Задача об эффективном перемножении матриц

@AshleyLight · Регистрация: 22.10.2013

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Помогите разобраться с алгоритмом об эффективном перемножении матриц(расстановка скобок).
Я понял что суть действия в том, что мы выбираем где разбить нашу последовательность матриц. далее мы вычисляем стоимость каждой из подпоследовательностей и суммируем = общая стоимость перемножения. Не очень понял как выбирается место где разбивать на 1м шаге?
Вот мы разбили, далее мы внутри каждой подпоследовательности выполняем все возможные расстановки скобок, и считаем при них стоимость каждой подпоследовательности? это звучит как то не очень правдоподобно. Не очень понял как происходит процесс сохранения стоимостей и положения скобок. Если это все же так далее мы бьем последовательность еще раз и повторяем все заново? (уже имея в памяти некоторые стоимости). и так в итоге выбираем наименьшую?

[]http://upload.wikimedia.org/math/b/c/1/bc10a0ddacf68b72db6454b5b5144ccb.png[/]
объясните пожалуйста пошагово как работает рекурсиваня формула.

Java
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
public class MatrixChain {
       /**
     * Возвращает ответ на задачу об оптимальном перемножении матриц, используя
         * динамическое программирование.
     * Асимптотика решения - O(N^3) время и O(N^2) память.
     *  
     * @param p  массив размеров матриц, см.статью   
     * @return   минимальное количество скалярных умножений, необходимое для решения задачи
     */ 
       public static int multiplyOrder(int[] p) {
        int n = p.length - 1;
        int[][] dp = new int[n + 1][n + 1];
 
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            dp[i][i] = 0;
        }
 
        for (int l = 2; l <= n; l++) {
            for (int i = 1; i <= n - l + 1; i++) {
                int j = i + l - 1;
                dp[i][j] = Integer.MAX_VALUE;
                for (int k = i; k <= j - 1; k++) {
                    dp[i][j] = Math.min(dp[i][j],
                                                   dp[i][k] + dp[k + 1][j] + p[i - 1] * p[k] * p[j]);
                }
            }
        }
        return dp[1][n]; 
    }
 
    public static void main(String[] args) {
        int[] test = { 10, 100, 5, 50 };
        System.out.println(MatrixChain.multiplyOrder(test));
    }
}

код с википедии не тащит. не понятны манипуляции с индексами.
Помогите пожалуйста! очень СРОЧНО нужно разобраться уже уйму времени читаю главу посвященную этому в книге "Алгоритмы построение и анализ" Но никак толком не могу понять(( Помогите, рассудите...

Добавлено через 14 минут
допустим если рассматривать на примере 6 матриц A1 A2 A3 A4 A5 A6 в рекурсивной формуле сказано следующее
что минимальная стоимость матрици А1..6 будет минимальная стоимость матрицы А1..k + А(k+1)...j но вопрос в том, как мы узнаем минимальныю стоимость А1..k и А(k+1)...j кроме как не подставив еще раз в формулу и получив А(k+1)..Ak1 + A(k1+1)..A6 так же и с первой подпоследовательностью. И к чему мы так придем? или все таки внутри этих подпоследовательностей нужно все возможные сочетания скобок смотреть и из них выбирать наименьшую стоимость, потом менять изначальное k и считать заново, пока не найдем значение k чтобы общая стоимость была наименьшей?

Добавлено через 1 минуту
Как выбирается вышеупомянутое k?

@Mysterious Light · 25.05.2014, 22:57

Вы признаёте, что расстановка скобочек определяется последовательностью размерностей p0, p1, p2, ... , pn, где p[i] x p[i+1] есть размеры матрицы A[i] ?

Если так, то функция m[i,j] определяется естественно.
Так, m[i,i] = 0 для любого i.
Далее, m[i,i+1] = m[i,i]+m[i+1,i+1]+p[i-1]p[i]p[i+1] = p[i-1]p[i]p[i+1].
Далее, m[i,i+2] = min( m[i,i]+m[i+1,i+2]+p[i-1]p[i]p[i+2], m[i,i+1]+m[i+2,i+2]+p[i-1]p[i+1]p[i+2] ) = min(p[i]p[i+1]p[i+2] + p[i-1]p[i]p[i+2], p[i-1]p[i]p[i+1] + p[i-1]p[i+1]p[i+2]).

Продолжите дальше, чему равно m[i,i+3] для произвольного i?

В приведённом коде как раз это и делается: для каждого l = 0..n заполняются все элементы m[i,i+m], где i = 0..(n-l)

@AshleyLight · 25.05.2014, 23:13 **[ТС]**

Да, спасибо большое я уже разобрался, не мог понять что в рекурсивной формуле к пробегает все значения свои, и тем самым в каждом элементе матрицы m[i,j] кроме как i=j лежит наименьшая стоимость для произведения соответствующего диапазона матриц. и смысл динамического программирования тут как раз в в том чтобы после выбора наименьшего в следующем когда уже будет такая же расстановка скобок, её не считать! Спасибо большое за ответ, а то обычно мои посты на этом форме игнорят(

Добавлено через 8 минут
можете пояснить почему скорость именно О(n^3)?

@Mysterious Light · 25.05.2014, 23:52

Сообщение от AshleyLight

можете пояснить почему скорость именно О(n^3)?

