Найти какой-нибудь базис системы векторов

@Лаврова Ксения · Регистрация: 18.09.2016

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Найти какой - нибудь базис системы векторов. Выразить через него все остальные векторы данной системы.
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec{{a}_{1}}= (1,1,2,-1)$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec{{a}_{2}}= (1,2,1,-2)$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec{{a}_{3}}= (1,1,-2,3)$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec{{a}_{4}}= (1,2,-3,4)$
Данная система векторов образует базис (линейно независимая система векторов) так как все $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{{x}_{i}}=0$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec{a_{1} }=\vec{e_{1} }+ \vec{e_{2} }+2\vec{e_{3} }-\vec{e_{4} }$ ;
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec{a_{2} }=\vec{e_{1} }+ 2\vec{e_{2} }+\vec{e_{3} }-2\vec{e_{4} }$ ;
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec{a_{3} }=\vec{e_{1} }+ \vec{e_{2} }-2\vec{e_{3} }+3\vec{e_{4} }$ ;
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec{a_{4} }=\vec{e_{1} }+ 2\vec{e_{2} }-3\vec{e_{3} }+4\vec{e_{4} }$ .
Ответ :векторы будут $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec{a_{1} }=\left( 1,1,2,-4 \right)$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec{a_{2} }=\left( 1,2,1,-2 \right)$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec{a_{3} }=\left( 1,1,-2,3 \right)$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec{a_{1} }=\left( 1,2,-3,4 \right)$
Надо решить систему? Ответ другой? Спасибо.

@Том Ардер · 06.11.2017, 22:33

Такая же задача, с другими числами, возникала более трёх месяцев тому назад. И были ответы. Ни знаний, ни понимания с тех пор не прибавилось. Увы

Найти какой-нибудь базис системы векторов

Сообщение от Лаврова Ксения

Данная система векторов образует базис ... так как все $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{{x}_{i}}=0$

Смысл этой загадочной фразы?

@Лаврова Ксения · 08.11.2017, 19:20 **[ТС]**

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec{a}_{1}= (1,1,2,-1)$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec{a}_{2}= (1,2,1,-2)$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec{a}_{3}= (1,1,-2,3)$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec{a}_{4}= (1,2,-3,4)$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & -1 &\!& \vec{a_{1}} \\ 1 & 2 & 1 & -2 &\!\!\!& \vec{a_{2}} \\ 1 & 1 & -2 & 3 &\!\!\!& \vec{a_{3}} \\ 1 & 2 & -3 & 4 &\!\!\!\!& \vec{a _{4}} \end{pmatrix}$ = $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & -1 &\!\!\!& \vec{a_{1} } \\ 0 & 1 & -1 & -1 &\!\!& \vec{a_{2}} -\vec{a_{1}} \\ 0 & 0 & -4 & 4 &\!\!\!& \vec{a_{3}} -\vec{a_{1}} \\ 0 & 1 & -5 & 5 &\!\!\!\!& \vec{a _{4}}-\vec{a_{1}} \end{pmatrix}$ = $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & 0 &\!\!\!& \vec{a_{1} }-\vec{a_{2}} +\vec{a_{1}} \\ 0 & 1 & -1 & -1 &\!\!\!& \vec{a_{2}} -\vec{a_{1}} \\ 0 & 0 & 1 & -1 &\!\!\!&\frac{ \vec{a_{3}} -\vec{a_{1}} }{ -4 } \\ 0 & 0 & -4 & 6 &\!\!\!& \vec{a _{4}}-\vec{a_{1}} -\vec{a_{2}} +\vec{a_{1}} \end{pmatrix}$ = $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & 0 &\!\!\!& \vec{a_{1} }-\vec{a_{2}} +\vec{a_{1}} \\ 0 & 1 & 0 & -2 &\!\!\!& \vec{a_{2}} -\vec{a_{1}} +\frac{ \vec{a_{3}} -\vec{a_{1}} }{ -4 } \\ 0 & 0 & 1 & -1 &\!\!\!&\frac{ \vec{a_{3}} -\vec{a_{1}} }{ -4 } \\ 0 & 0 & 0 & 2 &\!\!\!& \vec{a _{4}}-\vec{a_{1}} -\vec{a_{2}} +\vec{a_{1}}+4 \frac{ \vec{a_{3}} -\vec{a_{1}} }{ -4 } \end{pmatrix}$ = $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 &\!\!\!& \frac{ \vec{a_{1}}-\vec{2a_{2}} +\vec{9a_{3}}+6a_{4} }{ -4 } \\ 0 & 1 & 0 & 0 &\!\!& \vec{a_{2}} -\vec{a_{1}} +\frac{ \vec{a_{3}} -\vec{a_{1}} }{ -4 } +\vec{a_{4}}-\vec{a_{2}} +\frac{ \vec{a_{3}} -\vec{a_{1}} }{ -4 } \\ 0 & 0 & 1 & 0 &\!\!\!&\frac{ \vec{a_{3}} -\vec{a_{1}} }{ -4 } +\frac{ \vec{a _{4}}-\vec{a_{2}} -\vec{a_{3}} +\vec{a_{1}} }{ 2 } \\ 0 & 0 & 0 & 1 &\!\!\!& \frac{ \vec{a _{4}}-\vec{a_{2}} -\vec{a_{3}} +\vec{a_{1}} }{ 2 } \end{pmatrix}$
Получается $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{ \vec{a _{4}}-\vec{a_{2}} -\vec{a_{3}} +\vec{a_{1}} }{ 2 } =0$ ,
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec{a_{4}}=\vec{a_2}+ \vec{a_{3}}- \vec{a_{1}}$
Все получилось, проверка не получается. Не могу найти ошибку. Спасибо.

