Проверить, что векторы e1, e2, e3 и h1, h2, h3 образуют базисы - Алгебра - Страница 2

@Igor3D · 05.03.2024, 00:10

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Сообщение от palva

...а в моих рассуждениях вы ошибок не нашли

Ну были некоторые сомнения (см конец поста 17). Но согласен: тестовый пример - убедительное доказательство. Возьмем сначала ортогональные оси
h1 = (1,-1), h2= (1,1) и запишем их по строкам в матрицу. Переводим вектор x=(0,1) из мира (стандартный базис) в H

Code
1
2
1 -1      0  -1
1  1   x  1 = 1

Назад в мир (множим на обратную)

Code
1
2
0.5  0.5    -1   0
-0.5 0.5  х  1 = 1

Получается. Теперь Ваши оси

Сообщение от palva

базис H: h1 = (1,0), h2= (1,1).

Переводим в H

Code
1
2
1  0      0   0
1  1   x  1 = 1

Не по теме:

Где-то видел (но не более того) это называется "собственный вектор"

Обратно в мир (множим на обратную)

Code
1
2
1  0       0   0
-1  1   x  1 = 1

Получается...

Добавлено через 13 минут

Не по теме:

Проблемы с рисованием матриц/столбцов - вумный редактор как-то сует/удаляет пробелы. Нет ли какого-то простого способа или непременно надо учить latex? Спасибо

@palva · 05.03.2024, 00:38

Сообщение от Igor3D

Нет ли какого-то простого способа

Наверно, нет. Писать на латех я считаю хорошим тоном по отношению к тем, кому я помогаю.

@Igor3D · 05.03.2024, 18:17

Ладно, "попробывал" latex, вот текст с ним

Возьмем сначала ортогональные оси h1 = (1,-1), h2= (1,1) и запишем их по строкам в матрицу. Переводим вектор x=(0,1) из мира (стандартный базис) в H
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix} 1 & -1\\ 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}$
Назад в мир (множим на обратную)
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix} 0.5 & 0.5\\ -0.5 & 0.5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

Получается. Теперь Ваши оси
Переводим в H
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} $
Обратно в мир (множим на обратную)
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix} 1 & 0\\ -1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

Получается... (правда вектор остается тот же, ну так бывает)
Что делаете Вы - так и не понял

Вы записываете матрицу по столбцам, транспонированная равна обратной только при отсутствии масштаба (а он есть). Если установлено правило умножения "матрица слева", то нужно множить вектор в исходной СК на строки матрицы (что выражены в той же СК).

Не по теме:

Сообщение от palva

Писать на латех я считаю хорошим тоном по отношению к тем, кому я помогаю.

Ваша щедрость не знает границ :)

iifat · 06.03.2024, 04:44

Сообщение от Igor3D

A x B = (A.inverted() x B.inverted()).inverted()

Неправда ваша. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?AB=(B^{-1}A^{-1})^{-1}$

@Igor3D · 06.03.2024, 13:20

Сообщение от palva

Базисы преобразуются прямой матрицей, а вектора обратной, да еще транспонированной. Поэтому и говорят, что векторы преобразуются контравариантно. https://ru.wikipedia.org/wiki/... 0%BA%D0%B0)
А вот координаты линейных функций при изменении базиса преобразуются ковариантно, т. е. точно также как вектора базиса. Поэтому линейные функции иногда называют ковекторами.

Хотелось бы поговорить (или поспрашивать) немного о другом (хотя тоже имеет отношение к теме). См аттач. Слева мир, его оси (1, 0) и (0, 1), и есть Ваша (синяя) точка/вектор (0, 1). Возьмем др СК, напр повернутую на 30 градусов. Оси новой СК (0.866, 0.5) и (-0.5, 0.866). Координаты синей точки в новой СК (0.5, 0.866). Все прекрасно получается/сходится, вот она, (физически) одна точка в разных СК.

Теперь берем (тупейшую) матрицу СК
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix} 2 & 0\\ 0 & 2 \end{pmatrix}$
Т.е. просто увеличение вдвое. Как ее "нарисовать" подобно матрице поворота справа? Вроде бы оси должны быть вдвое короче, ведь в новой СК координаты нашей точки (0, 2). Но, судя по матрице, наоборот, оси вдвое длиннее. Как так?

Также. С единичными масштабами можно множить матрицы наоборот (вектор-строку на столбцы), получим обратное преобразование, я понимаю почему (Вы это расписывали в #11). Но с масштабом нет, почему? Ведь логика та же самая - координаты в новой СК множим на выражение/уравнения осей в исходной (и затем группируем по исходным осям).

