Декомпозиционный алгоритм для поиска наибольшего элемента

@Andreyphisicist · Регистрация: 24.02.2015

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Добрый день. Помогите пожалуйста разобраться с одной задачкой. Задачка из книги А.Левитина "Алгоритмы: Введение в разработку и анализ". Задачка 4.1.1.

4.1.1. а) напишите псевдокод декомпозиционного алгоритма для поиска наибольшего элемента в массиве из n чисел.

б) Какими будут выходные данные алгоритма, если наибольшее значение имеют несколько элементов?

в) Напишите рекуррентное соотношение для количества сравнения ключей, выполняемых алгоритмом.

г) Сравните созданный вами алгоритм с алгоритмом для решения указанной задачи, основанным на грубой силе.

Решение:

a) Псевдокод декомпозиционного алгоритма (Возможно я неправильно выделил псевдокод. Просто я не нашел как правильно его выделять).

Code
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Алгоритм Max2 (A[l...r])
 
if l=r 
   return A[l]
 
else 
   temp1 <- Max2(A[l...(l+r)/2])
   temp2 <- Max2 (A[(l+r)/2...r])
   
   if temp1 >= temp2 
      return temp1
 
   else 
      return temp2

в)

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C(n)=2C(n/2) + n - 1 $

Поскольку $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a=2, b=2, d=1$ , то согласно основной теореме

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C(n) \in \Theta (nlogn)$

г) Алгоритм на основе грубой силы имеет класс эффективности n, поэтому он будет эффективнее чем данный алгоритм.

@Shamil1 · 12.07.2015, 13:11

а) Иначе Ваш код зацикливается (бесконечный цикл)
В строке 8 надо (l+r)/2+1

в) Для чётных n:
C(n) = 2 * C(n/2) + 1
C(1) = 1 // сравнение верхней и нижней границ, а не самих элементов
C(n) = 2n - 1 // строго не доказывал, могу ошибиться

г) Алгоритм на основе грубой силы имеет тот же класс эффективности n, но требует примерно в 2 раза меньше сравнений // из-за того, что в декомпозиционном алгоритме мы постоянно сравниваем границы (l==r)

@Andreyphisicist · 12.07.2015, 15:41 **[ТС]**

Я вот только не могу понять почему в данной формуле вы написали + 1.

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C(n) = 2 * C(n/2) + 1$

Я вычислял эффективность согласно формуле, которая представлена на рисунке ниже. Согласно данной формуле

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(n) = n - 1$

Разве нет? f(n) это же есть сравнение решений двух подзадач. И общее количество сравнений равно n - 1. Или может я что-то не так понимаю.

@Andreyphisicist · 12.07.2015, 15:41 **[ТС]**

Сообщение от Shamil1

В строке 8 надо (l+r)/2+1

- Да точно.

@Shamil1 · 12.07.2015, 15:55

Разделение задач у нас бесплатное (без сравнений), а для композиции требуется одно сравнение (temp1 >= temp2), независимо от размеров подмассивов. Поэтому f(n) = 1

@Andreyphisicist · 12.07.2015, 17:56 **[ТС]**

Ну да, Вы скорее всего правы.

Тогда получается

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C(n) = 2*C(n/2) + 1 C(1)=1 $

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C(n) = 2*C(n/2) + 1 = 2*(2*C(n/4)+1)+1 = 4*C(n/4)+2+1 = 4*(2*C(n/8)+1)+2+1=8*C(n/8)+4+2+1 = = 2^i C(n/2^i) + {2}^{i-1} + {2}^{i-2} + ... + 2 + 1 = 2^i C(n/2^i) + 2^i - 1$

Пусть $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n=2^k$ . Тогда

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C(2^k)=2^i C({2}^{k-i}) + 2^i - 1$

Исходя из начальных условий

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{2}^{k-i} = 2^0$

Значит $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?k=i$

Таким образом:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C(2^k) = 2^k + 2^k - 1 = 2*2^k - 1 C(n) = 2*{2}^{log_2 n} - 1 = 2n -1$

Посмотрите пожалуйста, вроде должно быть правильно.