iifat · 09.11.2017, 01:11

Сообщение от Лаврова Ксения

Получается

Точно получается? У меня вот не получилось по четвёртой координате.

@palva · 09.11.2017, 12:17

Перечитал еще раз задание и не понял, что вы делаете. Давайте я покажу, как я решаю такие задачи. Располагаю вектора по столбцам матрицы и преобразую ее к ступенчатому виду
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix}1&1&1&1\\1&2&1&2\\2&1&-2&-3\\-1&-2&3&4\end{pmatrix}\qquad\begin{pmatrix}1&1&1&1\\0&1&0&1\\0&-1&-4&-5\\0&-1&4&5\end{pmatrix}\qquad\begin{pmatrix}1&1&1&1\\0&1&0&1\\0&0&-4&-4\\0&0&4&6\end{pmatrix}\qquad\begin{pmatrix}1&1&1&1\\0&1&0&1\\0&0&-4&-4\\0&0&0&2\end{pmatrix}<br />$
Базисными векторами будут все векторы где ступенька, т. е. 1-й, 2-й, 3-й и 4-й столбцы. Столбцов больше не осталось, значит вторую часть задания делать не нужно.

Скорее всего у вас ошибка в задании, поскольку составители задач несколько небазисных столбцов обычно все же оставляют. Если бы столбцы остались, то нужно было бы продолжить преобразование, добиваясь, чтобы в базисных векторах все координаты, кроме одной были нулевыми, а одна равнялась единице. Тогда координаты небазисных векторов будут равняться искомым коэффициентам.

Добавлено через 2 часа 30 минут
Лаврова Ксения, Кажется, я сам запутался и вас запутал. Вы правильно написали, что векторы линейно независимы, только неправильно написали причину этого. Я применил алгоритм, как из произвольного набора векторов выделить базисные, а потом выразить небазисные через базисные. У меня получилось, что все векторы базисные. Ваш ответ правильный. Ответ мог бы быть неоднозначным, если бы базисными была бы только часть векторов, тогда существовало бы несколько вариантов выделения базиса.

Проверьте еще раз, правильно ли вы выложили задание.

