Доказательство полиномиальной формулы

@Ivan_Teryaev · Регистрация: 24.03.2021

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Добрый день. Необходимо доказать формулу:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{\left({x}_{1} + {x}_{2}+...+{x}_{k}\right)}^{n}=\sum_{{n}_{1}+{n}_{2}+...+{n}_{k}=n}^{}{P}_{n}\left({n}_{1},{n}_{2},...,{n}_{k}\right){{x}_{1}}^{{n}_{1}}{{x}_{2}}^{{n}_{2}}...{{x}_{k}}^{{n}_{k}}$
методом математической индукции по $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{n}$ .
1. База индукции: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{n=1}$ .
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{\left({x}_{1} + {x}_{2}+...+{x}_{k}\right)}^{1}=\sum_{{n}_{1}+{n}_{2}+...+{n}_{k}=1}^{}{P}_{1}\left({n}_{1},{n}_{2},...,{n}_{k}\right){{x}_{1}}^{{n}_{1}}{{x}_{2}}^{{n}_{2}}...{{x}_{k}}^{{n}_{k}}={x}_{1} + {x}_{2}+...+{x}_{k}.$
Следовательно, при $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{n=1}$ формула верна.
2. Шаг индукции: предположим, что формула верна для некоторого $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{n}$ и докажем ее для $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{n+1}$ .
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{\left({x}_{1} + {x}_{2}+...+{x}_{k}\right)}^{n+1}={\left({x}_{1} + {x}_{2}+...+{x}_{k}\right)}^{n}\left({x}_{1} + {x}_{2}+...+{x}_{k}\right)=\left( \sum_{{n}_{1}+{n}_{2}+...+{n}_{k}=n}^{}{P}_{n}\left({n}_{1},{n}_{2},...,{n}_{k}\right){{x}_{1}}^{{n}_{1}}{{x}_{2}}^{{n}_{2}}...{{x}_{k}}^{{n}_{k}}\right)\left({x}_{1} + {x}_{2}+...+{x}_{k}\right)=\left( \sum_{{n}_{1}+{n}_{2}+...+{n}_{k}=n}^{}{P}_{n}\left({n}_{1},{n}_{2},...,{n}_{k}\right){{x}_{1}}^{{n}_{1}}{{x}_{2}}^{{n}_{2}}...{{x}_{k}}^{{n}_{k}}\right){x}_{1}+...+\left( \sum_{{n}_{1}+{n}_{2}+...+{n}_{k}=n}^{}{P}_{n}\left({n}_{1},{n}_{2},...,{n}_{k}\right){{x}_{1}}^{{n}_{1}}{{x}_{2}}^{{n}_{2}}...{{x}_{k}}^{{n}_{k}}\right){x}_{k}.$
Я понимаю, что после раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых должна получится полиномиальная формула для $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{n+1}$ , мне только не понятно как это формально все расписать в доказательстве?

@kabenyuk · 26.03.2021, 15:37

А я бы вел индукцию по k.

iifat · 28.03.2021, 02:46

Ну да, сначала по k, потом по n.
Как вариант — ну, хотя бы скобки-то раскрыть, получить двойную сумму, поиграться с суммами.

@kabenyuk · 28.03.2021, 10:16

Сообщение от iifat

потом по n.

А потом бином Ньютона.

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
SDL3 для Desktop (MinGW): Создаём пустое окно с нуля для 2D-графики на SDL3, Си и C++ 8Observer8 10.03.2026 Содержание блога Финальные проекты на Си и на C++: hello-sdl3-c. zip hello-sdl3-cpp. zip Результат:	Установка CMake и MinGW 13.1 для сборки С и C++ приложений из консоли и из Qt Creator в EXE 8Observer8 10.03.2026 Содержание блога MinGW - это коллекция инструментов для сборки приложений в EXE. CMake - это система сборки приложений. Здесь описаны базовые шаги для старта программирования с помощью CMake и. . .	Как дизайн сайта влияет на конверсию: 7 решений, которые реально повышают заявки Neotwalker 08.03.2026 Многие до сих пор воспринимают дизайн сайта как “красивую оболочку”. На практике всё иначе: дизайн напрямую влияет на то, оставит человек заявку или уйдёт через несколько секунд. Даже если у вас. . .	Модульная разработка через nuget packages DevAlt 07.03.2026 Сложившийся в . Net-среде способ разработки чаще всего предполагает монорепозиторий в котором находятся все исходники. При создании нового решения, мы просто добавляем нужные проекты и имеем. . .
Модульный подход на примере F# DevAlt 06.03.2026 В блоге дяди Боба наткнулся на такое определение: В этой книге («Подход, основанный на вариантах использования») Ивар утверждает, что архитектура программного обеспечения — это структуры,. . .	Управление камерой с помощью скрипта OrbitControls.js на Three.js: Вращение, зум и панорамирование 8Observer8 05.03.2026 Содержание блога Финальная демка в браузере работает на Desktop и мобильных браузерах. Итоговый код: orbit-controls-threejs-js. zip. Сканируйте QR-код на мобильном. Вращайте камеру одним пальцем,. . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Синхронизация спрайтов SDL3 и тел Box2D 8Observer8 04.03.2026 Содержание блога Финальная демка в браузере. Итоговый код: finish-sync-physics-sprites-sdl3-c. zip На первой гифке отладочные линии отключены, а на второй включены:. . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Идентификация объектов на Box2D v3 - использование userData и событий коллизий 8Observer8 02.03.2026 Содержание блога Финальная демка в браузере. Итоговый код: finish-collision-events-sdl3-c. zip Сканируйте QR-код на мобильном и вы увидите, что появится джойстик для управления главным героем. . . .