Не по теме:

Шансов конечно нет, опять будет (лицемерное) "читайте книги", но почему бы не попробовать

Да, вот картинка

Проверить, что векторы e1, e2, e3 и h1, h2, h3 образуют базисы

@palva · 06.03.2024, 13:43

Сообщение от Igor3D

Вроде бы оси должны быть вдвое короче, ведь в новой СК координаты нашей точки (0, 2).

Почему короче? Ось (2, 0) в два раза длиннее оси (0, 1) из старой системы координат. А координаты точки в новой системе будут (0, 0.5), в старой (0, 1).

@Igor3D · 08.03.2024, 01:16

Сообщение от palva

Почему короче? Ось (2, 0) в два раза длиннее оси (0, 1) из старой системы координат. А координаты точки в новой системе будут (0, 0.5), в старой (0, 1).

Да. Моя ошибка была в том что матрицу я выписывал по строкам. Но это верно лишь при отсутствии масштаба. Правильно выписать вектора по столбцам и инвертировать, тогда все получается

@Igor3D · 09.03.2024, 11:16

Какой смысл операции

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix} 2 & 0\\ 0 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\ 2 \end{pmatrix} $
Да, вопрос выглядит глупым. Ну просто увеличили объект вдвое, все его координаты множатся на 2. Но я не могу объяснить это с точки зрения трансформаций (СК, базисов и.т.п.). В самом деле, пусть вверху "матрица перехода" (двойки по диагонали), тогда умножение на обратную переводит из исходной (мир) в новую

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix} 0.5 & 0\\ 0 & 0.5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\ 0.5 \end{pmatrix}$
При этом на входе ожидается координата/вектор (0, 1) в мире. Обратно из новой в старую (мир) - просто множим точку в новой на матрицу перехода
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix} 2 & 0\\ 0 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0\\ 0.5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}$
Все хорошо, но никакой точки (0, 2) здесь нет. И вообще умножение точки (0, 1) в мире (исходной), на матрицу "из новой в мир" выглядит некорректно. Но "по жизни" под "трансформацией" понимается именно это

Что я понимаю не так?
Спасибо

@mikello · 09.03.2024, 15:09

Igor3D,

Но я не могу объяснить это с точки зрения трансформаций (СК, базисов и.т.п.)

Я думаю, что тут надо визуализировать по разным исходным значениям и смотреть, что и как будет трансформироваться.

@Igor3D · 10.03.2024, 12:35

Сообщение от mikello

Я думаю, что тут надо визуализировать по разным исходным значениям и смотреть, что и как будет трансформироваться.

Именно это я пытался исполнить в #25. Что за точка (0, 2)? В какой СК? В общем, растерялся солдат ...

@mikello · 10.03.2024, 13:23

Igor3D,

Что за точка (0, 2)? В какой СК?

Добавлено через 11 минут

Сообщение от Igor3D

Какой смысл операции
Да, вопрос выглядит глупым.

Смысл этой операции - переводит координаты точки (0,1) из новой СК в старую (0,2). Базисный вектор (0,1) в новой СК в 2 раза длиннее базисного вектора в старой СК, поэтому (0,1) -> (0,2).

@Igor3D · 10.03.2024, 13:48

Сообщение от mikello

Смысл этой операции - переводит координаты точки (0,1) из новой СК в старую (0,2). Базисный вектор (0,1) в новой СК в 2 раза длиннее базисного вектора в старой СК, поэтому (0,1) -> (0,2).

Ну вот у нас есть 3D объект, координаты одной из его точек/вертексов (0, 1). Какая же это "новая" координата? Явно старая/исходная, у нас и новой СК еще нет. Теперь тупо множим все координаты на 2. Объект увеличился вдвое, наша точка стала (0, 2), вот это ее "новые" координаты. Как-то не сходятся концы с концами... не получается (по смыслу) "из новой"

@mikello · 10.03.2024, 14:06

Igor3D,

не получается (по смыслу) "из новой"

Как раз таки и получается, что из новой, потому что Вы прежде чем рассматривать эту точку задали для неё новый базис и новую СК, и ещё матрицу перехода. Так ведь?

Теперь тупо множим все координаты на 2.

Умножать просто так ничего нельзя, это не определенная операция. Но Вы можете умножать на матрицу перехода только после того как определите новый базис и матрицу перехода. А иначе у Вас не будет двух СК, а будет только одна СК (старая)

Добавлено через 12 минут

Объект увеличился вдвое, наша точка стала (0, 2), вот это ее "новые" координаты

"новые" координаты - это не новая СК. Это новые координаты в старой СК. А мы говорим о старой и новой СК.

