Доказать, являются ли значения функции полугруппой, моноидом, группой, а также является ли операция коммутативной

@Федо · Регистрация: 17.03.2016

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Приветствую форумчане,
Хочу уточнить верно ли я все понимаю и правильно ли я все доказал
Условие:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(S,\circ)\, \, S:={f|f:N->N,f\,\, injektiv)$
Мое решение:
1.
т.к. функция инъективна, то справедливо следующее:
f(x1)=y1
f(x2)=y2
y1 не равен у2
2.операция ассоциативна т.к.
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(x1\circ x2)(x)=x1(x2(x))$
3.функция отображает в себя множество натуральных чисел следовательно:
f:={0,1,2,3,4...}
проверим есть ли нейтральный элемент у этой полугруппы
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?e\circ x1=x1\Rightarrow 0+x1=x1\, \, e=0 \;$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?e\circ x1=x1\Rightarrow 1*x1=x1\, \, e=1$
таким образом эта полугруппа имеет нейтральный элемент и является моноидом
4.проверим имеется ли обратный элемент для каждого элемента в моноиде:
т.к. функция ничем не ограничена. По определению обратного элемента
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x1\circ x2=e$
необходимо найти обратный элемент для х1 тогда:
x1+x2=e;для суммирования найти обратный элемент не представляется возможным
x1*x2=e;для этого случая е=0
5. Функция коммутативна
т.к. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x1\circ x2=x3$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x2\circ x1=x3$

Вероятно я наделал много ошибок либо что-то не так доказал. Попытался все сделать как представляется в моей голове. Прошу помощи. Заранее спасибо!

@3D Homer · 14.04.2019, 18:38

Извините, но написана полная ерунда. Начиная с того, что условие целиком нужно записывать в теле сообщения, а не частично в заголовке, а частично в теме. Далее, заголовок говорит: "Являются ли значения функции полугруппой?". Что именно является полугруппой: какие значения, какой функции? Что такое "коммуникативной" операция? И после запятых и точек ставьте пробел, пожалуйста, а то режет глаз.

Сообщение от Федо

f(x1)=y1

Это бессмысленное утверждение, пока не сказано, что такое а, x1 и y1. Ну и все остальное тоже не имеет смысла, в частности, потому что в условии нигде не говорится про сложение.

@kabenyuk · 14.04.2019, 18:45

Сообщение от Федо

является ли операция коммуникативной

Дорогой, Федо, не коммуникативной, а коммутативной. Это первое.
Второе, речь по-видимому не о значениях функций, а о самих функциях.
Третье. Начиная с третьего пункта вашего, не побоюсь этого слова, "решения" - написана полная ерунда.

Итак, можно считать, что вы правильно доказали, что множество всех инъективных отображений N в N относительно композиции является полугруппой. По-поводу нейтрального элемента. Тождественная функция является нейтральным элементом относительно нашей операции. Вот докажите это. Ну а полугруппа (точнее моноид) конечно же некоммутативна.

@3D Homer · 14.04.2019, 18:53

Сообщение от kabenyuk

Итак, можно считать, что вы правильно доказали, что множество всех инъективных отображений N в N относительно композиции является полугруппой.

Не согласен с этим. Никакого доказательства нет, даже определение инъективности написано неправильно.

Сообщение от kabenyuk

Начиная с третьего пункта вашего, не побоюсь этого слова, "решения" - написана полная ерунда.

Как и первый пункт (про инъективность) и второй (про ассоциативность).

@kabenyuk · 14.04.2019, 19:03

3D Homer, ну вы слишком строги, хотя и полностью правы.

@Федо · 14.04.2019, 19:44 **[ТС]**

1. В определении инъективности функции я действительно ошибся. Каждому значению а должно соответствовать значения b, которые должны быть равны.
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f({a}_{1})=b;\, f({a}_{2})=b\Rightarrow {a}_{1}={a}_{2}$
при чем: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{a}_{1},\, {a}_{2},\, b\, \epsilon \, N$
Теперь я исправился в определении инъективности?
2.по поводу ассоциативности, мне казалось, что если в условии написано что функция инъективна, то она должна быть и ассоциативна. Поэтому решил просто написать определения для ассоциативности функций.
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?({a}_{1}\circ {a}_{2})(b)={a}_{1}({a}_{2}(b))$
3.По поводу нейтрального элемента....
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{id}_{N}:N->N$
где а|->a
это определение я нашел в интернете, где указывается что мне необходимо найти тождественную функцию относительно моей операции. Но что это я не могу понять, если есть возможность объясните...

