18:07

stas00,
Продолжение.
Итак осталось разложить многочлен z^4 - z^3 + z^2 - z + 1
Группируем
(z^4 + 1) - (z^3 + z) + z^2
Далее
(z^2 + 1)^2 - z(z^2 + 1) - z^2
Делаем подстановку
z^2 + 1 = u
u^2 - zu - z^2
Это квадратное уравнение относительно u имеет
два корня $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?u=\frac {1\pm\sqrt2}{2}z$
Для простоты обозначим корни через a и b. Имеем
(u - az)(u - bz)
Вместо u подставляем его значение. Получим
(z^2 - az +1)(z^2 - bz +1)
Элементарная проверка показывает, что эти два квадратных многочлена не раскладываются на линейные множители.
Учитывая предыдущие выкладки, запишем ответ.
Ответ:
(x + 1)(x^2 - x + 1)(x^6 - ax^3 + 1)(x^6 - bx^3 + 1)
где
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a=\frac {1+\sqrt2}{2}$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?b=\frac {1-\sqrt2}{2}$

@stas00 · 19.10.2015, 19:19 **[ТС]**

geh, почему вы изменили знак?

(z^4 + 1) - (z^3 + z) + z^2
Далее
(z^2 + 1)^2 - z(z^2 + 1) - z^2

а также корень, почему именно корень с 2, а не с 3, ведь по формуле
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{1}^{2}-4*1*1=3$
и почему умножается на z, если ниже в корнях a и b этого не делается
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{1\pm \sqrt{3}}{2}$

echs · 20.10.2015, 12:12

stas00,
Я применил тождество
(x^4 + 1) = (x^2 + 1)^2 - 2x^2
Последнее слагаемое не было выписано явно. И сразу привел подобные. Это и ввело вас в заблуждение.

Добавлено через 3 часа 25 минут
Я еще раз просчитал корни. Получилось вот что.
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac {1\pm\sqrt 5}{2}$
Теперь надо проверить на разложение квадратные многочлены

Добавлено через 5 минут
Проверил.
В общем ответ прежний, только a и b другие.

@Alex5 · 21.10.2015, 13:32

Сообщение от stas00

У вас есть ссылска на статью, где можно почить об этом

stas00, можно посмотреть, что такое комплексные корни из 1.

Добавлено через 5 минут
"Разложить" - ещё надо уточнить, с какими коэффициентами. У mathidiot разложение с целыми коэф.
У Байт разложение с вещественными коэф.

Добавлено через 3 минуты
Рассмотрим $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\;\;z^{15}\;-\;1\;\;$ (Потом заменим x = - z. )

Добавлено через 41 минуту
Ещё один вариант формул, полученных mathidiot, kabenyuk.

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\;\;z^{15}\; -\; 1\;\;$ делится на $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\;\;z^{5}\; -\; 1\;\;$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\;\;z^{3}\; -\; 1\;\;$

Другими словами, корни из единицы 15 степени содержат корни 3 степени и корни 5 степени.

Произведение остальных корней из 1 равняется

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\;F(z) \;= \;\frac{ (\;z^{15}\; -\; 1) \; (z-1) } { (\;z^5\; -\; 1\;) \;(z^3\; -\; 1)\;} = \;...\;$ (Далее см. формулу у mathidiot.)

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\; (\;z^{15}\; -\; 1) \;= \;\frac{ F(z) (\;z^5\; -\; 1\;) \;(z^3\; -\; 1)\; } { \; (z-1)} \;=\;...$

Добавлено через 8 минут
geh, а почему Вы (x^6 - bx^3 + 1) не разложили?

Добавлено через 1 час 8 минут

Не по теме:

Я тебе про Фому а ты мне про Ерему.
Бывает люди спорят, а на самом деле говорят о разных вещах.

Сообщение от mathidiot

Нет такого разложения (даже с учетом замены знаков + на -)!

mathidiot, такое разложение будет верным, когда +1 = -1, и 2 = 4 = 8 = ... = 0.
Посмотрите на Вашу формулу, когда 2 = 4 = 8 = ... = 0.

