Заполнение квадрата квадратами

@Saska · Регистрация: 22.12.2009

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Бесконечное число квадратов со сторонами 1/2, 1/3, 1/4 и так далее, укладывают в квадрат с еденичной стороной. Нужно найти площадь, оставшуюся незанятой.

Естественно, что

C++
1
2
3
4
5
6
7
double остаток=1;    
while (остаток > сторона*сторону)
    {
        i=i+1;
        сторона=double(1)/i;
        остаток=остаток-(сторона*сторону);
    }

-не вариант.
Подскажите примерный алгоритм? буду очень благодарен.

@odip · 22.12.2009, 21:46

Как именно укладывают ?
От способа укладки зависит сколько влезет.

Вообще это сумма гармонического ряда, который как известно расходится.
То есть все они туда точно не влезут

http://ru.wikipedia.org/wiki/Гармонический_ряд

Написано что s(n)->ln(n)+C при n->+беск
где C = 0,5772... - постоянная Эйлера.

@Saska · 22.12.2009, 22:30 **[ТС]**

ничего не понял - либо спать нужно ложиться, либо то, что вы написали, находится за пределами понимания среднего первокурсника

вообще, если бы нужно было отнимать от еденицы элементы гармонического ряда, то программа бы очень быстро завершила работу, операции этак на третьей

а если предположить, что квадраты укладываются каким-то идеальным образом, что не остаётся нигде лишних просветов, то чтобы программа завершилась, нужно, чтобы остаток незанятой площади был меньше, чем квадрат элемента гармонического ряда. и вот в том, что этот остаток может быть меньше чем квадрат элемента гармонического ряда я не уверен. или может быть, но тогда программа будет очень долго работать.

следовательно, просветы между квадратами должны быть. а по какому алгоритму укладываются квадраты, в задаче не написали.

ну, предположим по рандомному? как тогда решать?

заранее большое спасибо.

@darkAngel · 22.12.2009, 23:00

***удалено***

Добавлено через 24 минуты
знаешь, поиск этих просветов это очень сложная работа для первокурсника с позиции матанализа. алгоритм то прост (можешь не читать это до конца абзаца):
строим последовательно на ограниченной области замкнутые функции (многогранники), использованные координаты исключаем. новые координаты берутсья произволльно из оставшихся. в какойто момент какаята функция выходит из области допустимых значений, и её уже негде впихнуть и это конец. Оставшиеся просветы ищем так: берём последовательно не исключённые оставшиеся координаты, ищем площади n-гранников и всё . А если добавить ещё и рекурсию, то найдём идеальный способ уклада.

Но первокурсники ещё плохо понимают матан, так что, наверное это от тебя и не требуют. А иного способа найти просветы - нет (имхо).

Так что можно предположить, что квадраты входят идельно, т.е. просветов нет. Но останиться когдато всётки один просветик, в который уже не войдёт очередной член ряда. Вот он и будет остатком. Так что просто вычитай из площади большого квадрата площадь очередного члена ряда (мелкого квадратика), пока площадь большого не станет отрицательный. в предыдущей точки вычислений и будет решение.

p,s, относительная погрешность при такой динамике уменьшения ряда, даже если и есть просветы, очень мала, ибо размер просвета, в который не может попасть квадрат 1/1000000, ещё меньше. а такие маленькие погрешности допустимы даже в физике.

@odip · 23.12.2009, 01:03

Точно - нужно же сумму квадратов считать, а не сумму гармонического ряда !
А вот тут думаю может быть проблема c суммированием - сумма ряда (1/n**2) вполне может оказаться ограниченной.
Так что проверять нужно не только что весь квадрат заполнен, но еще и то что очередной член ряда стал настолько мал, что его прибавление к сумме уже ничего не дает.

Добавлено через 7 минут
http://ru.wikipedia.org/wiki/Ряд_(математика)
Сумма ряда 1/n^2 равна PI^2/6, это примерное 9/6, что больше чем 1.

Отсюда следует что если просто суммировать без учета укладки
то мы полностью до упора заполним квадрат и с любой заданной точностью EPS
сумма ряда будет равна 1.

