Получил ли я что-то новое или это уже было известно? И вообще на сколько реально любителю получить что-то новое

Придумал теоремку пока рассматривал график делимости чисел
Все составные числа представляются в виде разности не соседних квадратов или в виде разности не соседних почти-квадратов.
Почти-квадраты это числа вида n*(n+1), где n целое.
Под соседними понимаются n*n и (n+1)*(n+1) для квадратов и n*(n+1) и (n+1)*(n+2) для почти-квадратов.
Можно даже более подробно сформулировать. Все составные нечетные числа и степени двойки представляются в виде разности не соседних квадратов. А все составные четные, кроме степеней двойки в виде разности не соседних почти-квадратов.

Eсли нечетное число s = x*y, где x,y - натуральные и >1.
Пусть x = a+b; y =a-b; тогда a = (x+y)/2; b = (x-y)/2. s=(a+b)(a-b) = a^2-b^2
Так как s нечетное, то x и y тоже нечетные. А сумма и разность двух нечетных чисел делится на 2. Поэтому a и b целые. Остается только проверить что их разность не равна 1. a -b = y >1.

Для степеней двойки все совсем просто. 2^n = (2^(x-2)+1)^2 - (2^(x-2)-1)^2

Остаются только четные составные, которые не являются степенями двойки, т.е. их можно представить в виде s = x*y, где x- четное, y - нечетное и не равно 1.
Пусть x = a+b+1; y = a-b; тогда a = (x+y-1)/2; b = (x-y-1)/2
s = (a+b+1)(a-b) = a^2 - b^2 + a - b = a(a+1)-b(b+1)
a и b опять же целые получаются.
Опять проверяем, что почти-квадраты не соседние. a-b = y>1.
Надеюсь, что ошибок нет, и что потратил время не в пустую

2

Уважаемый agbaz,
мне понравилась ваша теорема. По крайней мере я такой не встречал.
Но я бы записал формулировку вашей теоремы короче:

Все составные числа представляются в виде разности квадратов или в виде разности почти-квадратов.

При этом следует уточнить, что вы рассматриваете натуральные числа. Так как квадрат любого числа можно записать в виде разности квадратов p² = p² - 0²

примечание
в формуле (где степень двойки) есть опечатка

0

Черт, забыл самое интересное, простые числа в таком виде не представляются. Если убрать условие несоседствования квадратов или почти квадратов, то простые числа начинаю проходить.

0

Сообщение от agbaz И вообще насколько реально любителю получить что-то новое

Рамануджан тоже был практически любителем

Сообщение от agbaz Придумал теоремку

Имхо, никому не возбраняется ни придумывать себе задачки, ни решать их, ни делиться своими решениями с другими.
А ваше утверждение сродни проблемам представления типа проблем Гольдбаха
https://ru.wikipedia.org/wiki/... 1%85%D0%B0
или Варинга https://ru.wikipedia.org/wiki/... 0%B3%D0%B0
Что касается натуральных чисел, то тут утверждений (верных или нет(но неопровергнутых)) - поистине неисчислимое (несчетное) множество. Я бы сравнил натуральные числа с океаном, где все наши знания о нем образуют тонкую пленку исчезающе малой толщины. Правда, иногда эхолот теорем позволяет узнать кой-какие законы, царящие в глубинах.
Некоторые проблемы захватывают все человечество, включая тех, кто только-только научился считать. Некоторые интересны лишь любителям математики или узким специалистам.
Но утверждения, достойные почетного звания "Теоремы" как правило просты. Яркий пример - ВТФ. Ваше же довольно громоздко. Такие вещи, если они являются шагом для получения более изящного результата, обычно называются "Леммами". Впрочем, это дело терминологии, а не сути.
А вам лично я хочу пожелать удачи и интересных результатов.
ЗЫ. Доказательство ваше не проверял, но я вам верю. Стиль изложения позволяют предполагать, что вы - не шарлатан.

1

Сообщение от agbaz Пусть x = a+b; y =a-b; тогда a = (x+y)/2;

Для 25 пжалста

0

В чем проблема? x=5, y=5
a = 5; b = 0
25 = 5^2-0^2

0

Сообщение от agbaz В чем проблема?

Уважаемый Ромаха видимо, не считает 0 целым числом

0