@Shamil1 · 12.07.2015, 18:43

Вы доказываете только для степеней двойки...

Используя метод математической индукции:

1. Проверяем для n = 1:
C(1) = 1 = 2n - 1

2. Предположим, что для всех k < n выполняется C(k) = 2k - 1
Для чётных n = 2m:
С(2m) = 2C(m) + 1 = 2(2m - 1) + 1 = 2*2m - 1 = 2n - 1
Для нечётных n = m(m+1):
C(m(m+1)) = C(m) + C(m+1) + 1 = 2m - 1 + 2(m+1) - 1 + 1 = 2m(m+1) - 1 = 2n - 1

@Andreyphisicist · 13.07.2015, 07:09 **[ТС]**

По идее же можно решать подобные рекуррентные только для $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{n}^{2k}$ и сделанную оценку порядка роста функции для $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{n}^{2k}$ можно с очень высокой степени приближенности считать правильно для всех значений n (2-ой рисунок).

Я так понимаю получение точное решение никого не интересует и главное всегда правильно оценивать порядок роста. Ведь так? Т.е. постоянные множители в решении особого значения не играют. А играет лишь класс эффективности.

Но как я понял можно получить точное решение для четных и нечетных n методом математической индукции. Правильно?
А почему у Вас для четных и нечетных значений получилось одно и тоже значение C(n) = 2n - 1. Ведь так в принципе не должно быть. Для нечетных значений должно же получаться другой значение в любом случае.

Можете пояснить что Вы этим доказываете? Я что-то понять не могу.

Для чётных n = 2m:
С(2m) = 2C(m) + 1 = 2(2m - 1) + 1 = 2*2m - 1 = 2n - 1

И если для четных n = 2m, то для нечетных должно быть n=2m + 1 , а не n = m(m+1)

@Shamil1 · 13.07.2015, 19:00

Сообщение от Andreyphisicist

А почему у Вас для четных и нечетных значений получилось одно и тоже значение C(n) = 2n - 1. Ведь так в принципе не должно быть. Для нечетных значений должно же получаться другой значение в любом случае.

Почему для нечётных должно получаться другое значение?

Сообщение от Andreyphisicist

И если для четных n = 2m, то для нечетных должно быть n=2m + 1 , а не n = m(m+1)

Да, кончено. У меня там знак "+" пропущен (опечатка).
C(m+(m+1)) = C(m) + C(m+1) + 1 = 2m - 1 + 2(m+1) - 1 + 1 = 2(m+(m+1)) - 1 = 2n - 1

@Andreyphisicist · 14.07.2015, 09:06 **[ТС]**

Сообщение от Shamil1

Для чётных n = 2m:
С(2m) = 2C(m) + 1 = 2(2m - 1) + 1 = 2*2m - 1 = 2n - 1

Объясните пожалуйста, что Вы этим доказываете?

Я так понимаю, вы сначала делаете предположение, что C(n) = 2n -1 . Далее для четных n=2m, получаете, что
C(2m) = 4m - 1; C(m) = 2m - 1;

И далее подставляя в выражение, получаете:

С(2m) = 2C(m) + 1 = 2(2m - 1) + 1 = 2*2m - 1 = 2n - 1

Я просто не могу понять, что Вы этим доказываете?

Я также могу предположить, что C(n) = 4n - 1 и для четных n = 2m, получу следующее:

С(2m) = 2C(m) + 1 = 2(4m - 1) + 1 = 4*2m - 1 = 4n - 1

Для нечетных n = m + (m + 1)

C(m+(m+1)) = C(m) + C(m+1) + 1 = 4m - 1 + 4(m+1) - 1 + 1 = 4(m+(m+1)) - 1 = 4n - 1

Это же не означает, что C(n) = 4n -1. Правильно? Или нет?

Если мы хотим доказать, что C(n) = 2n -1, то нельзя же использовать это значение для рассчитывания правой части.

@Shamil1 · 14.07.2015, 15:08

https://ru.wikipedia.org/wiki/... я_индукция

@Andreyphisicist · 14.07.2015, 16:43 **[ТС]**

Ну я вроде понял. Т.е. по идее решение, которое я выше написал C(n) = 4n - 1 не подходит, т.к. оно не удовлетворяет
начальному условию С(1) = 1. Правильно я понимаю?