@3D Homer · 14.04.2019, 21:05

Сообщение от Федо

1. В определении инъективности функции я действительно ошибся. Каждому значению а должно соответствовать значения b, которые должны быть равны.
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f({a}_{1})=b;\, f({a}_{2})=b\Rightarrow {a}_{1}={a}_{2}$
при чем: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{a}_{1},\, {a}_{2},\, b\, \epsilon \, N$

Желательно еще добавить, что это выполняется для любых a1, a2 и b. А не, например, для любого a1 и a2 существует b.

Сообщение от Федо

2.по поводу ассоциативности, мне казалось, что если в условии написано что функция инъективна, то она должна быть и ассоциативна.

Обычно определение инъективной функции подразумевает, что у неё один аргумент. А чтобы можно было говорить об ассоциативности, у неё должно быть два аргумента. Кроме того, об ассоциативности чего нужно говорить в данной задаче?

Сообщение от Федо

3.По поводу нейтрального элемента....
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{id}_{N}:N->N$
где а|->a
это определение я нашел в интернете, где указывается что мне необходимо найти тождественную функцию относительно моей операции. Но что это я не могу понять, если есть возможность объясните...

Опять же, относительно какой операции id должна быть нейтральным элементом? Что это значит по определению?

@Федо · 14.04.2019, 21:22 **[ТС]**

Обычно определение инъективной функции подразумевает, что у неё один аргумент. А чтобы можно было говорить об ассоциативности, у неё должно быть два аргумента. Кроме того, об ассоциативности чего нужно говорить в данной задаче?

Насколько я понял задание, мне необходимо доказать, что значения которые создает функция являются полугруппой, или моноидом, либо группой.Поэтому необходимо говорить об ассоциативности значений функции в этой задаче. Или нет?

Опять же, относительно какой операции id должна быть нейтральным элементом? Что это значит по определению?

ну я так понимаю, что это должно быть что-то вроде f(x)=x, то есть аргумент функции одновременно должен быть результатом функции? Или я что-то путаю??
С уважением,
Федор

@3D Homer · 14.04.2019, 21:39

Сообщение от Федо

Насколько я понял задание, мне необходимо доказать, что значения которые создает функция являются полугруппой

Нет. Вам нужно доказать, что множество S с операцией композиции является моноидом.

@Федо · 14.04.2019, 21:45 **[ТС]**

Нет. Вам нужно доказать, что множество S с операцией композиции является моноидом.

Я думал,что мне необходимо сначала необходимо доказать что функция ассоциативна, тем самым доказав что это полугруппа, а затем доказать существование нейтрального элемента(тождественной функции) и тогда я покажу существование моноида. или нет?

@3D Homer · 14.04.2019, 21:48

Сообщение от Федо

Я думал,что мне необходимо сначала необходимо доказать что функция ассоциативна

Нету такой вещи, как "функция". Нельзя доказать, что функция (какая-то, неопределенная) ассоциативна. Напишите, что такое моноид по определению и в чем состоит задача (см. сообщение 9).

@Федо · 14.04.2019, 22:01 **[ТС]**

Помогите пожалуйста у меня уже голова кипит...

@3D Homer · 14.04.2019, 22:07

К сожалению, прочитать, что такое моноид, я за вас не могу. Даже если я напишу это здесь, читать все равно нужно вам.

В математике у любого определения есть главное слово. Например, подмножество — это в первую очередь множество. Вектор — это упорядоченная пара (точек, с особым определением равенства векторов *— это согласно одному из определений), квадрат — это четырёхугольник (у которого все стороны равны и все углы равны) и т.п. Прочитайте и скажите, что такое моноид (или, если хотите, группа). Хотя бы напишите главное слово или несколько.