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Новый CodeBlocs. Версия 25.03 palva 04.01.2026 Оказывается, недавно вышла новая версия CodeBlocks за номером 25. 03. Когда-то давно я возился с только что вышедшей тогда версией 20. 03. С тех пор я давно снёс всё с компьютера и забыл. Теперь. . .	Модель микоризы: классовый агентный подход anaschu 02.01.2026 Раньше это было два гриба и бактерия. Теперь три гриба, растение. И на уровне агентов добавится между грибами или бактериями взаимодействий. До того я пробовал подход через многомерные массивы,. . .	Учёным и волонтёрам проекта «Einstein@home» удалось обнаружить четыре гамма-лучевых пульсара в джете Млечного Пути Programma_Boinc 01.01.2026 Учёным и волонтёрам проекта «Einstein@home» удалось обнаружить четыре гамма-лучевых пульсара в джете Млечного Пути Сочетание глобально распределённой вычислительной мощности и инновационных. . .	Советы по крайней бережливости. Внимание, это ОЧЕНЬ длинный пост. Programma_Boinc 28.12.2025 Советы по крайней бережливости. Внимание, это ОЧЕНЬ длинный пост. Налог на собак: https:/ / ********/ gallery/ V06K53e Финансовый отчет в Excel: https:/ / ********/ gallery/ bKBkQFf Пост отсюда. . .	Кто-нибудь знает, где можно бесплатно получить настольный компьютер или ноутбук? США. Programma_Boinc 26.12.2025 Нашел на реддите интересную статью под названием Anyone know where to get a free Desktop or Laptop? Ниже её машинный перевод. После долгих разбирательств я наконец-то вернула себе. . .
Thinkpad X220 Tablet — это лучший бюджетный ноутбук для учёбы, точка. Programma_Boinc 23.12.2025 Рецензия / Мнение/ Перевод Нашел на реддите интересную статью под названием The Thinkpad X220 Tablet is the best budget school laptop period . Ниже её машинный перевод. Thinkpad X220 Tablet —. . .	PhpStorm 2025.3: WSL Terminal всегда стартует в ~ and_y87 14.12.2025 PhpStorm 2025. 3: WSL Terminal всегда стартует в ~ (home), игнорируя директорию проекта Симптом: После обновления до PhpStorm 2025. 3 встроенный терминал WSL открывается в домашней директории. . .	Как объединить две одинаковые БД Access с разными данными VikBal 11.12.2025 Помогите пожалуйста !! Как объединить 2 одинаковые БД Access с разными данными.	Новый ноутбук volvo 07.12.2025 Всем привет. По скидке в "черную пятницу" взял себе новый ноутбук Lenovo ThinkBook 16 G7 на Амазоне: Ryzen 5 7533HS 64 Gb DDR5 1Tb NVMe 16" Full HD Display Win11 Pro	Музыка, написанная Искусственным Интеллектом volvo 04.12.2025 Всем привет. Некоторое время назад меня заинтересовало, что уже умеет ИИ в плане написания музыки для песен, и, собственно, исполнения этих самых песен. Стихов у нас много, уже вышли 4 книги, еще 3. . .

@Лаврова Ксения 2 / 2 / 0 Регистрация: 18.09.2016 Сообщений: 145

	Найти какой-нибудь базис системы векторов 06.11.2017, 19:42. Показов 3091. Ответов 4 Метки нет (Все метки) Найти какой - нибудь базис системы векторов. Выразить через него все остальные векторы данной системы. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec{{a}_{1}}= (1,1,2,-1)$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec{{a}_{2}}= (1,2,1,-2)$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec{{a}_{3}}= (1,1,-2,3)$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec{{a}_{4}}= (1,2,-3,4)$ Данная система векторов образует базис (линейно независимая система векторов) так как все $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{{x}_{i}}=0$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec{a_{1} }=\vec{e_{1} }+ \vec{e_{2} }+2\vec{e_{3} }-\vec{e_{4} }$ ; $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec{a_{2} }=\vec{e_{1} }+ 2\vec{e_{2} }+\vec{e_{3} }-2\vec{e_{4} }$ ; $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec{a_{3} }=\vec{e_{1} }+ \vec{e_{2} }-2\vec{e_{3} }+3\vec{e_{4} }$ ; $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec{a_{4} }=\vec{e_{1} }+ 2\vec{e_{2} }-3\vec{e_{3} }+4\vec{e_{4} }$ . Ответ :векторы будут $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec{a_{1} }=\left( 1,1,2,-4 \right)$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec{a_{2} }=\left( 1,2,1,-2 \right)$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec{a_{3} }=\left( 1,1,-2,3 \right)$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec{a_{1} }=\left( 1,2,-3,4 \right)$ Надо решить систему? Ответ другой? Спасибо. 0