И вот еще у меня есть вопрос.
Насколько я понял, при доказательстве методом математической индукции, мы должны доказать, что выполняется какое-то равенство при n + 1. Получается мы должны доказать равенство для четных при n=2m + 1, а для нечетных при n = (2m + 1) + 1. Разве нет?

@Shamil1 · 14.07.2015, 18:45

Сообщение от Andreyphisicist

Т.е. по идее решение, которое я выше написал C(n) = 4n - 1 не подходит, т.к. оно не удовлетворяет
начальному условию С(1) = 1. Правильно я понимаю?

Правильно.

Сообщение от Andreyphisicist

мы должны доказать, что выполняется какое-то равенство при n + 1

Мы должны доказать, что если равенство выполняется для всех меньших значений, то оно выполнится и для данного. Можно выводить истинность для n + 1 из истинности для всех k <= n, а можно выводить для n из истинности для всех k < n.

В данном конкретном случае различие между чётными и нечётными появляется из-за того, что мы по-разному разбиваем массивы на две части для чётных и нечётных n. (для чётных части одинаковые, а для нечётных - разные).

@Andreyphisicist · 15.07.2015, 08:04 **[ТС]**

Сообщение от Shamil1

Мы должны доказать, что если равенство выполняется для всех меньших значений, то оно выполнится и для данного. Можно выводить истинность для n + 1 из истинности для всех k <= n, а можно выводить для n из истинности для всех k < n.

Понятно. Просто во всех примеры, которые я смотрел по мат. индукции доказывалось равенство для n + 1.

И вот еще один вопрос.

Сообщение от Shamil1

C(m+(m+1)) = C(m) + C(m+1) + 1 = 2m - 1 + 2(m+1) - 1 + 1 = 2(m+(m+1)) - 1 = 2n - 1

В данном равенстве я не могу понять как вы получили данную строчку C(m+(m+1)) = C(m) + C(m+1) + 1. Можете объяснить.

Должно же быть так C(m+(m+1)) = 2C(m+(m+1)/2) + 1.

Кстати, Спасибо что помогаете мне разобраться)

@Shamil1 · 15.07.2015, 16:46

Сообщение от Andreyphisicist

В данном равенстве я не могу понять как вы получили данную строчку C(m+(m+1)) = C(m) + C(m+1) + 1. Можете объяснить.

Мы разбиваем массив длинной m+(m+1) на две части: длинной m и длинной m+1.
Стоимость нашей функции складывается из стоимости двух рекурсивных вызовов для этих частей и стоимости сравнения в строке 10 (temp1 >= temp2).

Для чётных аналогично:
C(m+m) = C(m) + C(m) + 1
или эквивалентно:
C(2m) = 2C(m) + 1

@Andreyphisicist · 15.07.2015, 17:12 **[ТС]**

Ну да, вроде все логично) Все понятно теперь.

Я Вам наверно надоел уже с этой задачей) Спасибо большое за помощь)

@Andreyphisicist · 18.07.2015, 09:29 **[ТС]**

У меня возник один важный вопрос. Помогите пожалуйста разобраться. Вот смотрите, мы получили формулу
C(n) = 2n -1 для каких сравнений?

Для

Code
1
 temp1 >= temp2

или для

Code
1
 l=r

Я просто что-то запутался. Если выполнить обычную проверку и подставить, например, n = 2, то получится что

сравнений temp1 >= temp2 будет один, а сравнений l=r будет 3.

Если подставить n = 4, то получится, что

сравнений temp1 >= temp2 будет 3, а сравнений l=r будет 7.

Таким образом, получается, что мы получили формулу C(n) = 2n -1 именно для сравнений l=r. Я правильно понимаю?

Мы же брали в качестве базовой операции - операцию сравнения temp1 >= temp2. Правильно? Если брать ее в качестве базовой операции, то получится, что начальное условие должно быть равно C(1) = 0 , ведь при n = 1 сравнение temp1 >= temp2 не производится.