@Федо · 14.04.2019, 22:15 **[ТС]**

полугруппа с нейтральным элементом. Более подробно, моноидом называется множество M, на котором задана бинарная ассоциативная операция, обычно именуемая умножением, и в котором существует такой элемент e, что ex=x=xe для любого $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x\epsilon M$ . Элемент e называется единицей и часто обозначается {\displaystyle 1} 1. В любом моноиде имеется ровно одна единица. Я понимаю это и даже могу представить это...но как это вообще соотносится с моей задачей...

@3D Homer · 14.04.2019, 22:48

Итак, моноид — это упорядоченная пара, состоящая из множества M и операции, скажем, *. Далее, операция * ассоциативна и существует единица по *.

Смотрим задачу: проверить, является ли упорядоченная пара $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(S, \circ)$ моноидом. Эх, если бы кто-нибудь помог сравнить данный объект $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(S, \circ)$ с парой (M, *) из определения и сказать, что означает общее определение в применении к данному конкретному объекту...

Не по теме:

Мне кажется, вы не понимаете, что такое математический закон. Например, закон говорит, что (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 для любых действительных чисел x и y. Его применение в конкретном случае может говорить, что (1 + ab)^2 = 1^2 + 2*1*ab + (ab)^2 = 1 + 2ab + (ab)^2. Нужно уметь применять закон к конкретному выражению и уметь переписать это выражение, сделав соответствующую замену. Мне кажется, вы умеете сравнивать конкретные выражения, но не понимаете, что в законе переменные могут быть связаны квантором всеобщности, то есть вместо них можно подставлять, что угодно. Поэтому в соседней теме вы не могли применить определение функции x * y = y, где переменные связаны квантором всеобщности, к выражению y * z. Я не знаю, как объяснить эти понятия. Обычно они впитываются с математической культурой в процессе изучения линейных и квадратный уравнений, тригонометрии и т.д. Несмотря на то, что первокурсникам никогда не объясняют формально, как заменять равные на равные, людям с должным опытом понятие универсального закона и его конкретного применения интуитивно ясно.

@Федо · 15.04.2019, 00:11 **[ТС]**

Пожалуйста дайте мне готовый ответ на мою задачу и я постараюсь на основе ответа понять ка все должно быть построено аналогично для других задач... Надеюсь на понимание...

@3D Homer · 15.04.2019, 00:24

Готового ответа не дам (его тут и нет, здесь нужны доказательства), но вам нужно показать следующие факты.

1. Композиция инъекций есть инъекция.
2. Тождественная функция id есть инъекция.
3. Композиция любой функции f и id есть f, то есть f o id = id o f = f.
4. Композиция функций ассоциативна: (f o g) o h = f o (g o h).
5. Композиция функций не коммутативна (нужно предъявить две инъекции f и g, такие что f o g ≠ g o f).
6. Не у всех инъекций есть (правые) обратные (нужно предъявить инъекцию f, такую что f o g ≠ id для любой функции g). Любопытно, что у любой инъекции f есть левая обратная, то есть есть g, такая что g o f = id.

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
SDL3 для Desktop (MinGW): Создаём пустое окно с нуля для 2D-графики на SDL3, Си и C++ 8Observer8 10.03.2026 Содержание блога Финальные проекты на Си и на C++: hello-sdl3-c. zip hello-sdl3-cpp. zip Результат:	Установка CMake и MinGW 13.1 для сборки С и C++ приложений из консоли и из Qt Creator в EXE 8Observer8 10.03.2026 Содержание блога MinGW - это коллекция инструментов для сборки приложений в EXE. CMake - это система сборки приложений. Здесь описаны базовые шаги для старта программирования с помощью CMake и. . .	Как дизайн сайта влияет на конверсию: 7 решений, которые реально повышают заявки Neotwalker 08.03.2026 Многие до сих пор воспринимают дизайн сайта как “красивую оболочку”. На практике всё иначе: дизайн напрямую влияет на то, оставит человек заявку или уйдёт через несколько секунд. Даже если у вас. . .	Модульная разработка через nuget packages DevAlt 07.03.2026 Сложившийся в . Net-среде способ разработки чаще всего предполагает монорепозиторий в котором находятся все исходники. При создании нового решения, мы просто добавляем нужные проекты и имеем. . .
Модульный подход на примере F# DevAlt 06.03.2026 В блоге дяди Боба наткнулся на такое определение: В этой книге («Подход, основанный на вариантах использования») Ивар утверждает, что архитектура программного обеспечения — это структуры,. . .	Управление камерой с помощью скрипта OrbitControls.js на Three.js: Вращение, зум и панорамирование 8Observer8 05.03.2026 Содержание блога Финальная демка в браузере работает на Desktop и мобильных браузерах. Итоговый код: orbit-controls-threejs-js. zip. Сканируйте QR-код на мобильном. Вращайте камеру одним пальцем,. . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Синхронизация спрайтов SDL3 и тел Box2D 8Observer8 04.03.2026 Содержание блога Финальная демка в браузере. Итоговый код: finish-sync-physics-sprites-sdl3-c. zip На первой гифке отладочные линии отключены, а на второй включены:. . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Идентификация объектов на Box2D v3 - использование userData и событий коллизий 8Observer8 02.03.2026 Содержание блога Финальная демка в браузере. Итоговый код: finish-collision-events-sdl3-c. zip Сканируйте QR-код на мобильном и вы увидите, что появится джойстик для управления главным героем. . . .