@mathmichel · 21.10.2015, 13:43

Сообщение от Alex5

такое разложение будет верным, когда +1 = -1, и 2 = 4 = 8 = ... = 0.
Посмотрите на Вашу формулу, когда 2 = 4 = 8 = ... = 0

Т.е. в другой алгебре (по модулю 2), только об этом ТС ничего не сказал в своем первом сообщении и вряд ли это он имел в виду.

echs · 21.10.2015, 15:17

geh, а почему Вы (x^6 - bx^3 + 1) не разложили?
.............
На что? Как квадратный многочлен он не разлагается.

@Alex5 · 21.10.2015, 17:27

Сообщение от geh

Как квадратный многочлен он не разлагается.

Вообще-то фраза "разлагается" не имеет смысла.

В поле C разлагается на линейные множители.

Сообщение от Байт

Уравнение x¹⁵+1 = 0 имеет 15 комплексных корней x_i = cos (pi*(2k+1)/15) + i sin (pi*(2k+1)/15) , k = 0, 1... 14.

В поле R разлагается на квадратные и линейные.

Сообщение от Байт

остальные 14 ... дают 7 квадратных многочленов с действительными коэфициэнтами.

Добавлено через 7 минут
И другие варианты.

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\;\mathbb{Z}\;\;$ сообщения #6, #7

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\;\mathbb{Z}_{\small{ 2}}\;\;$ сообщение #1

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\;\mathbb{Q}[\sqrt{5}]\;\;$ сообщения #9, #11

echs · 21.10.2015, 17:30

Alex5,
Вы правы. Мне тоже известно, что все можно разложить на квадратные многочлены. Только вот коэффициенты столь громоздки, что такое разложение вряд ли кому доставит радость.

@stas00 1 / 1 / 0 Регистрация: 15.12.2013 Сообщений: 104
		1
	X^15 + 1 разложить 18.10.2015, 22:29. Показов 3613. Ответов 15 Метки нет (Все метки) Вот увидел такое Многочлен x15 + 1 разлагается на множители (как? - вот в чем вопрос) x^15 + 1 = (1 + x)(1 + x + x^2)(1 + x + x^2 + x^3 + x^4)(1 + x + x^4)(1 + x^3 + x^4), и теперь ломаю голову как это вышло Расскажите как так получилось. Вот что еще нашел, но мало что понял http://smolapo.ru/sites/defaul... ogenie.pdf 0

Байт Диссидент 27706 / 17322 / 3812 Регистрация: 24.12.2010 Сообщений: 38,979
	18.10.2015, 23:21	2
	stas00, Уравнение x¹⁵+1 = 0 имеет 15 комплексных корней x_i = cos (pi(2k+1)/15) + i sin (pi(2k+1)/15) , k = 0, 1... 14. Один из них при k = 0 равен x₀ = -1. Дает множитель (x+1) остальные 14 образуют 7 пар сопряженных, которые(пары вида (x-x_i), (x+x_i), i=1,2,...7 ) при перемножении дают 6 квадратных многочленов с действительными коэфициэнтами. Это даст разложении на неприводимые множители. Потом, видимо, надо как-то их по-хитрому сгруппировать, чтобы получить вот то самое красивое разложение... 2

@stas00 1 / 1 / 0 Регистрация: 15.12.2013 Сообщений: 104
	18.10.2015, 23:33 [ТС]	3
	У вас есть ссылска на статью, где можно почить об этом и изучить пример, потому что все равно еще мало что понятно 0

Байт Диссидент 27706 / 17322 / 3812 Регистрация: 24.12.2010 Сообщений: 38,979
	18.10.2015, 23:51	4
	Сообщение от stas00 У вас есть ссылка Увы! Но это просто Алгебра. Теория мночленов. А чт о именно непонятно? Для уяснения механики попробуйте применить то, что я написал, к многочленам x³+1, x⁵+1 0

echs Регистрация: 23.10.2013 Сообщений: 5,076 Записей в блоге: 8
	19.10.2015, 09:40	5
	stas00, Попробуйте начать так. Поскольку один множитель известен. Это x+1. То далее поступаем так. (x^15+1)/(x+1)=1 - x + x^2 - x^3 + ... + x^14 В правой части 15 слагаемых. Сгруппируем их по три. (1-x+x^2) - x^3(1-x+x^2) + x^6(1-x+x^2)- .... +x^12(1-x+x^2) Далее (1 - x + x^2)(1 - x^3 + x^6 - x9 + x^12) Надеюсь, что я не ошибся Для разложения последнего множителя лучше сделать постановку x^3=z. Имеем z^4 - z^3 + z^2 - z + 1 Это возвратный многочлен четвертой степени Попробуйте дальше сами (это лучше решать на бумаге, чем на экране планшетника) Добавлено через 11 минут stas00, Ваш ответ явно ложный. Ибо все слагаемые множителей со знаком плюс!! Если их перемножить, то ничего не сократится! 1

