Алгоритм расчета двойного суммирования с бесконечным пределом

@tumanovalex · Регистрация: 09.07.2009

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Расчет по указанной на прикрепленном рисунке формуле можно прекратить, если рассчитанное по формуле значение для каждого из ai менее 0.00001 (ai известно и берется из строки таблицы). Мне не понятно, когда нужно прекратить расчет по внутренней сумме и начать увеличивать значения m внешней суммы. Помогите, пожалуйста, разобраться.

@Mikhaylo · 12.03.2023, 09:46

Посчитайте по эквивалентной формуле, нехитрое преобразование:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?e^{-a_i} \cdot \sum_{m=1}^\infty \bigl\{ \sum_{y=n+1}^\infty \frac{a_i^y}{y!} - \sum_{y=n+1}^{(m-1)(n+1)} \frac{a_i^y}{y!} \bigr\}$

В новом выражении внутренняя сумма рассыпалась на две суммы. Одна сумма не содержит бесконечностей. Вторя с бесконечностью, но не зависит от m.

Добавлено через 8 минут
Еще необходимые преобразования, экспоненту заносим под знаки сумм
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \sum_{m=1}^\infty \bigl\{ \sum_{y=n+1}^\infty \frac{e^{-a_i} \cdot a_i^y}{y!} - \sum_{y=n+1}^{(m-1)(n+1)} \frac{e^{-a_i} \cdot a_i^y}{y!} \bigr\}$

Добавлено через 9 минут
Еще умное соображение: хоть формула и содержит бесконечность, но по факту счет идет только до некоторого m = M. Мы хоть и не знаем M заранее, но запишем как будто знаем
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \sum_{m=1}^M \bigl\{ \sum_{y=n+1}^\infty \frac{e^{-a_i} \cdot a_i^y}{y!} - \sum_{y=n+1}^{(m-1)(n+1)} \frac{e^{-a_i} \cdot a_i^y}{y!} \bigr\}$
тогда можно преобразовать так
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? M \cdot \sum_{y=n+1}^\infty \frac{e^{-a_i} \cdot a_i^y}{y!} - \sum_{m=1}^M \sum_{y=n+1}^{(m-1)(n+1)} \frac{e^{-a_i} \cdot a_i^y}{y!}$

Добавлено через 30 минут
Перебираем M = 1, 2, 3, 4... пока не найдем его, т.е. пока результат не станет меньше 0.00001
Эта штука считается без проблем:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S2 = \sum_{m=1}^M \sum_{y=n+1}^{(m-1)(n+1)} \frac{e^{-a_i} \cdot a_i^y}{y!}$

А здесь бесконечность
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S1 = \sum_{y=n+1}^\infty \frac{e^{-a_i} \cdot a_i^y}{y!}$

Наше условие остановки
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?M \cdot S1 - S2 < 0.00001$

Сумму S1 считаем же тоже не до бесконечности, а до некоторого Y, до тех пор, пока не нарушится условие
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? S1 < \frac{0.00001 + S2}{M}$
То есть пока не станет верным ровно противоположное
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S1 \geq \frac{0.00001 + S2}{M}$

Итого
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? M \cdot \sum_{y=n+1}^Y \frac{e^{-a_i} \cdot a_i^y}{y!} - \sum_{m=1}^M \sum_{y=n+1}^{(m-1)(n+1)} \frac{e^{-a_i} \cdot a_i^y}{y!}$
где во внешнем цикле M перебирается 1, 2, 3, 4, ...
а во внутреннем цикле Y перебирается n+1, n+2, n+3, ...
По условию $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S1 \geq \frac{0.00001 + S2}{M}$ останавливаем расчет и выходим из обоих циклов.

Добавлено через 6 минут
Найдите ошибку в моих рассуждениях.

Добавлено через 43 минуты
Ладно, я сам нашел ошибку, сейчас распишу...
1.
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S1(Y) = \sum_{y=n+1}^Y \frac{e^{-a_i} \cdot a_i^y}{y!}$

Рекурсивная формула
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S1(Y+1) = \sum_{y=n+1}^{Y+1} \frac{e^{-a_i} \cdot a_i^y}{y!} = S1(Y) + \frac{e^{-a_i} \cdot a_i^(Y+1)}{(Y+1)!}$

Стартуем со значения
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S1(n+1) = \frac{e^{-a_i} \cdot a_i^(n+1)}{(n+1)!}$

И останавливаем по условию
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S1(Y) \geq \frac{0.00001 + S2}{M}$

При этом мы выходим из внутреннего цикла Y во внешний цикл M, но в следующий раз продолжаем с того Y и S(Y), на котором остановились.