@Shamil1 · 18.07.2015, 22:32

Посчитайте.
C(1) = 1
C(2m) = 1 + C(m) + C(m) + 1

@Andreyphisicist · 19.07.2015, 15:54 **[ТС]**

Вот смотрите, что я хочу понять. Раз C(1) = 1, то получается, что мы в качестве базовой операции взяли операцию сравнения l == r, а не temp1 >= temp2.

И по данной формуле C(n) = 2n -1 мы рассчитываем имеено число сравнений l == r . Я правильно понимаю?

@Shamil1 · 19.07.2015, 22:48

Вы сами выбираете, что считать. Как решите, так и будет.

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Первый деплой lagorue 16.01.2026 Не спеша развернул своё 1ое приложение в kubernetes. А дальше мне интересно создать 1фронтэнд приложения и 2 бэкэнд приложения развернуть 2 деплоя в кубере получится 2 сервиса и что-бы они. . .	Расчёт переходных процессов в цепи постоянного тока igorrr37 16.01.2026 / * Дана цепь постоянного тока с R, L, C, k(ключ), U, E, J. Программа составляет систему уравнений по 1 и 2 законам Кирхгофа, решает её и находит токи на L и напряжения на C в установ. режимах до и. . .	Восстановить юзерскрипты Greasemonkey из бэкапа браузера damix 15.01.2026 Если восстановить из бэкапа профиль Firefox после переустановки винды, то список юзерскриптов в Greasemonkey будет пустым. Но восстановить их можно так. Для этого понадобится консольная утилита. . .	Изучаю kubernetes lagorue 13.01.2026 А пригодятся-ли мне знания kubernetes в России?
Сукцессия микоризы: основная теория в виде двух уравнений. anaschu 11.01.2026 https:/ / rutube. ru/ video/ 7a537f578d808e67a3c6fd818a44a5c4/	WordPad для Windows 11 Jel 10.01.2026 WordPad для Windows 11 — это приложение, которое восстанавливает классический текстовый редактор WordPad в операционной системе Windows 11. После того как Microsoft исключила WordPad из. . .	Classic Notepad for Windows 11 Jel 10.01.2026 Old Classic Notepad for Windows 11 Приложение для Windows 11, позволяющее пользователям вернуть классическую версию текстового редактора «Блокнот» из Windows 10. Программа предоставляет более. . .	Почему дизайн решает? Neotwalker 09.01.2026 В современном мире, где конкуренция за внимание потребителя достигла пика, дизайн становится мощным инструментом для успеха бренда. Это не просто красивый внешний вид продукта или сайта — это. . .

@Shamil1 Модератор 3134 / 2281 / 469 Регистрация: 26.03.2015 Сообщений: 8,877
	12.07.2015, 13:11
	а) Иначе Ваш код зацикливается (бесконечный цикл) В строке 8 надо (l+r)/2+1 в) Для чётных n: C(n) = 2 * C(n/2) + 1 C(1) = 1 // сравнение верхней и нижней границ, а не самих элементов C(n) = 2n - 1 // строго не доказывал, могу ошибиться г) Алгоритм на основе грубой силы имеет тот же класс эффективности n, но требует примерно в 2 раза меньше сравнений // из-за того, что в декомпозиционном алгоритме мы постоянно сравниваем границы (l==r) 0

@Andreyphisicist 0 / 0 / 0 Регистрация: 24.02.2015 Сообщений: 29
	12.07.2015, 15:41 [ТС]
	Я вот только не могу понять почему в данной формуле вы написали + 1. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C(n) = 2 * C(n/2) + 1$ Я вычислял эффективность согласно формуле, которая представлена на рисунке ниже. Согласно данной формуле $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(n) = n - 1$ Разве нет? f(n) это же есть сравнение решений двух подзадач. И общее количество сравнений равно n - 1. Или может я что-то не так понимаю. Миниатюры 0

@Shamil1 Модератор 3134 / 2281 / 469 Регистрация: 26.03.2015 Сообщений: 8,877
	12.07.2015, 15:55
	Разделение задач у нас бесплатное (без сравнений), а для композиции требуется одно сравнение (temp1 >= temp2), независимо от размеров подмассивов. Поэтому f(n) = 1 0