@Igor3D · 11.03.2024, 13:22

Сообщение от Igor3D

Какой смысл операции
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix} 2 & 0\\ 0 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\ 2 \end{pmatrix} $
Да, вопрос выглядит глупым. Ну просто увеличили объект вдвое, все его координаты множатся на 2. Но я не могу объяснить это с точки зрения трансформаций (СК, базисов и.т.п.).

Теперь могу

Это та самая "матрица перехода" (из новой СК в старую). Ключевая фраза/момент

В локальной СК ничего не меняется

См аттач. Конец зеленой оси (Y) как совпадал с крышкой чайника (0, 1), так и совпадает после увеличения (те же (0, 1)). А вот в мире (который мы видим в окне) чайник увеличился

mikello, спасибо за помощь

@mikello · 11.03.2024, 14:12

Igor3D,

См аттач. Конец зеленой оси (Y) как совпадал с крышкой чайника (0, 1), так и совпадает после увеличения (те же (0, 1)). А вот в мире (который мы видим в окне) чайник увеличился

Да, все верно.

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
мат медиц модель 30. презентация проекта anaschu 27.08.2026 хоп хоп хоп хидахоп, а я кладую))	Как у меня протекала болезнь zorxor 27.08.2026 Здравствуйте, друзья! Эта запись блога предназначена именно для вас - для моих дорогих друзей, которые знали меня лично. Чтобы ответить на вопрос - а что же со мной произошло на самом деле? Я учился. . .	Нашел вот забавное видео о измерениях. Лучшее что я видел на эту тему kumehtar 26.08.2026 ILETXiw9bMQ Основная суть и тезисы по измерениям: 0D (Нулевое измерение): точка, не имеющая длины, ширины, высоты или объема. Объект не может перемещаться в 0D. 1D (Первое измерение):. . .	[EasyBuilder Pro] Памятка по разработке для панелей Weintek ФедосеевПавел 26.08.2026 Памятка по разработке для панелей Weintek ВВЕДЕНИЕ Ранее, при реализации проектов основное внимание уделял разработке управляющей программы для контроллера, а панели оператора доставалось время. . .
Модель по догадкам anaschu 25.08.2026 Прошло две недели. Я уже рассказывал, как разговаривал с сотрудниками у сортировки и как понял, что главная ветка — не про приёмку, а про отбор. Но тогда я думал, что понял механику. На этой неделе я. . .	Запись в регистр сведений независимо от заполненности табличной части Maks 25.08.2026 Реализация из решения ниже выполнена на нетиповом документе с несколькими табличными частями, разработанного в КА2. Задача: Обеспечить запись документа в регистр сведений независимо от. . .	Ноутбук Альфария kumehtar 24.08.2026 Встретился тут в сети ноутбук Альфария, примарха Альфа-Легиона. Хотя возможно, это ноутбук Омегона, разумеется. Ну как вам?	Мастера простых решений DevAlt 23.08.2026 В сишарп стэках winforms, да и wpf существует сложная система связывания источниках данных и элементов формы(текстовые поля и метки), опирается все это на технологию событий и мета. . .

@Igor3D 1977 / 833 / 115 Регистрация: 01.10.2012 Сообщений: 5,159 Записей в блоге: 2
	09.03.2024, 11:16
	Какой смысл операции $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix}<br /> 2 & 0\\ <br /> 0 & 2<br /> \end{pmatrix}\begin{pmatrix}<br /> 0\\ <br /> 1<br /> \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}<br /> 0\\ <br /> 2<br /> \end{pmatrix}<br />$ Да, вопрос выглядит глупым. Ну просто увеличили объект вдвое, все его координаты множатся на 2. Но я не могу объяснить это с точки зрения трансформаций (СК, базисов и.т.п.). В самом деле, пусть вверху "матрица перехода" (двойки по диагонали), тогда умножение на обратную переводит из исходной (мир) в новую $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix}<br /> 0.5 & 0\\ <br /> 0 & 0.5<br /> \end{pmatrix}\begin{pmatrix}<br /> 0\\ <br /> 1<br /> \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}<br /> 0\\ <br /> 0.5<br /> \end{pmatrix}$ При этом на входе ожидается координата/вектор (0, 1) в мире. Обратно из новой в старую (мир) - просто множим точку в новой на матрицу перехода $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix}<br /> 2 & 0\\ <br /> 0 & 2<br /> \end{pmatrix}\begin{pmatrix}<br /> 0\\ <br /> 0.5<br /> \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}<br /> 0\\ <br /> 1<br /> \end{pmatrix}$ Все хорошо, но никакой точки (0, 2) здесь нет. И вообще умножение точки (0, 1) в мире (исходной), на матрицу "из новой в мир" выглядит некорректно. Но "по жизни" под "трансформацией" понимается именно это Что я понимаю не так? Спасибо 0