Задача про дикарей

@Rastal · Регистрация: 24.11.2011

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Помогите пожалуйста решить задачу.
N дикарей, начинают ритуальный танец, находясь в вершинах правильного N-угольника со стороной 10 м. Танцуя, каждый из низ движется со скоростью 0,1 м/с. Через какое время начинается кульминация, когда они сойдутся все вместе.
N=3;4;...

@Svoboda · 29.11.2011, 09:14

По сути, дикари соберутся в центре N-угольника, то есть задача сходится к тому чтобы вычислить:

a) для N=3 - радиус окружности описанной вокруг правильного треугольника со стороной 10, а затем вычислить время по формуле t = R/V
b) для N=4 - полудиагональ квадрата со стороной 10 и также подставить в формулу t = R/V

@Rastal · 29.11.2011, 18:31 **[ТС]**

Простите, забыл добавить что они двигаются по направлению к своему соседу...

@Svoboda · 29.11.2011, 19:31

Ясно. Значит они движутся не к центру, а по периметру.
Тут, если они движутся одновременно,в одном направлении (по часовой, либо против часовой стрелки) и с одинаковой скоростью, они никогда не сойдутся - будут вечно пытаться догнать друг друга.

Если же они двигаются по очереди - сначала один состыковывается с соседом за время t, затем следующий, и т.д., то первому (N[1]) надо пройти расстояние S, тому что за ним(N[2]) - 2*S, следующему 3*S и т.д.

Найдем время за самый короткий проход: t=10/0.1=100
А дальше вычисляем просто сумму членов арифметической прогрессии:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?N*(t + t*N)*\frac{1}{2}$

Однако! - последний дикарь был впереди и к нему пристыковался дикарь при первой заходе, так что последний ход делать не нужно и общая формула будет выглядеть так:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?T=(N-1)*(t+t*(N-1))*\frac{1}{2}$ (T= общее время)

@~~Dzhej-Dzhej~~ · 30.11.2011, 11:24

Сообщение от Svoboda

Если же они двигаются по очереди

В ритуальном танце обычно двигаються все.

Сообщение от Svoboda

Значит они движутся не к центру, а по периметру.
Тут, если они движутся одновременно,в одном направлении (по часовой, либо против часовой стрелки) и с одинаковой скоростью, они никогда не сойдутся - будут вечно пытаться догнать друг друга.

Они движутся по сужающейся спирали.

Для случая из трех дикарей(для наглядности). Предположим, что первый стоит. Второй проходит в его направлении 5 метров. Посмотрите, на сколько он приблизится к центру(описаный радиус меняется на вписанный). Т.к. все движутся одновременно, то в случае для N=3 не особо сложно представить траектории движения.
Здесь формулу сложно придумать.

@Svoboda · 30.11.2011, 11:42

Dzhej-Dzhej, да, действительно сложная траектория получается. Подумаю на досуге.

@аналитика · 30.11.2011, 14:56

все время движения товарищи будут находится в вершинах правильного треугольника (n-угольника), который будет поворачиваться, уменьшаясь.
Относительно преследующего преследуемый будет двигаться по биссектрисе соответствующего угла (см. рис) и ему нужно пройти до центра треугольника (n-угольника), т.е. расстояние равное радиусу описанной окружности:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?v_{rel} = 2v \cos {\frac{\alpha}{2}}$

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\cos {\frac{\alpha}{2}}= \{ \alpha =\pi - \frac{2\pi}{n} \}= \sin {\frac{\pi}{n}}$

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?R=\frac{a}{2\sin {\frac{\pi}{n}}}$

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?t_n=\frac{R}{v_{rel}}=\frac{a}{4v \, \sin^2 ({\frac{\pi}{n}})}$

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?t_3=\frac{a}{3v}; \;\; t_4=\frac{a}{2v}; \;\; t_6=\frac{a}{v}$

Задача про дикарей

Решение

Решение

@Rastal 0 / 0 / 0 Регистрация: 24.11.2011 Сообщений: 3
		1
	Задача про дикарей 28.11.2011, 20:51. Показов 912. Ответов 6 Метки нет (Все метки) Помогите пожалуйста решить задачу. N дикарей, начинают ритуальный танец, находясь в вершинах правильного N-угольника со стороной 10 м. Танцуя, каждый из низ движется со скоростью 0,1 м/с. Через какое время начинается кульминация, когда они сойдутся все вместе. N=3;4;... 0

