Заполнение квадрата квадратами

@Saska · Регистрация: 22.12.2009

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Бесконечное число квадратов со сторонами 1/2, 1/3, 1/4 и так далее, укладывают в квадрат с еденичной стороной. Нужно найти площадь, оставшуюся незанятой.

Естественно, что

C++
1
2
3
4
5
6
7
double остаток=1;    
while (остаток > сторона*сторону)
    {
        i=i+1;
        сторона=double(1)/i;
        остаток=остаток-(сторона*сторону);
    }

-не вариант.
Подскажите примерный алгоритм? буду очень благодарен.

@odip · 22.12.2009, 21:46

Как именно укладывают ?
От способа укладки зависит сколько влезет.

Вообще это сумма гармонического ряда, который как известно расходится.
То есть все они туда точно не влезут

http://ru.wikipedia.org/wiki/Гармонический_ряд

Написано что s(n)->ln(n)+C при n->+беск
где C = 0,5772... - постоянная Эйлера.

@Saska · 22.12.2009, 22:30 **[ТС]**

ничего не понял - либо спать нужно ложиться, либо то, что вы написали, находится за пределами понимания среднего первокурсника

вообще, если бы нужно было отнимать от еденицы элементы гармонического ряда, то программа бы очень быстро завершила работу, операции этак на третьей

а если предположить, что квадраты укладываются каким-то идеальным образом, что не остаётся нигде лишних просветов, то чтобы программа завершилась, нужно, чтобы остаток незанятой площади был меньше, чем квадрат элемента гармонического ряда. и вот в том, что этот остаток может быть меньше чем квадрат элемента гармонического ряда я не уверен. или может быть, но тогда программа будет очень долго работать.

следовательно, просветы между квадратами должны быть. а по какому алгоритму укладываются квадраты, в задаче не написали.

ну, предположим по рандомному? как тогда решать?

заранее большое спасибо.

@darkAngel · 22.12.2009, 23:00

***удалено***

Добавлено через 24 минуты
знаешь, поиск этих просветов это очень сложная работа для первокурсника с позиции матанализа. алгоритм то прост (можешь не читать это до конца абзаца):
строим последовательно на ограниченной области замкнутые функции (многогранники), использованные координаты исключаем. новые координаты берутсья произволльно из оставшихся. в какойто момент какаята функция выходит из области допустимых значений, и её уже негде впихнуть и это конец. Оставшиеся просветы ищем так: берём последовательно не исключённые оставшиеся координаты, ищем площади n-гранников и всё . А если добавить ещё и рекурсию, то найдём идеальный способ уклада.

Но первокурсники ещё плохо понимают матан, так что, наверное это от тебя и не требуют. А иного способа найти просветы - нет (имхо).

Так что можно предположить, что квадраты входят идельно, т.е. просветов нет. Но останиться когдато всётки один просветик, в который уже не войдёт очередной член ряда. Вот он и будет остатком. Так что просто вычитай из площади большого квадрата площадь очередного члена ряда (мелкого квадратика), пока площадь большого не станет отрицательный. в предыдущей точки вычислений и будет решение.

p,s, относительная погрешность при такой динамике уменьшения ряда, даже если и есть просветы, очень мала, ибо размер просвета, в который не может попасть квадрат 1/1000000, ещё меньше. а такие маленькие погрешности допустимы даже в физике.

@odip · 23.12.2009, 01:03

Точно - нужно же сумму квадратов считать, а не сумму гармонического ряда !
А вот тут думаю может быть проблема c суммированием - сумма ряда (1/n**2) вполне может оказаться ограниченной.
Так что проверять нужно не только что весь квадрат заполнен, но еще и то что очередной член ряда стал настолько мал, что его прибавление к сумме уже ничего не дает.

Добавлено через 7 минут
http://ru.wikipedia.org/wiki/Ряд_(математика)
Сумма ряда 1/n^2 равна PI^2/6, это примерное 9/6, что больше чем 1.

Отсюда следует что если просто суммировать без учета укладки
то мы полностью до упора заполним квадрат и с любой заданной точностью EPS
сумма ряда будет равна 1.