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Как дизайн сайта влияет на конверсию: 7 решений, которые реально повышают заявки Neotwalker 08.03.2026 Многие до сих пор воспринимают дизайн сайта как “красивую оболочку”. На практике всё иначе: дизайн напрямую влияет на то, оставит человек заявку или уйдёт через несколько секунд. Даже если у вас. . .	Модульная разработка через nuget packages DevAlt 07.03.2026 Сложившийся в . Net-среде способ разработки чаще всего предполагает монорепозиторий в котором находятся все исходники. При создании нового решения, мы просто добавляем нужные проекты и имеем. . .	Модульный подход на примере F# DevAlt 06.03.2026 В блоге дяди Боба наткнулся на такое определение: В этой книге («Подход, основанный на вариантах использования») Ивар утверждает, что архитектура программного обеспечения — это структуры,. . .	Управление камерой с помощью скрипта OrbitControls.js на Three.js: Вращение, зум и панорамирование 8Observer8 05.03.2026 Содержание блога Финальная демка в браузере работает на Desktop и мобильных браузерах. Итоговый код: orbit-controls-threejs-js. zip. Сканируйте QR-код на мобильном. Вращайте камеру одним пальцем,. . .
SDL3 для Web (WebAssembly): Синхронизация спрайтов SDL3 и тел Box2D 8Observer8 04.03.2026 Содержание блога Финальная демка в браузере. Итоговый код: finish-sync-physics-sprites-sdl3-c. zip На первой гифке отладочные линии отключены, а на второй включены:. . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Идентификация объектов на Box2D v3 - использование userData и событий коллизий 8Observer8 02.03.2026 Содержание блога Финальная демка в браузере. Итоговый код: finish-collision-events-sdl3-c. zip Сканируйте QR-код на мобильном и вы увидите, что появится джойстик для управления главным героем. . . .	Реалии Hrethgir 01.03.2026 Нет, я не закончил до сих пор симулятор. Эта задача сложнее. Не получилось уйти в плавсостав, но оно и к лучшему, возможно. Точнее получалось - но сварщиком в палубную команду, а это значит, в моём. . .	Ритм жизни kumehtar 27.02.2026 Иногда приходится жить в ритме, где дел становится всё больше, а вовлечения в происходящее — всё меньше. Плотный график не даёт вниманию закрепиться ни на одном событии. Утро начинается с быстрых,. . .

@odip 7176 / 3234 / 82 Регистрация: 17.06.2009 Сообщений: 14,164
	22.12.2009, 21:46
	Как именно укладывают ? От способа укладки зависит сколько влезет. Вообще это сумма гармонического ряда, который как известно расходится. То есть все они туда точно не влезут http://ru.wikipedia.org/wiki/Гармонический_ряд Написано что s(n)->ln(n)+C при n->+беск где C = 0,5772... - постоянная Эйлера. 0

@Saska 0 / 0 / 0 Регистрация: 22.12.2009 Сообщений: 4
	22.12.2009, 22:30 [ТС]
	ничего не понял - либо спать нужно ложиться, либо то, что вы написали, находится за пределами понимания среднего первокурсника вообще, если бы нужно было отнимать от еденицы элементы гармонического ряда, то программа бы очень быстро завершила работу, операции этак на третьей а если предположить, что квадраты укладываются каким-то идеальным образом, что не остаётся нигде лишних просветов, то чтобы программа завершилась, нужно, чтобы остаток незанятой площади был меньше, чем квадрат элемента гармонического ряда. и вот в том, что этот остаток может быть меньше чем квадрат элемента гармонического ряда я не уверен. или может быть, но тогда программа будет очень долго работать. следовательно, просветы между квадратами должны быть. а по какому алгоритму укладываются квадраты, в задаче не написали. ну, предположим по рандомному? как тогда решать? заранее большое спасибо. 0

@darkAngel Технофашист 229 / 217 / 11 Регистрация: 11.03.2009 Сообщений: 887
	22.12.2009, 23:00
	*удалено* Добавлено через 24 минуты знаешь, поиск этих просветов это очень сложная работа для первокурсника с позиции матанализа. алгоритм то прост (можешь не читать это до конца абзаца): строим последовательно на ограниченной области замкнутые функции (многогранники), использованные координаты исключаем. новые координаты берутсья произволльно из оставшихся. в какойто момент какаята функция выходит из области допустимых значений, и её уже негде впихнуть и это конец. Оставшиеся просветы ищем так: берём последовательно не исключённые оставшиеся координаты, ищем площади n-гранников и всё . А если добавить ещё и рекурсию, то найдём идеальный способ уклада. Но первокурсники ещё плохо понимают матан, так что, наверное это от тебя и не требуют. А иного способа найти просветы - нет (имхо). Так что можно предположить, что квадраты входят идельно, т.е. просветов нет. Но останиться когдато всётки один просветик, в который уже не войдёт очередной член ряда. Вот он и будет остатком. Так что просто вычитай из площади большого квадрата площадь очередного члена ряда (мелкого квадратика), пока площадь большого не станет отрицательный. в предыдущей точки вычислений и будет решение. p,s, относительная погрешность при такой динамике уменьшения ряда, даже если и есть просветы, очень мала, ибо размер просвета, в который не может попасть квадрат 1/1000000, ещё меньше. а такие маленькие погрешности допустимы даже в физике. 0

@odip 7176 / 3234 / 82 Регистрация: 17.06.2009 Сообщений: 14,164
	23.12.2009, 01:03
	Точно - нужно же сумму квадратов считать, а не сумму гармонического ряда ! А вот тут думаю может быть проблема c суммированием - сумма ряда (1/n*2) вполне может оказаться ограниченной. Так что проверять нужно не только что весь квадрат заполнен, но еще и то что очередной член ряда стал настолько мал, что его прибавление к сумме уже ничего не дает. Добавлено через 7 минут* http://ru.wikipedia.org/wiki/Ряд_(математика) Сумма ряда 1/n^2 равна PI^2/6, это примерное 9/6, что больше чем 1. Отсюда следует что если просто суммировать без учета укладки то мы полностью до упора заполним квадрат и с любой заданной точностью EPS сумма ряда будет равна 1. 0