@Лаврова Ксения 2 / 2 / 0 Регистрация: 18.09.2016 Сообщений: 145
	08.11.2017, 19:20 [ТС]
	$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec{a}_{1}= (1,1,2,-1)$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec{a}_{2}= (1,2,1,-2)$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec{a}_{3}= (1,1,-2,3)$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec{a}_{4}= (1,2,-3,4)$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & -1 &\!& \vec{a_{1}} \\ 1 & 2 & 1 & -2 &\!\!\!& \vec{a_{2}} \\ 1 & 1 & -2 & 3 &\!\!\!& \vec{a_{3}} \\ 1 & 2 & -3 & 4 &\!\!\!\!& \vec{a _{4}} \end{pmatrix}$ = $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & -1 &\!\!\!& \vec{a_{1} } \\ 0 & 1 & -1 & -1 &\!\!& \vec{a_{2}} -\vec{a_{1}} \\ 0 & 0 & -4 & 4 &\!\!\!& \vec{a_{3}} -\vec{a_{1}} \\ 0 & 1 & -5 & 5 &\!\!\!\!& \vec{a _{4}}-\vec{a_{1}} \end{pmatrix}$ = $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & 0 &\!\!\!& \vec{a_{1} }-\vec{a_{2}} +\vec{a_{1}} \\ 0 & 1 & -1 & -1 &\!\!\!& \vec{a_{2}} -\vec{a_{1}} \\ 0 & 0 & 1 & -1 &\!\!\!&\frac{ \vec{a_{3}} -\vec{a_{1}} }{ -4 } \\ 0 & 0 & -4 & 6 &\!\!\!& \vec{a _{4}}-\vec{a_{1}} -\vec{a_{2}} +\vec{a_{1}} \end{pmatrix}$ = $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & 0 &\!\!\!& \vec{a_{1} }-\vec{a_{2}} +\vec{a_{1}} \\ 0 & 1 & 0 & -2 &\!\!\!& \vec{a_{2}} -\vec{a_{1}} +\frac{ \vec{a_{3}} -\vec{a_{1}} }{ -4 } \\ 0 & 0 & 1 & -1 &\!\!\!&\frac{ \vec{a_{3}} -\vec{a_{1}} }{ -4 } \\ 0 & 0 & 0 & 2 &\!\!\!& \vec{a _{4}}-\vec{a_{1}} -\vec{a_{2}} +\vec{a_{1}}+4 \frac{ \vec{a_{3}} -\vec{a_{1}} }{ -4 } \end{pmatrix}$ = $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 &\!\!\!& \frac{ \vec{a_{1}}-\vec{2a_{2}} +\vec{9a_{3}}+6a_{4} }{ -4 } \\ 0 & 1 & 0 & 0 &\!\!& \vec{a_{2}} -\vec{a_{1}} +\frac{ \vec{a_{3}} -\vec{a_{1}} }{ -4 } +\vec{a_{4}}-\vec{a_{2}} +\frac{ \vec{a_{3}} -\vec{a_{1}} }{ -4 } \\ 0 & 0 & 1 & 0 &\!\!\!&\frac{ \vec{a_{3}} -\vec{a_{1}} }{ -4 } +\frac{ \vec{a _{4}}-\vec{a_{2}} -\vec{a_{3}} +\vec{a_{1}} }{ 2 } \\ 0 & 0 & 0 & 1 &\!\!\!& \frac{ \vec{a _{4}}-\vec{a_{2}} -\vec{a_{3}} +\vec{a_{1}} }{ 2 } \end{pmatrix}$ Получается $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{ \vec{a _{4}}-\vec{a_{2}} -\vec{a_{3}} +\vec{a_{1}} }{ 2 } =0$ , $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec{a_{4}}=\vec{a_2}+ \vec{a_{3}}- \vec{a_{1}}$ Все получилось, проверка не получается. Не могу найти ошибку. Спасибо. 0

@palva 4276 / 2969 / 692 Регистрация: 08.06.2007 Сообщений: 9,923 Записей в блоге: 5
	09.11.2017, 12:17
	Перечитал еще раз задание и не понял, что вы делаете. Давайте я покажу, как я решаю такие задачи. Располагаю вектора по столбцам матрицы и преобразую ее к ступенчатому виду $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix}1&1&1&1\\1&2&1&2\\2&1&-2&-3\\-1&-2&3&4\end{pmatrix}\qquad\begin{pmatrix}1&1&1&1\\0&1&0&1\\0&-1&-4&-5\\0&-1&4&5\end{pmatrix}\qquad\begin{pmatrix}1&1&1&1\\0&1&0&1\\0&0&-4&-4\\0&0&4&6\end{pmatrix}\qquad\begin{pmatrix}1&1&1&1\\0&1&0&1\\0&0&-4&-4\\0&0&0&2\end{pmatrix}<br />$ Базисными векторами будут все векторы где ступенька, т. е. 1-й, 2-й, 3-й и 4-й столбцы. Столбцов больше не осталось, значит вторую часть задания делать не нужно. Скорее всего у вас ошибка в задании, поскольку составители задач несколько небазисных столбцов обычно все же оставляют. Если бы столбцы остались, то нужно было бы продолжить преобразование, добиваясь, чтобы в базисных векторах все координаты, кроме одной были нулевыми, а одна равнялась единице. Тогда координаты небазисных векторов будут равняться искомым коэффициентам. Добавлено через 2 часа 30 минут Лаврова Ксения, Кажется, я сам запутался и вас запутал. Вы правильно написали, что векторы линейно независимы, только неправильно написали причину этого. Я применил алгоритм, как из произвольного набора векторов выделить базисные, а потом выразить небазисные через базисные. У меня получилось, что все векторы базисные. Ваш ответ правильный. Ответ мог бы быть неоднозначным, если бы базисными была бы только часть векторов, тогда существовало бы несколько вариантов выделения базиса. Проверьте еще раз, правильно ли вы выложили задание. 0