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Советы по крайней бережливости. Внимание, это ОЧЕНЬ длинный пост. Programma_Boinc 28.12.2025 Советы по крайней бережливости. Внимание, это ОЧЕНЬ длинный пост. Налог на собак: https:/ / ********/ gallery/ V06K53e Финансовый отчет в Excel: https:/ / ********/ gallery/ bKBkQFf Пост отсюда. . .	Кто-нибудь знает, где можно бесплатно получить настольный компьютер или ноутбук? США. Programma_Boinc 26.12.2025 Нашел на реддите интересную статью под названием Anyone know where to get a free Desktop or Laptop? Ниже её машинный перевод. После долгих разбирательств я наконец-то вернула себе. . .	Thinkpad X220 Tablet — это лучший бюджетный ноутбук для учёбы, точка. Programma_Boinc 23.12.2025 Рецензия / Мнение/ Перевод Нашел на реддите интересную статью под названием The Thinkpad X220 Tablet is the best budget school laptop period . Ниже её машинный перевод. Thinkpad X220 Tablet —. . .	PhpStorm 2025.3: WSL Terminal всегда стартует в ~ and_y87 14.12.2025 PhpStorm 2025. 3: WSL Terminal всегда стартует в ~ (home), игнорируя директорию проекта Симптом: После обновления до PhpStorm 2025. 3 встроенный терминал WSL открывается в домашней директории. . .	Как объединить две одинаковые БД Access с разными данными VikBal 11.12.2025 Помогите пожалуйста !! Как объединить 2 одинаковые БД Access с разными данными.
Новый ноутбук volvo 07.12.2025 Всем привет. По скидке в "черную пятницу" взял себе новый ноутбук Lenovo ThinkBook 16 G7 на Амазоне: Ryzen 5 7533HS 64 Gb DDR5 1Tb NVMe 16" Full HD Display Win11 Pro	Музыка, написанная Искусственным Интеллектом volvo 04.12.2025 Всем привет. Некоторое время назад меня заинтересовало, что уже умеет ИИ в плане написания музыки для песен, и, собственно, исполнения этих самых песен. Стихов у нас много, уже вышли 4 книги, еще 3. . .	От async/await к виртуальным потокам в Python IndentationError 23.11.2025 Армин Ронахер поставил под сомнение async/ await. Создатель Flask заявляет: цветные функции - провал, виртуальные потоки - решение. Не threading-динозавры, а новое поколение лёгких потоков. Откат?. . .	Поиск "дружественных имён" СОМ портов Argus19 22.11.2025 Поиск "дружественных имён" СОМ портов На странице: https:/ / norseev. ru/ 2018/ 01/ 04/ comportlist_windows/ нашёл схожую тему. Там приведён код на С++, который показывает только имена СОМ портов, типа,. . .	Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Programma_Boinc 20.11.2025 Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Вот решила сделать интересный приблизительный подсчет, сколько государство потратило на меня денег на покупку инсулинов. . . .

@odip 7176 / 3234 / 82 Регистрация: 17.06.2009 Сообщений: 14,164
	22.12.2009, 21:46
	Как именно укладывают ? От способа укладки зависит сколько влезет. Вообще это сумма гармонического ряда, который как известно расходится. То есть все они туда точно не влезут http://ru.wikipedia.org/wiki/Гармонический_ряд Написано что s(n)->ln(n)+C при n->+беск где C = 0,5772... - постоянная Эйлера. 0

@Saska 0 / 0 / 0 Регистрация: 22.12.2009 Сообщений: 4
	22.12.2009, 22:30 [ТС]
	ничего не понял - либо спать нужно ложиться, либо то, что вы написали, находится за пределами понимания среднего первокурсника вообще, если бы нужно было отнимать от еденицы элементы гармонического ряда, то программа бы очень быстро завершила работу, операции этак на третьей а если предположить, что квадраты укладываются каким-то идеальным образом, что не остаётся нигде лишних просветов, то чтобы программа завершилась, нужно, чтобы остаток незанятой площади был меньше, чем квадрат элемента гармонического ряда. и вот в том, что этот остаток может быть меньше чем квадрат элемента гармонического ряда я не уверен. или может быть, но тогда программа будет очень долго работать. следовательно, просветы между квадратами должны быть. а по какому алгоритму укладываются квадраты, в задаче не написали. ну, предположим по рандомному? как тогда решать? заранее большое спасибо. 0

@darkAngel Технофашист 228 / 216 / 11 Регистрация: 11.03.2009 Сообщений: 887
	22.12.2009, 23:00
	*удалено* Добавлено через 24 минуты знаешь, поиск этих просветов это очень сложная работа для первокурсника с позиции матанализа. алгоритм то прост (можешь не читать это до конца абзаца): строим последовательно на ограниченной области замкнутые функции (многогранники), использованные координаты исключаем. новые координаты берутсья произволльно из оставшихся. в какойто момент какаята функция выходит из области допустимых значений, и её уже негде впихнуть и это конец. Оставшиеся просветы ищем так: берём последовательно не исключённые оставшиеся координаты, ищем площади n-гранников и всё . А если добавить ещё и рекурсию, то найдём идеальный способ уклада. Но первокурсники ещё плохо понимают матан, так что, наверное это от тебя и не требуют. А иного способа найти просветы - нет (имхо). Так что можно предположить, что квадраты входят идельно, т.е. просветов нет. Но останиться когдато всётки один просветик, в который уже не войдёт очередной член ряда. Вот он и будет остатком. Так что просто вычитай из площади большого квадрата площадь очередного члена ряда (мелкого квадратика), пока площадь большого не станет отрицательный. в предыдущей точки вычислений и будет решение. p,s, относительная погрешность при такой динамике уменьшения ряда, даже если и есть просветы, очень мала, ибо размер просвета, в который не может попасть квадрат 1/1000000, ещё меньше. а такие маленькие погрешности допустимы даже в физике. 0

@odip 7176 / 3234 / 82 Регистрация: 17.06.2009 Сообщений: 14,164
	23.12.2009, 01:03
	Точно - нужно же сумму квадратов считать, а не сумму гармонического ряда ! А вот тут думаю может быть проблема c суммированием - сумма ряда (1/n*2) вполне может оказаться ограниченной. Так что проверять нужно не только что весь квадрат заполнен, но еще и то что очередной член ряда стал настолько мал, что его прибавление к сумме уже ничего не дает. Добавлено через 7 минут* http://ru.wikipedia.org/wiki/Ряд_(математика) Сумма ряда 1/n^2 равна PI^2/6, это примерное 9/6, что больше чем 1. Отсюда следует что если просто суммировать без учета укладки то мы полностью до упора заполним квадрат и с любой заданной точностью EPS сумма ряда будет равна 1. 0