@Федо 0 / 0 / 0 Регистрация: 17.03.2016 Сообщений: 154

	Доказать, являются ли значения функции полугруппой, моноидом, группой, а также является ли операция коммутативной 14.04.2019, 17:26. Показов 4681. Ответов 16 Метки нет (Все метки) Приветствую форумчане, Хочу уточнить верно ли я все понимаю и правильно ли я все доказал Условие: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(S,\circ)\, \, S:={f\|f:N->N,f\,\, injektiv)$ Мое решение: 1. т.к. функция инъективна, то справедливо следующее: f(x1)=y1 f(x2)=y2 y1 не равен у2 2.операция ассоциативна т.к. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(x1\circ x2)(x)=x1(x2(x))$ 3.функция отображает в себя множество натуральных чисел следовательно: f:={0,1,2,3,4...} проверим есть ли нейтральный элемент у этой полугруппы $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?e\circ x1=x1\Rightarrow 0+x1=x1\, \, e=0 \;$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?e\circ x1=x1\Rightarrow 1x1=x1\, \, e=1$ таким образом эта полугруппа имеет нейтральный элемент и является моноидом 4.проверим имеется ли обратный элемент для каждого элемента в моноиде: т.к. функция ничем не ограничена. По определению обратного элемента $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x1\circ x2=e$ необходимо найти обратный элемент для х1 тогда: x1+x2=e;для суммирования найти обратный элемент не представляется возможным x1x2=e;для этого случая е=0 5. Функция коммутативна т.к. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x1\circ x2=x3$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x2\circ x1=x3$ Вероятно я наделал много ошибок либо что-то не так доказал. Попытался все сделать как представляется в моей голове. Прошу помощи. Заранее спасибо! 0

@kabenyuk $Эксперт по математике/физике$ 4182 / 3052 / 918 Регистрация: 19.11.2012 Сообщений: 6,196
	14.04.2019, 19:03
	3D Homer, ну вы слишком строги, хотя и полностью правы. 0

@Федо 0 / 0 / 0 Регистрация: 17.03.2016 Сообщений: 154
	14.04.2019, 19:44 [ТС]
	1. В определении инъективности функции я действительно ошибся. Каждому значению а должно соответствовать значения b, которые должны быть равны. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f({a}_{1})=b;\, f({a}_{2})=b\Rightarrow {a}_{1}={a}_{2}$ при чем: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{a}_{1},\, {a}_{2},\, b\, \epsilon \, N$ Теперь я исправился в определении инъективности? 2.по поводу ассоциативности, мне казалось, что если в условии написано что функция инъективна, то она должна быть и ассоциативна. Поэтому решил просто написать определения для ассоциативности функций. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?({a}_{1}\circ {a}_{2})(b)={a}_{1}({a}_{2}(b))$ 3.По поводу нейтрального элемента.... $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{id}_{N}:N->N$ где а\|->a это определение я нашел в интернете, где указывается что мне необходимо найти тождественную функцию относительно моей операции. Но что это я не могу понять, если есть возможность объясните... 0

@Федо 0 / 0 / 0 Регистрация: 17.03.2016 Сообщений: 154
	14.04.2019, 22:01 [ТС]
	Помогите пожалуйста у меня уже голова кипит... 0