@mathmichel $Эксперт по математике/физике$ 10452 / 6933 / 3772 Регистрация: 14.01.2014 Сообщений: 15,920
	19.10.2015, 09:56	6
	Сообщение от stas00 Многочлен x15 + 1 разлагается на множители (как? - вот в чем вопрос) x^15 + 1 = (1 + x)(1 + x + x^2)(1 + x + x^2 + x^3 + x^4)(1 + x + x^4)(1 + x^3 + x^4), Нет такого разложения (даже с учетом замены знаков + на -)! Миниатюры 2

@kabenyuk $Эксперт по математике/физике$ 4166 / 3038 / 914 Регистрация: 19.11.2012 Сообщений: 6,182
	19.10.2015, 16:42	7
	Внесу свою лепту. Имеем очевидные (для многих) равенства $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> (1)\ 1+y^3=(1+y)(1-y+y^2) \Rightarrow 1+x^{15}=(1+x^5)(1-x^5+x^{10})= (1+x)(1-x+x^2-x^3+x^4)(1-x^5+x^{10});<br /> \\<br /> (2)\ 1+y^5=(1+y)(1-y+y^2+y^3-y^4) \Rightarrow 1+x^{15}=(1+x^3)(1-x^3+x^6-x^9+x^{12})=(1+x)(1-x+x^2)(1-x^3+x^6-x^9+x^{12}).<br />$ Из (1) следует, что p=1-x+x^2 - делитель 1+x^{15} и p взаимно прост с первыми двумя сомножителями из (2), то p делитель последней скобки из (2). Если не лень, то поделите эту скобку на p, получите разложение, которое указал mathidiot. Добавлено через 2 часа 8 минут Последняя фраза содержит опечатки. Надо все ссылки на формулы 1 и 2 поменять ролями. 2

@stas00 1 / 1 / 0 Регистрация: 15.12.2013 Сообщений: 104
	19.10.2015, 16:54 [ТС]	8
	Хорошо, тогда нужно раскладывать как описал geh или есть еще способы? 0

echs Регистрация: 23.10.2013 Сообщений: 5,076 Записей в блоге: 8
	19.10.2015, 18:07	9
	stas00, Продолжение. Итак осталось разложить многочлен z^4 - z^3 + z^2 - z + 1 Группируем (z^4 + 1) - (z^3 + z) + z^2 Далее (z^2 + 1)^2 - z(z^2 + 1) - z^2 Делаем подстановку z^2 + 1 = u u^2 - zu - z^2 Это квадратное уравнение относительно u имеет два корня $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?u=\frac {1\pm\sqrt2}{2}z$ Для простоты обозначим корни через a и b. Имеем (u - az)(u - bz) Вместо u подставляем его значение. Получим (z^2 - az +1)(z^2 - bz +1) Элементарная проверка показывает, что эти два квадратных многочлена не раскладываются на линейные множители. Учитывая предыдущие выкладки, запишем ответ. Ответ: (x + 1)(x^2 - x + 1)(x^6 - ax^3 + 1)(x^6 - bx^3 + 1) где $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a=\frac {1+\sqrt2}{2}$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?b=\frac {1-\sqrt2}{2}$ 1

@stas00 1 / 1 / 0 Регистрация: 15.12.2013 Сообщений: 104
	19.10.2015, 19:19 [ТС]	10
	geh, почему вы изменили знак? (z^4 + 1) - (z^3 + z) + z^2 Далее (z^2 + 1)^2 - z(z^2 + 1) - z^2 а также корень, почему именно корень с 2, а не с 3, ведь по формуле $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{1}^{2}-411=3$ и почему умножается на z, если ниже в корнях a и b этого не делается $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{1\pm \sqrt{3}}{2}$ 0

