Декомпозиционный алгоритм для вычисления a^n

@Andreyphisicist · Регистрация: 24.02.2015

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Добрый вечер, помогите пожалуйста разобраться с одной задачкой. Задачка из книги А.Левитина "Алгоритмы:Введение в разработку".

Задачка 4.1.3.

а) Напишите псевдокод декомпозиционного алгоритма для вычисления $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a^n$ , где a > 0, а n - натуральное число.

б) Напишите и решите (для $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n=2^k)$ рекуррентное соотношение для количества умножений, выполняемых алгоритмом.

в) Сравните созданный вами алгоритм с алгоритмом для решения указанной задачи, основаннным на грубой силе.

Вот псевдокод алгоритма:

Алгоритм Stepen (a, n)

Code
1
2
3
4
5
6
7
8
if n == 1
   return 1
 
else 
   temp1 = stepen (a, n/2) * a
   temp2 = stepen (a, n/2) * a
 
return temp1*temp2

б) Рекуррентное соотношение для количества умножений: M(n) = 2M(n\2) + 1
На основании основной теоремы можно сделать вывод, что данный алгоритм принадлежит к классу линейных алгоритмов.

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?M(n) \in \Theta (n)$

А правильнее будет записать M(n) = 2M(n\2) + 1 или M(n) = 2M(n\2) + 3 ? Выполнятеся же 3 операции умножения, а не одна.

в) Алгоритм на основе грубой силы является также линейным и более эффективным, поскольку в декомпозиционном алгоритме кроме операций умножения выполняются еще примерно 2n - 1 операции сравнения.

@Shamil1 · 17.07.2015, 19:24

Откуда псевдокод? Что-то он мне не нравится.

@Andreyphisicist · 18.07.2015, 08:58 **[ТС]**

Ну я его сам написал) Так что вполне возможно, что он неправильный. Я его проверял и вроде получался верный ответ.

Добавлено через 31 минуту
Подскажите что не так.

@Mysterious Light · 18.07.2015, 16:05

Для проверки корректности алгоритма достаточно его записать на каком-то удобном/любимом языке и запустить на разных входных данных.

В строчках 5-6, где происходит деление n/2, что будет, если число n окажется нечётным?
Сразу предположу, что деление использовалось целочисленное, в частности, 3/2=1. Тогда алгоритм для нечётных чисел вида 2k+1 выдаст тот же результат, что и для чётных вида 2k, в частоности, n=3 и n=2 алгоритм не различит, как и n=5 и n=4.
Кроме этого,
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \mathrm{stepen}(a,n) = a^2\,\cdot\,\mathrm{stepen}(a,n/2)^2, \quad n>1 $
не выполняется, если хотим, чтобы stepen(a,n) = a^n.

Просто как пример:

Code
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
power(a, n):
 
if n == 0
  return 1
else
  (k, m) = divmod(n, 2) // n = 2*k + m
  t = power(a, k)
  t2 = t * t
  if m == 0
    return t2
  else return t2 * a

Число умножений:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?T(n) = \begin{cases} 0, \quad n = 0, \\ T(k) + 1, \; n = 2k, \\ T(k) + 2,\; n = 2k+1. \end{cases}$
T(0)=0, T(1)=2, T(2)=3, T(3)=4, T(4)=4, T(5)=5, T(6)=5, T(7)=6, T(8)=6, T(9)=7, T(10)=6, T(11)=7, ...
Предположение: пусть — нормальное (без ведущих нулей) представление числа n в двоичной системе; тогда — число цифр + сумма цифр.
Число цифр оценивается как , сумма цифр удовлетворяет
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?0\leq \sum_i a_i \leq p$
Таким образом,

P.S. алгоритм грубой силы во всех задачах не быстрее (ассимптотически) декомпозиционного.

@Andreyphisicist · 18.07.2015, 18:11 **[ТС]**

Да, Вы правы для нечетных получается неправильное значение.

Сначала кое-что спрошу по Вашему алгоритму, а потом уже перейду к своему.

Мне показалось Ваше доказательство класса эффективности алгоритма каким-то сложным. Можно проще сделать.

Записать T(n) = T(n/2) + 1 ; T(0) = 0. И решить данное рекуррентное соотношение для n = 2^k . Получить

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?T(n) \in \Theta (log n) .$

И сказать, что данный порядок роста можно с очень высокой степенью приближенности считать правильным для всех значений n (для четных и нечетных).

Правильно я понимаю? Можно же так сделать.

Теперь по моему алгоритму.
Вот псевдокод

Code
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
if n == 0
   return 1
else 
   temp1 = stepen (a, n/2)
   temp2 = stepen (a, n/2)
 
   if n mod 2 == 0
      return temp1*temp2
   else
      return temp1*temp2*a

Теперь анализ эффективности алгоритма.
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?M(n) = 2M(n/2) + 1$

Таким образом, на основании основной теоремы можно сделать вывод, что данный алгоритм принадлежит к классу линейных алгоритмов.
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?M(n) \in \Theta (n)$

Так вроде правильно? Как считаете?