2.

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S(M, S1) = M \cdot S1(Y) - \sum_{m=1}^M \sum_{y=n+1}^{(m-1)(n+1)} \frac{e^{-a_i} \cdot a_i^y}{y!}$

Тогда
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S(M+1, S1) = (M+1) \cdot S1(Y) - \sum_{m=1}^{M+1} \sum_{y=n+1}^{(m-1)(n+1)} \frac{e^{-a_i} \cdot a_i^y}{y!} = S(M, S1) + S1(Y) - \sum_{y=n+1}^{M(n+1)} \frac{e^{-a_i} \cdot a_i^y}{y!}$

Стартуем расчет со значений
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? S(1, S1) = S1(Y)$

Добавлено через 4 минуты
Еще можно рекурсивной формулой записать сумму S2. Если башка работает и все понятно, то ничего тут сложного не осталось. Будут вопросы, задавайте.

@Mikhaylo · 12.03.2023, 20:02

Нашлось еще немного времени.

Сообщение от Mikhaylo

Еще можно рекурсивной формулой записать сумму S2.

Немного неточно сказал, будем рекурсивной формулой записывать немного другую сумму

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S3(M) = \sum_{y=n+1}^{M(n+1)} \frac{e^{-a_i} \cdot a_i^y}{y!} = S1(M \cdot (n+1))$

Подставим в основную нашу рекурсию
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S(M+1, S1) = S(M, S1) + S1(Y) - S1(M \cdot (n+1)) = S(M, S1) + \left\{ \begin{array} \sum_{y=Y}^{M(n+1)} \frac{e^{-a_i} \cdot a_i^y}{y!}, \qquad Y \geq M(n+1) \\ -\sum_{y=M(n+1)}^Y \frac{e^{-a_i} \cdot a_i^y}{y!}, \qquad otherwise \\ \end{array} \right. \qquad = = S(M, S1) + (-1)^{Y \geq M(n+1)} \qquad \sum_{y=min(Y, M(n+1))}^{max(Y, M(n+1))} \frac{e^{-a_i} \cdot a_i^y}{y!}$

Где ошибка?)

Добавлено через 5 минут
Короче, вывод такой: если Y начинает превышать M(n+1), то сумма S(M+1, S1) начинает увеличиваться относительно S(M, S1) и дальше считать нет смысла.

@tumanovalex · 23.03.2023, 15:50 **[ТС]**

Спасибо большое за желание помочь. В математике разбираюсь плохо, постараюсь осмыслить и при необходимости задать вопросы. Хотел бы также узнать, в какой программе Вы делаете такие красивые формулы.

@Mikhaylo · 23.03.2023, 22:56

BB-код LATEX прямо здесь на форуме позволяет писать любые формулы. Процитируйте любое мое сообщение и увидите.

@tumanovalex · 27.03.2023, 12:41 **[ТС]**

Я прошу прощения за бестолковость, но не нашел, как сделать цитирование.

@Mikhaylo · 27.03.2023, 12:50

Вот эта маленькая кнопка под моим сообщением:
https://cyberstatic.net/images... te_off.gif

Потом нажмите "Ответить".

@Shamil1 · 27.03.2023, 16:39

Например,
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S3(M) = \sum_{y=n+1}^{M(n+1)} \frac{e^{-a_i} \cdot a_i^y}{y!} = S1(M \cdot (n+1))$
так:

Code
1
[LATEX]S3(M) =  \sum_{y=n+1}^{M(n+1)}  \frac{e^{-a_i} \cdot a_i^y}{y!} = S1(M \cdot (n+1))[/LATEX]