	21.10.2015, 17:30

echs Регистрация: 23.10.2013 Сообщений: 5,076 Записей в блоге: 8
	20.10.2015, 12:12	11
	stas00, Я применил тождество (x^4 + 1) = (x^2 + 1)^2 - 2x^2 Последнее слагаемое не было выписано явно. И сразу привел подобные. Это и ввело вас в заблуждение. Добавлено через 3 часа 25 минут Я еще раз просчитал корни. Получилось вот что. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac {1\pm\sqrt 5}{2}$ Теперь надо проверить на разложение квадратные многочлены Добавлено через 5 минут Проверил. В общем ответ прежний, только a и b другие. 0

@Alex5 1130 / 789 / 232 Регистрация: 12.04.2010 Сообщений: 2,012
	21.10.2015, 13:32	12
	Сообщение от stas00 У вас есть ссылска на статью, где можно почить об этом stas00, можно посмотреть, что такое комплексные корни из 1. Добавлено через 5 минут "Разложить" - ещё надо уточнить, с какими коэффициентами. У mathidiot разложение с целыми коэф. У Байт разложение с вещественными коэф. Добавлено через 3 минуты Рассмотрим $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\;\;z^{15}\;-\;1\;\;$ (Потом заменим x = - z. ) Добавлено через 41 минуту Ещё один вариант формул, полученных mathidiot, kabenyuk. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\;\;z^{15}\; -\; 1\;\;$ делится на $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\;\;z^{5}\; -\; 1\;\;$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\;\;z^{3}\; -\; 1\;\;$ Другими словами, корни из единицы 15 степени содержат корни 3 степени и корни 5 степени. Произведение остальных корней из 1 равняется $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\;F(z) \;= \;\frac{ (\;z^{15}\; -\; 1) \; (z-1) } { (\;z^5\; -\; 1\;) \;(z^3\; -\; 1)\;} = \;...\;$ (Далее см. формулу у mathidiot.) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\; (\;z^{15}\; -\; 1) \;= \;\frac{ F(z) (\;z^5\; -\; 1\;) \;(z^3\; -\; 1)\; } { \; (z-1)} \;=\;...$ Добавлено через 8 минут geh, а почему Вы (x^6 - bx^3 + 1) не разложили? Добавлено через 1 час 8 минут Не по теме: Я тебе про Фому а ты мне про Ерему. Бывает люди спорят, а на самом деле говорят о разных вещах. Сообщение от mathidiot Нет такого разложения (даже с учетом замены знаков + на -)! mathidiot, такое разложение будет верным, когда +1 = -1, и 2 = 4 = 8 = ... = 0. Посмотрите на Вашу формулу, когда 2 = 4 = 8 = ... = 0. 0

@mathmichel $Эксперт по математике/физике$ 10452 / 6933 / 3772 Регистрация: 14.01.2014 Сообщений: 15,920
	21.10.2015, 13:43	13
	Сообщение от Alex5 такое разложение будет верным, когда +1 = -1, и 2 = 4 = 8 = ... = 0. Посмотрите на Вашу формулу, когда 2 = 4 = 8 = ... = 0 Т.е. в другой алгебре (по модулю 2), только об этом ТС ничего не сказал в своем первом сообщении и вряд ли это он имел в виду. 0

echs Регистрация: 23.10.2013 Сообщений: 5,076 Записей в блоге: 8
	21.10.2015, 15:17	14
	geh, а почему Вы (x^6 - bx^3 + 1) не разложили? ............. На что? Как квадратный многочлен он не разлагается. 0

@Alex5 1130 / 789 / 232 Регистрация: 12.04.2010 Сообщений: 2,012
	21.10.2015, 17:27	15
	Сообщение от geh Как квадратный многочлен он не разлагается. Вообще-то фраза "разлагается" не имеет смысла. В поле C разлагается на линейные множители. Сообщение от Байт Уравнение x¹⁵+1 = 0 имеет 15 комплексных корней x_i = cos (pi(2k+1)/15) + i sin (pi(2k+1)/15) , k = 0, 1... 14. В поле R разлагается на квадратные и линейные. Сообщение от Байт остальные 14 ... дают 7 квадратных многочленов с действительными коэфициэнтами. Добавлено через 7 минут И другие варианты. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\;\mathbb{Z}\;\;$ сообщения #6, #7 $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\;\mathbb{Z}_{\small{ 2}}\;\;$ сообщение #1 $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\;\mathbb{Q}[\sqrt{5}]\;\;$ сообщения #9, #11 0