Длина числа возведнного в степень

//////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
//Как определить сколько цифр будет в результате возведения а в степень х?
//Нужно отфильтровать числа, результат возведения в степень которых 
//превышает 1000 разрядов(цифр)
//количество цифр а и х известно 
//////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <ctime>
#include <iostream>
#include <sstream>
#include <string>
//////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
typedef long long  T_num;
//////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
T_num  generate_not_zero_num()
{
    const T_num  MOD = 15;
    T_num  res = 0;
    while(!res)
    {
        res = rand() % MOD;
    }
    return  res;
}
//////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
T_num  length_theor_a_x(T_num  a, T_num  x)
{
    //Умножаем десятичный логарифм a на x, результат округляем вниз до целого 
    //и прибавляем единицу.
    return  T_num(floor(log10(double(a)) * x)) + 1;
}
//////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
T_num  length_pract(T_num  a_x)
{
    std::ostringstream  sout;
    sout << a_x;
    return  sout.str().size();
}
//////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
int main()
{
    srand(static_cast<unsigned>(time(0)));
    
    T_num  a    = generate_not_zero_num();
    T_num  x    = generate_not_zero_num();
    T_num  a_x  = T_num(pow(double(a), double(x)));
    std::cout << "a = "
              << a
              << std::endl
              << "x = "
              << x
              << std::endl
              << "a_x = "
              << a_x
              << std::endl
              << "len_pract    = "
              << length_pract(a_x)
              << std::endl
              << "length_theor = "
              << length_theor_a_x(a, x)
              << std::endl
              << "len_diff     = "
              << length_theor_a_x(a, x) - length_pract(a_x)
              << std::endl;
}