@Svoboda 70 / 70 / 17 Регистрация: 09.08.2011 Сообщений: 115 Записей в блоге: 3
	29.11.2011, 09:14	2
	По сути, дикари соберутся в центре N-угольника, то есть задача сходится к тому чтобы вычислить: a) для N=3 - радиус окружности описанной вокруг правильного треугольника со стороной 10, а затем вычислить время по формуле t = R/V b) для N=4 - полудиагональ квадрата со стороной 10 и также подставить в формулу t = R/V 2

@Rastal 0 / 0 / 0 Регистрация: 24.11.2011 Сообщений: 3
	29.11.2011, 18:31 [ТС]	3
	Простите, забыл добавить что они двигаются по направлению к своему соседу... 0

@Svoboda 70 / 70 / 17 Регистрация: 09.08.2011 Сообщений: 115 Записей в блоге: 3
	29.11.2011, 19:31	4
	Сообщение было отмечено как решение Решение Ясно. Значит они движутся не к центру, а по периметру. Тут, если они движутся одновременно,в одном направлении (по часовой, либо против часовой стрелки) и с одинаковой скоростью, они никогда не сойдутся - будут вечно пытаться догнать друг друга. Если же они двигаются по очереди - сначала один состыковывается с соседом за время t, затем следующий, и т.д., то первому (N[1]) надо пройти расстояние S, тому что за ним(N[2]) - 2S, следующему 3S и т.д. Найдем время за самый короткий проход: t=10/0.1=100 А дальше вычисляем просто сумму членов арифметической прогрессии: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?N(t + tN)\frac{1}{2}$ Однако! - последний дикарь был впереди и к нему пристыковался дикарь при первой заходе, так что последний ход делать не нужно и общая формула будет выглядеть так: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?T=(N-1)(t+t(N-1))\frac{1}{2}$ (T= общее время) 4

@~~Dzhej-Dzhej~~ Заблокирован
	30.11.2011, 11:24	5
	Сообщение от Svoboda Если же они двигаются по очереди В ритуальном танце обычно двигаються все. Сообщение от Svoboda Значит они движутся не к центру, а по периметру. Тут, если они движутся одновременно,в одном направлении (по часовой, либо против часовой стрелки) и с одинаковой скоростью, они никогда не сойдутся - будут вечно пытаться догнать друг друга. Они движутся по сужающейся спирали. Для случая из трех дикарей(для наглядности). Предположим, что первый стоит. Второй проходит в его направлении 5 метров. Посмотрите, на сколько он приблизится к центру(описаный радиус меняется на вписанный). Т.к. все движутся одновременно, то в случае для N=3 не особо сложно представить траектории движения. Здесь формулу сложно придумать. 0

@Svoboda 70 / 70 / 17 Регистрация: 09.08.2011 Сообщений: 115 Записей в блоге: 3
	30.11.2011, 11:42	6
	Dzhej-Dzhej, да, действительно сложная траектория получается. Подумаю на досуге. 0

@аналитика здесь больше нет... 3374 / 1672 / 184 Регистрация: 03.02.2010 Сообщений: 1,219
	30.11.2011, 14:56	7
	Сообщение было отмечено как решение Решение все время движения товарищи будут находится в вершинах правильного треугольника (n-угольника), который будет поворачиваться, уменьшаясь. Относительно преследующего преследуемый будет двигаться по биссектрисе соответствующего угла (см. рис) и ему нужно пройти до центра треугольника (n-угольника), т.е. расстояние равное радиусу описанной окружности: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?v_{rel} = 2v \cos {\frac{\alpha}{2}}$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\cos {\frac{\alpha}{2}}= \{ \alpha =\pi - \frac{2\pi}{n} \}= \sin {\frac{\pi}{n}}$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?R=\frac{a}{2\sin {\frac{\pi}{n}}}$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?t_n=\frac{R}{v_{rel}}=\frac{a}{4v \, \sin^2 ({\frac{\pi}{n}})}$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?t_3=\frac{a}{3v}; \;\; t_4=\frac{a}{2v}; \;\; t_6=\frac{a}{v}$ Миниатюры 3