@Andreyphisicist · 18.07.2015, 21:17 **[ТС]**

Вот пример из книги Левитина, где говорится про то, что можно рассмотреть случай для n = 2^k и считать порядок роста функции правильным с очень высокой степенью приближенности для всех значений n

@Shamil1 · 18.07.2015, 22:39

Мы возводим число в степень n.
Соответственно для чётных n:
f(n) = f(n/2) * f(n/2) // тут f(n/2) нужно вычислять только один раз
Для нечётных n:
f(n) = a * f(n-1)

@Andreyphisicist · 19.07.2015, 16:17 **[ТС]**

Сообщение от Shamil1

Соответственно для чётных n:
f(n) = f(n/2) * f(n/2) // тут f(n/2) нужно вычислять только один раз
Для нечётных n:
f(n) = a * f(n-1)

Если сделать так, то это же будет не декомпозиционный алгоритм.
Согласно определению из книги декомпозиционный алгоритм - это алгоритм при котором задача разбивается на несколько меньших экземпляров той же задачи и затем находится решение каждого из экземпляров.
Ну и в книге в качестве примера приводится сортировка слиянием, быстрая сортировка.

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
http://iceja.net/ математические сервисы iceja 20.01.2026 Обновила свой сайт http:/ / iceja. net/ , приделала Fast Fourier Transform экстраполяцию сигналов. Однако предсказывает далеко не каждый сигнал (см ограничения http:/ / iceja. net/ fourier/ docs ). Также. . .	http://iceja.net/ сервер решения полиномов iceja 18.01.2026 Выкатила http:/ / iceja. net/ сервер решения полиномов (находит действительные корни полиномов методом Штурма). На сайте документация по API, но скажу прямо VPS слабенький и 200 000 полиномов. . .	Расчёт переходных процессов в цепи постоянного тока igorrr37 16.01.2026 / * Дана цепь постоянного тока с R, L, C, k(ключ), U, E, J. Программа составляет систему уравнений по 1 и 2 законам Кирхгофа, решает её и находит: токи, напряжения и их 1 и 2 производные при t = 0;. . .	Восстановить юзерскрипты Greasemonkey из бэкапа браузера damix 15.01.2026 Если восстановить из бэкапа профиль Firefox после переустановки винды, то список юзерскриптов в Greasemonkey будет пустым. Но восстановить их можно так. Для этого понадобится консольная утилита. . .
Сукцессия микоризы: основная теория в виде двух уравнений. anaschu 11.01.2026 https:/ / rutube. ru/ video/ 7a537f578d808e67a3c6fd818a44a5c4/	WordPad для Windows 11 Jel 10.01.2026 WordPad для Windows 11 — это приложение, которое восстанавливает классический текстовый редактор WordPad в операционной системе Windows 11. После того как Microsoft исключила WordPad из. . .	Classic Notepad for Windows 11 Jel 10.01.2026 Old Classic Notepad for Windows 11 Приложение для Windows 11, позволяющее пользователям вернуть классическую версию текстового редактора «Блокнот» из Windows 10. Программа предоставляет более. . .	Почему дизайн решает? Neotwalker 09.01.2026 В современном мире, где конкуренция за внимание потребителя достигла пика, дизайн становится мощным инструментом для успеха бренда. Это не просто красивый внешний вид продукта или сайта — это. . .

@Shamil1 Модератор 3134 / 2281 / 469 Регистрация: 26.03.2015 Сообщений: 8,877
	17.07.2015, 19:24
	Откуда псевдокод? Что-то он мне не нравится. 0

@Andreyphisicist 0 / 0 / 0 Регистрация: 24.02.2015 Сообщений: 29
	18.07.2015, 08:58 [ТС]
	Ну я его сам написал) Так что вполне возможно, что он неправильный. Я его проверял и вроде получался верный ответ. Добавлено через 31 минуту Подскажите что не так. 0

@Andreyphisicist 0 / 0 / 0 Регистрация: 24.02.2015 Сообщений: 29
	18.07.2015, 21:17 [ТС]
	Вот пример из книги Левитина, где говорится про то, что можно рассмотреть случай для n = 2^k и считать порядок роста функции правильным с очень высокой степенью приближенности для всех значений n Миниатюры 0

@Shamil1 Модератор 3134 / 2281 / 469 Регистрация: 26.03.2015 Сообщений: 8,877
	18.07.2015, 22:39
	Мы возводим число в степень n. Соответственно для чётных n: f(n) = f(n/2) * f(n/2) // тут f(n/2) нужно вычислять только один раз Для нечётных n: f(n) = a * f(n-1) 0