@Ivan_Teryaev 0 / 0 / 0 Регистрация: 24.03.2021 Сообщений: 1

	Доказательство полиномиальной формулы 24.03.2021, 16:31. Показов 1711. Ответов 3 Метки нет (Все метки) Добрый день. Необходимо доказать формулу: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{\left({x}_{1} + {x}_{2}+...+{x}_{k}\right)}^{n}=\sum_{{n}_{1}+{n}_{2}+...+{n}_{k}=n}^{}{P}_{n}\left({n}_{1},{n}_{2},...,{n}_{k}\right){{x}_{1}}^{{n}_{1}}{{x}_{2}}^{{n}_{2}}...{{x}_{k}}^{{n}_{k}}$ методом математической индукции по $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{n}$ . 1. База индукции: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{n=1}$ . $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{\left({x}_{1} + {x}_{2}+...+{x}_{k}\right)}^{1}=\sum_{{n}_{1}+{n}_{2}+...+{n}_{k}=1}^{}{P}_{1}\left({n}_{1},{n}_{2},...,{n}_{k}\right){{x}_{1}}^{{n}_{1}}{{x}_{2}}^{{n}_{2}}...{{x}_{k}}^{{n}_{k}}={x}_{1} + {x}_{2}+...+{x}_{k}.$ Следовательно, при $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{n=1}$ формула верна. 2. Шаг индукции: предположим, что формула верна для некоторого $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{n}$ и докажем ее для $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{n+1}$ . $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{\left({x}_{1} + {x}_{2}+...+{x}_{k}\right)}^{n+1}={\left({x}_{1} + {x}_{2}+...+{x}_{k}\right)}^{n}\left({x}_{1} + {x}_{2}+...+{x}_{k}\right)=\left( \sum_{{n}_{1}+{n}_{2}+...+{n}_{k}=n}^{}{P}_{n}\left({n}_{1},{n}_{2},...,{n}_{k}\right){{x}_{1}}^{{n}_{1}}{{x}_{2}}^{{n}_{2}}...{{x}_{k}}^{{n}_{k}}\right)\left({x}_{1} + {x}_{2}+...+{x}_{k}\right)=\left( \sum_{{n}_{1}+{n}_{2}+...+{n}_{k}=n}^{}{P}_{n}\left({n}_{1},{n}_{2},...,{n}_{k}\right){{x}_{1}}^{{n}_{1}}{{x}_{2}}^{{n}_{2}}...{{x}_{k}}^{{n}_{k}}\right){x}_{1}+...+\left( \sum_{{n}_{1}+{n}_{2}+...+{n}_{k}=n}^{}{P}_{n}\left({n}_{1},{n}_{2},...,{n}_{k}\right){{x}_{1}}^{{n}_{1}}{{x}_{2}}^{{n}_{2}}...{{x}_{k}}^{{n}_{k}}\right){x}_{k}.$ Я понимаю, что после раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых должна получится полиномиальная формула для $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{n+1}$ , мне только не понятно как это формально все расписать в доказательстве? 0

@kabenyuk $Эксперт по математике/физике$ 4182 / 3052 / 918 Регистрация: 19.11.2012 Сообщений: 6,196
	26.03.2021, 15:37
	А я бы вел индукцию по k. 0

iifat 2903 / 1937 / 210 Регистрация: 05.06.2011 Сообщений: 5,712
	28.03.2021, 02:46
	Ну да, сначала по k, потом по n. Как вариант — ну, хотя бы скобки-то раскрыть, получить двойную сумму, поиграться с суммами. 0