Доказать делимость методом математической индукции

@Соколиный глаз · Регистрация: 25.07.2014

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Как доказать следующий пример?
Все a, которые вычисляются как 5^n - 4n + 15 делится на 16.

@Ellipsoid · 13.10.2017, 16:43

Начните с проверки делимости при n=1.

@3D Homer · 13.10.2017, 16:45

В шаге индукции представьте $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?5^{n+1}$ как $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?5^(5^n-4n+15)+20n-75$ .

@Соколиный глаз · 13.10.2017, 17:16 **[ТС]**

Сообщение от Ellipsoid

Начните с проверки делимости при n=1.

Это проверил.

Добавлено через 2 минуты

Сообщение от 3D Homer

В шаге индукции представьте

Я извиняюсь, но можете все решение показать (мне сложно как-то)?

Не по теме:

P. S. матан это для меня проблемная вещь...

@3D Homer · 13.10.2017, 17:19

Вы можете выписать предположение индукции и то, что нужно доказать в шаге индукции? Если нет, то вам нужно прочитать несколько примеров доказательств по индукции в учебнике, например, в книге: А. Шень. Математическая индукция. М.: МЦНМО, 2007. https://www.mccme.ru/free-books/

@Соколиный глаз · 13.10.2017, 17:27 **[ТС]**

Предположение: для n формула принимает значение, делящиеся на 16.
Доказать надо: что для n + 1 результат формулы тоже делится на 16.

@3D Homer · 13.10.2017, 17:29

Сообщение от Volobuev Ilya

Доказать надо: что для n + 1 результат формулы тоже делится на 16.

Напишите выражение "для n+1", про которое нужно доказать, что оно делится на 16.

@Соколиный глаз · 13.10.2017, 17:38 **[ТС]**

5^(n + 1) - 4(n + 1) + 15

@3D Homer · 13.10.2017, 18:18

Теперь представьте $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?5^{n+1}$ как $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?5^(5^n-4n+15)+20n-75$ . Первое слагаемое делится на 16 по предположению индукции. Осталось доказать, что 20n - 75 - 4(n + 1) + 15 делится на 16.

@Соколиный глаз · 13.10.2017, 19:39 **[ТС]**

А откуда получилось 20n - 75?

@mathmichel · 13.10.2017, 22:03

Сообщение от Volobuev Ilya

А откуда получилось 20n - 75?

Раскройте скобки: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?5^(5^n-4n+15)+20n-75=(5^{n+1}-20n+75)+20n-75=5^{n+1}$

@mathmichel $Эксперт по математике/физике$ 10452 / 6933 / 3772 Регистрация: 14.01.2014 Сообщений: 15,920
	13.10.2017, 22:03	11
	Сообщение от Volobuev Ilya А откуда получилось 20n - 75? Раскройте скобки: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?5^(5^n-4n+15)+20n-75=(5^{n+1}-20n+75)+20n-75=5^{n+1}$ 1

Доказать делимость методом математической индукции

Решение

Решение

Решение

@Соколиный глаз Alvin Seville 343 / 273 / 134 Регистрация: 25.07.2014 Сообщений: 4,537 Записей в блоге: 9
		1
	Доказать делимость методом математической индукции 13.10.2017, 16:32. Показов 4675. Ответов 10 Метки нет (Все метки) Как доказать следующий пример? Все a, которые вычисляются как 5^n - 4n + 15 делится на 16. 0

@Ellipsoid 1891 / 1472 / 173 Регистрация: 16.06.2012 Сообщений: 3,342
	13.10.2017, 16:43	2
	Сообщение было отмечено Volobuev Ilya как решение Решение Начните с проверки делимости при n=1. 1

@3D Homer $Эксперт по математике/физике$ 4952 / 3570 / 1151 Регистрация: 01.09.2014 Сообщений: 9,662
	13.10.2017, 16:45	3
	Сообщение было отмечено Volobuev Ilya как решение Решение В шаге индукции представьте $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?5^{n+1}$ как $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?5^(5^n-4n+15)+20n-75$ . 1

@Соколиный глаз Alvin Seville 343 / 273 / 134 Регистрация: 25.07.2014 Сообщений: 4,537 Записей в блоге: 9
	13.10.2017, 17:16 [ТС]	4
	Сообщение от Ellipsoid Начните с проверки делимости при n=1. Это проверил. Добавлено через 2 минуты Сообщение от 3D Homer В шаге индукции представьте Я извиняюсь, но можете все решение показать (мне сложно как-то)? Не по теме: P. S. матан это для меня проблемная вещь... 0

@3D Homer $Эксперт по математике/физике$ 4952 / 3570 / 1151 Регистрация: 01.09.2014 Сообщений: 9,662
	13.10.2017, 17:19	5
	Вы можете выписать предположение индукции и то, что нужно доказать в шаге индукции? Если нет, то вам нужно прочитать несколько примеров доказательств по индукции в учебнике, например, в книге: А. Шень. Математическая индукция. М.: МЦНМО, 2007. https://www.mccme.ru/free-books/ 1

@Соколиный глаз Alvin Seville 343 / 273 / 134 Регистрация: 25.07.2014 Сообщений: 4,537 Записей в блоге: 9
	13.10.2017, 17:27 [ТС]	6
	Предположение: для n формула принимает значение, делящиеся на 16. Доказать надо: что для n + 1 результат формулы тоже делится на 16. 0

@3D Homer $Эксперт по математике/физике$ 4952 / 3570 / 1151 Регистрация: 01.09.2014 Сообщений: 9,662
	13.10.2017, 17:29	7
	Сообщение от Volobuev Ilya Доказать надо: что для n + 1 результат формулы тоже делится на 16. Напишите выражение "для n+1", про которое нужно доказать, что оно делится на 16. 0

@Соколиный глаз Alvin Seville 343 / 273 / 134 Регистрация: 25.07.2014 Сообщений: 4,537 Записей в блоге: 9
	13.10.2017, 17:38 [ТС]	8
	5^(n + 1) - 4(n + 1) + 15 0

@3D Homer $Эксперт по математике/физике$ 4952 / 3570 / 1151 Регистрация: 01.09.2014 Сообщений: 9,662
	13.10.2017, 18:18	9
	Сообщение было отмечено Volobuev Ilya как решение Решение Теперь представьте $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?5^{n+1}$ как $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?5^(5^n-4n+15)+20n-75$ . Первое слагаемое делится на 16 по предположению индукции. Осталось доказать, что 20n - 75 - 4(n + 1) + 15 делится на 16. 1

@Соколиный глаз Alvin Seville 343 / 273 / 134 Регистрация: 25.07.2014 Сообщений: 4,537 Записей в блоге: 9
	13.10.2017, 19:39 [ТС]	10
	А откуда получилось 20n - 75? 0