@3D Homer $Эксперт по математике/физике$ 5016 / 3628 / 1164 Регистрация: 01.09.2014 Сообщений: 9,792
	14.04.2019, 22:07
	К сожалению, прочитать, что такое моноид, я за вас не могу. Даже если я напишу это здесь, читать все равно нужно вам. В математике у любого определения есть главное слово. Например, подмножество — это в первую очередь множество. Вектор — это упорядоченная пара (точек, с особым определением равенства векторов *— это согласно одному из определений), квадрат — это четырёхугольник (у которого все стороны равны и все углы равны) и т.п. Прочитайте и скажите, что такое моноид (или, если хотите, группа). Хотя бы напишите главное слово или несколько. 1

@Федо 0 / 0 / 0 Регистрация: 17.03.2016 Сообщений: 154
	14.04.2019, 22:15 [ТС]
	полугруппа с нейтральным элементом. Более подробно, моноидом называется множество M, на котором задана бинарная ассоциативная операция, обычно именуемая умножением, и в котором существует такой элемент e, что ex=x=xe для любого $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x\epsilon M$ . Элемент e называется единицей и часто обозначается {\displaystyle 1} 1. В любом моноиде имеется ровно одна единица. Я понимаю это и даже могу представить это...но как это вообще соотносится с моей задачей... 0

@3D Homer $Эксперт по математике/физике$ 5016 / 3628 / 1164 Регистрация: 01.09.2014 Сообщений: 9,792
	14.04.2019, 22:48
	Итак, моноид — это упорядоченная пара, состоящая из множества M и операции, скажем, . Далее, операция ассоциативна и существует единица по . Смотрим задачу: проверить, является ли упорядоченная пара $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(S, \circ)$ моноидом. Эх, если бы кто-нибудь помог сравнить данный объект $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(S, \circ)$ с парой (M, ) из определения и сказать, что означает общее определение в применении к данному конкретному объекту... Не по теме: Мне кажется, вы не понимаете, что такое математический закон. Например, закон говорит, что (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 для любых действительных чисел x и y. Его применение в конкретном случае может говорить, что (1 + ab)^2 = 1^2 + 21ab + (ab)^2 = 1 + 2ab + (ab)^2. Нужно уметь применять закон к конкретному выражению и уметь переписать это выражение, сделав соответствующую замену. Мне кажется, вы умеете сравнивать конкретные выражения, но не понимаете, что в законе переменные могут быть связаны квантором всеобщности, то есть вместо них можно подставлять, что угодно. Поэтому в соседней теме вы не могли применить определение функции x * y = y, где переменные связаны квантором всеобщности, к выражению y * z. Я не знаю, как объяснить эти понятия. Обычно они впитываются с математической культурой в процессе изучения линейных и квадратный уравнений, тригонометрии и т.д. Несмотря на то, что первокурсникам никогда не объясняют формально, как заменять равные на равные, людям с должным опытом понятие универсального закона и его конкретного применения интуитивно ясно. 1

@Федо 0 / 0 / 0 Регистрация: 17.03.2016 Сообщений: 154
	15.04.2019, 00:11 [ТС]
	Пожалуйста дайте мне готовый ответ на мою задачу и я постараюсь на основе ответа понять ка все должно быть построено аналогично для других задач... Надеюсь на понимание... 0

@3D Homer $Эксперт по математике/физике$ 5016 / 3628 / 1164 Регистрация: 01.09.2014 Сообщений: 9,792
	15.04.2019, 00:24
	Готового ответа не дам (его тут и нет, здесь нужны доказательства), но вам нужно показать следующие факты. 1. Композиция инъекций есть инъекция. 2. Тождественная функция id есть инъекция. 3. Композиция любой функции f и id есть f, то есть f o id = id o f = f. 4. Композиция функций ассоциативна: (f o g) o h = f o (g o h). 5. Композиция функций не коммутативна (нужно предъявить две инъекции f и g, такие что f o g ≠ g o f). 6. Не у всех инъекций есть (правые) обратные (нужно предъявить инъекцию f, такую что f o g ≠ id для любой функции g). Любопытно, что у любой инъекции f есть левая обратная, то есть есть g, такая что g o f = id. 1