@Andreyphisicist 0 / 0 / 0 Регистрация: 24.02.2015 Сообщений: 29
	12.07.2015, 17:56 [ТС]
	Ну да, Вы скорее всего правы. Тогда получается $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C(n) = 2C(n/2) + 1<br /> C(1)=1<br />$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C(n) = 2C(n/2) + 1 = 2(2C(n/4)+1)+1 = 4C(n/4)+2+1 = 4(2C(n/8)+1)+2+1=8C(n/8)+4+2+1 =<br /> <br /> = 2^i C(n/2^i) + {2}^{i-1} + {2}^{i-2} + ... + 2 + 1 = 2^i C(n/2^i) + 2^i - 1$ Пусть $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n=2^k$ . Тогда $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C(2^k)=2^i C({2}^{k-i}) + 2^i - 1$ Исходя из начальных условий $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{2}^{k-i} = 2^0$ Значит $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?k=i$ Таким образом: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C(2^k) = 2^k + 2^k - 1 = 22^k - 1 <br /> <br /> C(n) = 2{2}^{log_2 n} - 1 = 2n -1$ Посмотрите пожалуйста, вроде должно быть правильно. 0

@Shamil1 Модератор 3134 / 2281 / 469 Регистрация: 26.03.2015 Сообщений: 8,877
	12.07.2015, 18:43
	Вы доказываете только для степеней двойки... Используя метод математической индукции: 1. Проверяем для n = 1: C(1) = 1 = 2n - 1 2. Предположим, что для всех k < n выполняется C(k) = 2k - 1 Для чётных n = 2m: С(2m) = 2C(m) + 1 = 2(2m - 1) + 1 = 2*2m - 1 = 2n - 1 Для нечётных n = m(m+1): C(m(m+1)) = C(m) + C(m+1) + 1 = 2m - 1 + 2(m+1) - 1 + 1 = 2m(m+1) - 1 = 2n - 1 0

@Shamil1 Модератор 3134 / 2281 / 469 Регистрация: 26.03.2015 Сообщений: 8,877
	14.07.2015, 15:08
	https://ru.wikipedia.org/wiki/... я_индукция 0

@Andreyphisicist 0 / 0 / 0 Регистрация: 24.02.2015 Сообщений: 29
	14.07.2015, 16:43 [ТС]
	Ну я вроде понял. Т.е. по идее решение, которое я выше написал C(n) = 4n - 1 не подходит, т.к. оно не удовлетворяет начальному условию С(1) = 1. Правильно я понимаю? И вот еще у меня есть вопрос. Насколько я понял, при доказательстве методом математической индукции, мы должны доказать, что выполняется какое-то равенство при n + 1. Получается мы должны доказать равенство для четных при n=2m + 1, а для нечетных при n = (2m + 1) + 1. Разве нет? 0

@Andreyphisicist 0 / 0 / 0 Регистрация: 24.02.2015 Сообщений: 29
	15.07.2015, 17:12 [ТС]
	Ну да, вроде все логично) Все понятно теперь. Я Вам наверно надоел уже с этой задачей) Спасибо большое за помощь) 0

@Shamil1 Модератор 3134 / 2281 / 469 Регистрация: 26.03.2015 Сообщений: 8,877
	18.07.2015, 22:32
	Посчитайте. C(1) = 1 C(2m) = 1 + C(m) + C(m) + 1 0

@Andreyphisicist 0 / 0 / 0 Регистрация: 24.02.2015 Сообщений: 29
	19.07.2015, 15:54 [ТС]
	Вот смотрите, что я хочу понять. Раз C(1) = 1, то получается, что мы в качестве базовой операции взяли операцию сравнения l == r, а не temp1 >= temp2. И по данной формуле C(n) = 2n -1 мы рассчитываем имеено число сравнений l == r . Я правильно понимаю? 0

@Shamil1 Модератор 3134 / 2281 / 469 Регистрация: 26.03.2015 Сообщений: 8,877
	19.07.2015, 22:48
	Вы сами выбираете, что считать. Как решите, так и будет. 0