Потому что перед нами три вложенных цикла:
внешний по l = 0..n, (n+1) итераций
средний по i = 0..n-l+1, (n-l+2) итераций
внутренний по k = i..i+l-2, (l-1) итераций

Всего действий:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{l=0}^{n} \sum_{i=0}^{n-l+1} l-1 = \sum_{l=0}^n (n-l+2)(l-1) = \frac16 (1+n) (-12+2 n+n^2)$

@AshleyLight · 26.05.2014, 00:16 **[ТС]**

Справедливо, спасибо, весьма благодарен за уделенное внимание!

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
PhpStorm 2025.3: WSL Terminal всегда стартует в ~ and_y87 14.12.2025 PhpStorm 2025. 3: WSL Terminal всегда стартует в ~ (home), игнорируя директорию проекта Симптом: После обновления до PhpStorm 2025. 3 встроенный терминал WSL открывается в домашней директории. . .	Access VikBal 11.12.2025 Помогите пожалуйста !! Как объединить 2 одинаковые БД Access с разными данными.	Новый ноутбук volvo 07.12.2025 Всем привет. По скидке в "черную пятницу" взял себе новый ноутбук Lenovo ThinkBook 16 G7 на Амазоне: Ryzen 5 7533HS 64 Gb DDR5 1Tb NVMe 16" Full HD Display Win11 Pro	Музыка, написанная Искусственным Интеллектом volvo 04.12.2025 Всем привет. Некоторое время назад меня заинтересовало, что уже умеет ИИ в плане написания музыки для песен, и, собственно, исполнения этих самых песен. Стихов у нас много, уже вышли 4 книги, еще 3. . .	От async/await к виртуальным потокам в Python IndentationError 23.11.2025 Армин Ронахер поставил под сомнение async/ await. Создатель Flask заявляет: цветные функции - провал, виртуальные потоки - решение. Не threading-динозавры, а новое поколение лёгких потоков. Откат?. . .
Поиск "дружественных имён" СОМ портов Argus19 22.11.2025 Поиск "дружественных имён" СОМ портов На странице: https:/ / norseev. ru/ 2018/ 01/ 04/ comportlist_windows/ нашёл схожую тему. Там приведён код на С++, который показывает только имена СОМ портов, типа,. . .	Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Programma_Boinc 20.11.2025 Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Вот решила сделать интересный приблизительный подсчет, сколько государство потратило на меня денег на покупку инсулинов. . . .	Ломающие изменения в C#.NStar Alpha Etyuhibosecyu 20.11.2025 Уже можно не только тестировать, но и пользоваться C#. NStar - писать оконные приложения, содержащие надписи, кнопки, текстовые поля и даже изображения, например, моя игра "Три в ряд" написана на этом. . .	Мысли в слух kumehtar 18.11.2025 Кстати, совсем недавно имел разговор на тему медитаций с людьми. И обнаружил, что они вообще не понимают что такое медитация и зачем она нужна. Самые базовые вещи. Для них это - когда просто люди. . .	Создание Single Page Application на фреймах krapotkin 16.11.2025 Статья исключительно для начинающих. Подходы оригинальностью не блещут. В век Веб все очень привыкли к дизайну Single-Page-Application . Быстренько разберем подход "на фреймах". Мы делаем одну. . .

Задача об эффективном перемножении матриц

Решение

Решение

@Mysterious Light $Эксперт по математике/физике$ 4311 / 2103 / 431 Регистрация: 19.07.2009 Сообщений: 3,187 Записей в блоге: 24
	25.05.2014, 22:57
	Сообщение было отмечено AshleyLight как решение Решение Вы признаёте, что расстановка скобочек определяется последовательностью размерностей p0, p1, p2, ... , pn, где p[i] x p[i+1] есть размеры матрицы A[i] ? Если так, то функция m[i,j] определяется естественно. Так, m[i,i] = 0 для любого i. Далее, m[i,i+1] = m[i,i]+m[i+1,i+1]+p[i-1]p[i]p[i+1] = p[i-1]p[i]p[i+1]. Далее, m[i,i+2] = min( m[i,i]+m[i+1,i+2]+p[i-1]p[i]p[i+2], m[i,i+1]+m[i+2,i+2]+p[i-1]p[i+1]p[i+2] ) = min(p[i]p[i+1]p[i+2] + p[i-1]p[i]p[i+2], p[i-1]p[i]p[i+1] + p[i-1]p[i+1]p[i+2]). Продолжите дальше, чему равно m[i,i+3] для произвольного i? В приведённом коде как раз это и делается: для каждого l = 0..n заполняются все элементы m[i,i+m], где i = 0..(n-l) 1

@AshleyLight 1 / 1 / 0 Регистрация: 22.10.2013 Сообщений: 56
	25.05.2014, 23:13 [ТС]
	Да, спасибо большое я уже разобрался, не мог понять что в рекурсивной формуле к пробегает все значения свои, и тем самым в каждом элементе матрицы m[i,j] кроме как i=j лежит наименьшая стоимость для произведения соответствующего диапазона матриц. и смысл динамического программирования тут как раз в в том чтобы после выбора наименьшего в следующем когда уже будет такая же расстановка скобок, её не считать! Спасибо большое за ответ, а то обычно мои посты на этом форме игнорят( Добавлено через 8 минут можете пояснить почему скорость именно О(n^3)? 0

@AshleyLight 1 / 1 / 0 Регистрация: 22.10.2013 Сообщений: 56
	26.05.2014, 00:16 [ТС]
	Справедливо, спасибо, весьма благодарен за уделенное внимание! 0