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Thinkpad X220 Tablet — это лучший бюджетный ноутбук для учёбы, точка. Programma_Boinc 23.12.2025 Thinkpad X220 Tablet — это лучший бюджетный ноутбук для учёбы, точка. Рецензия / Мнение/ Перевод https:/ / **********/ gallery/ thinkpad-x220-tablet-porn-gzoEAjs . . .	PhpStorm 2025.3: WSL Terminal всегда стартует в ~ and_y87 14.12.2025 PhpStorm 2025. 3: WSL Terminal всегда стартует в ~ (home), игнорируя директорию проекта Симптом: После обновления до PhpStorm 2025. 3 встроенный терминал WSL открывается в домашней директории. . .	Как объединить две одинаковые БД Access с разными данными VikBal 11.12.2025 Помогите пожалуйста !! Как объединить 2 одинаковые БД Access с разными данными.	Новый ноутбук volvo 07.12.2025 Всем привет. По скидке в "черную пятницу" взял себе новый ноутбук Lenovo ThinkBook 16 G7 на Амазоне: Ryzen 5 7533HS 64 Gb DDR5 1Tb NVMe 16" Full HD Display Win11 Pro	Музыка, написанная Искусственным Интеллектом volvo 04.12.2025 Всем привет. Некоторое время назад меня заинтересовало, что уже умеет ИИ в плане написания музыки для песен, и, собственно, исполнения этих самых песен. Стихов у нас много, уже вышли 4 книги, еще 3. . .
От async/await к виртуальным потокам в Python IndentationError 23.11.2025 Армин Ронахер поставил под сомнение async/ await. Создатель Flask заявляет: цветные функции - провал, виртуальные потоки - решение. Не threading-динозавры, а новое поколение лёгких потоков. Откат?. . .	Поиск "дружественных имён" СОМ портов Argus19 22.11.2025 Поиск "дружественных имён" СОМ портов На странице: https:/ / norseev. ru/ 2018/ 01/ 04/ comportlist_windows/ нашёл схожую тему. Там приведён код на С++, который показывает только имена СОМ портов, типа,. . .	Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Programma_Boinc 20.11.2025 Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Вот решила сделать интересный приблизительный подсчет, сколько государство потратило на меня денег на покупку инсулинов. . . .	Ломающие изменения в C#.NStar Alpha Etyuhibosecyu 20.11.2025 Уже можно не только тестировать, но и пользоваться C#. NStar - писать оконные приложения, содержащие надписи, кнопки, текстовые поля и даже изображения, например, моя игра "Три в ряд" написана на этом. . .	Мысли в слух kumehtar 18.11.2025 Кстати, совсем недавно имел разговор на тему медитаций с людьми. И обнаружил, что они вообще не понимают что такое медитация и зачем она нужна. Самые базовые вещи. Для них это - когда просто люди. . .

@tumanovalex 95 / 15 / 3 Регистрация: 09.07.2009 Сообщений: 884

	Алгоритм расчета двойного суммирования с бесконечным пределом 09.03.2023, 17:43. Показов 740. Ответов 7 Метки нет (Все метки) Расчет по указанной на прикрепленном рисунке формуле можно прекратить, если рассчитанное по формуле значение для каждого из ai менее 0.00001 (ai известно и берется из строки таблицы). Мне не понятно, когда нужно прекратить расчет по внутренней сумме и начать увеличивать значения m внешней суммы. Помогите, пожалуйста, разобраться. Миниатюры 0

@Mikhaylo 698 / 572 / 75 Регистрация: 20.09.2014 Сообщений: 3,700
	12.03.2023, 09:46
	Посчитайте по эквивалентной формуле, нехитрое преобразование: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?e^{-a_i} \cdot \sum_{m=1}^\infty \bigl\{ \sum_{y=n+1}^\infty \frac{a_i^y}{y!} - \sum_{y=n+1}^{(m-1)(n+1)} \frac{a_i^y}{y!} \bigr\}$ В новом выражении внутренняя сумма рассыпалась на две суммы. Одна сумма не содержит бесконечностей. Вторя с бесконечностью, но не зависит от m. Добавлено через 8 минут Еще необходимые преобразования, экспоненту заносим под знаки сумм $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \sum_{m=1}^\infty \bigl\{ \sum_{y=n+1}^\infty \frac{e^{-a_i} \cdot a_i^y}{y!} - \sum_{y=n+1}^{(m-1)(n+1)} \frac{e^{-a_i} \cdot a_i^y}{y!} \bigr\}$ Добавлено через 9 минут Еще умное соображение: хоть формула и содержит бесконечность, но по факту счет идет только до некоторого m = M. Мы хоть и не знаем M заранее, но запишем как будто знаем $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \sum_{m=1}^M \bigl\{ \sum_{y=n+1}^\infty \frac{e^{-a_i} \cdot a_i^y}{y!} - \sum_{y=n+1}^{(m-1)(n+1)} \frac{e^{-a_i} \cdot a_i^y}{y!} \bigr\}$ тогда можно преобразовать так $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? M \cdot \sum_{y=n+1}^\infty \frac{e^{-a_i} \cdot a_i^y}{y!} - \sum_{m=1}^M \sum_{y=n+1}^{(m-1)(n+1)} \frac{e^{-a_i} \cdot a_i^y}{y!}$ Добавлено через 30 минут Перебираем M = 1, 2, 3, 4... пока не найдем его, т.е. пока результат не станет меньше 0.00001 Эта штука считается без проблем: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S2 = \sum_{m=1}^M \sum_{y=n+1}^{(m-1)(n+1)} \frac{e^{-a_i} \cdot a_i^y}{y!}$ А здесь бесконечность $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S1 = \sum_{y=n+1}^\infty \frac{e^{-a_i} \cdot a_i^y}{y!}$ Наше условие остановки $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?M \cdot S1 - S2 < 0.00001$ Сумму S1 считаем же тоже не до бесконечности, а до некоторого Y, до тех пор, пока не нарушится условие $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? S1 < \frac{0.00001 + S2}{M}$ То есть пока не станет верным ровно противоположное $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S1 \geq \frac{0.00001 + S2}{M}$ Итого $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? M \cdot \sum_{y=n+1}^Y \frac{e^{-a_i} \cdot a_i^y}{y!} - \sum_{m=1}^M \sum_{y=n+1}^{(m-1)(n+1)} \frac{e^{-a_i} \cdot a_i^y}{y!}$ где во внешнем цикле M перебирается 1, 2, 3, 4, ... а во внутреннем цикле Y перебирается n+1, n+2, n+3, ... По условию $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S1 \geq \frac{0.00001 + S2}{M}$ останавливаем расчет и выходим из обоих циклов. Добавлено через 6 минут Найдите ошибку в моих рассуждениях. Добавлено через 43 минуты Ладно, я сам нашел ошибку, сейчас распишу... 1. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S1(Y) = \sum_{y=n+1}^Y \frac{e^{-a_i} \cdot a_i^y}{y!}$ Рекурсивная формула $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S1(Y+1) = \sum_{y=n+1}^{Y+1} \frac{e^{-a_i} \cdot a_i^y}{y!} = S1(Y) + \frac{e^{-a_i} \cdot a_i^(Y+1)}{(Y+1)!}$ Стартуем со значения $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S1(n+1) = \frac{e^{-a_i} \cdot a_i^(n+1)}{(n+1)!}$ И останавливаем по условию $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S1(Y) \geq \frac{0.00001 + S2}{M}$ При этом мы выходим из внутреннего цикла Y во внешний цикл M, но в следующий раз продолжаем с того Y и S(Y), на котором остановились. 2. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S(M, S1) = M \cdot S1(Y) - \sum_{m=1}^M \sum_{y=n+1}^{(m-1)(n+1)} \frac{e^{-a_i} \cdot a_i^y}{y!}$ Тогда $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S(M+1, S1) = (M+1) \cdot S1(Y) - \sum_{m=1}^{M+1} \sum_{y=n+1}^{(m-1)(n+1)} \frac{e^{-a_i} \cdot a_i^y}{y!} = S(M, S1) + S1(Y) - \sum_{y=n+1}^{M(n+1)} \frac{e^{-a_i} \cdot a_i^y}{y!}$ Стартуем расчет со значений $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? S(1, S1) = S1(Y)$ Добавлено через 4 минуты Еще можно рекурсивной формулой записать сумму S2. Если башка работает и все понятно, то ничего тут сложного не осталось. Будут вопросы, задавайте. 0

@tumanovalex 95 / 15 / 3 Регистрация: 09.07.2009 Сообщений: 884
	23.03.2023, 15:50 [ТС]
	Спасибо большое за желание помочь. В математике разбираюсь плохо, постараюсь осмыслить и при необходимости задать вопросы. Хотел бы также узнать, в какой программе Вы делаете такие красивые формулы. 0

@Mikhaylo 698 / 572 / 75 Регистрация: 20.09.2014 Сообщений: 3,700
	23.03.2023, 22:56
	BB-код LATEX прямо здесь на форуме позволяет писать любые формулы. Процитируйте любое мое сообщение и увидите. 0

@tumanovalex 95 / 15 / 3 Регистрация: 09.07.2009 Сообщений: 884
	27.03.2023, 12:41 [ТС]
	Я прошу прощения за бестолковость, но не нашел, как сделать цитирование. 0

@Mikhaylo 698 / 572 / 75 Регистрация: 20.09.2014 Сообщений: 3,700
	27.03.2023, 12:50
	Вот эта маленькая кнопка под моим сообщением: https://cyberstatic.net/images... te_off.gif Потом нажмите "Ответить". 0

Алгоритм расчета двойного суммирования с бесконечным пределом

Решение