Итерационное вычисление частных производных

@cArmius · Регистрация: 04.09.2016

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

доброго времени суток

в задачах по численным методам столкнулся с необходимостью вычисления частных производных
сами вычисления "в лоб" вопросов не вызывают, работаем строго по определению:

Кликните здесь для просмотра всего текста

C++
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
double e=0.000001;  //точность
 
double f(double x1,double x2,double x3){ // сама функция 
return x1+3*x2+2*x3*x3;
}
 
double df1(double x01,double x02,double x03){  //частная производная по х1    
    return (f(x01+e,x02,x03)-f(x01,x02,x03))/e;
}
 
double df11(double x01,double x02,double x03){ //частная производная по х1 частной производной х1    
    return (df1(x01+e,x02,x03)-df1(x01,x02,x03))/e;
}

однако, я задумался о том, возможно ли считать производную от производной не так долго - для нахождения всех частных производных третьего порядка мне нужно написать уже не 9 а 27 функций. пусть это решается простым копипастом, но должен же существовать более простой метод?

я пытался искать что-то вроде передачи указателя на функцию в функцию, нашел простые примеры
ну, да, эти работают, если я вызываю новый df1 с параметром f:

Кликните здесь для просмотра всего текста

C++
1
2
3
double (*f)(double,double,double);
double df1(double,double,double,
           double (*func)(double,double,double));

но если я хочу вызвать производную от самой себя компилятор ругается на несоответствие параметров (т.е. нужно добавить в определение func внутри df1 параметр функции:

Кликните здесь для просмотра всего текста

C++
1
2
double df1(double,double,double,
           double (*func)(double,double,double,double (*func)(double,double,double)));

)
но это ведет к тому, что я не могу подать как параметр более простую функцию, и чем больше производных я хочу посчитать итерационно - тем больше мне приходится нагромождать определение изначальных функций.

можно ли вообще это как-то сделать с помощью вызова производными самих себя? или есть более простой способ?

@_Ivana · 04.09.2016, 22:46

Подозреваю, что способов масса. Но мне то ФВП сразу вспоминаются

C++
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
double e=0.001;  //точность
 
int main() {
    auto f = [](double x1,double x2,double x3) {return x1*x1*x1*x1*x1*x1 + 3*x2 + 2*x3*x3;};
    auto d1 = [](auto f) {
        return [&f](double x1,double x2,double x3) {return (f(x1+e,x2,x3)-f(x1,x2,x3))/e;};};
    auto d2 = [](auto f) {
        return [&f](double x1,double x2,double x3) {return (f(x1,x2+e,x3)-f(x1,x2,x3))/e;};};
    auto d3 = [](auto f) {
        return [&f](double x1,double x2,double x3) {return (f(x1,x2,x3+e)-f(x1,x2,x3))/e;};};
 
    std::cout << d1(f)(1,1,1) << "\n";
    std::cout << d1(d1(f))(1,1,1) << "\n";
    std::cout << d1(d1(d1(f)))(1,1,1) << "\n";
    std::cout << d1(d1(d1(d1(f))))(1,1,1) << "\n";
    std::cout << d3(f)(1,1,1) << "\n";
    std::cout << d3(d3(f))(1,1,1) << "\n";
}

ЗЫ метод первых разностей для оценки производных высших порядков весьма убог.

notAll · 04.09.2016, 23:06

Должно работать, особо не тестил:

C++
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
namespace detail {
 
constexpr double e = 0.000001;
 
constexpr double f(double x1, double x2, double x3) {
    return x1 + 3*x2 + 2*x3*x3;
}
 
} // end namespace detail
 
template <int N>
constexpr double calc(double x01, double x02, double x03)
{
    using detail::e;
    return (calc<N-1>(x01+e, x02, x03) - calc<N-1>(x01, x02, x03)) / e;
}
 
template <>
constexpr double calc<0>(double x1, double x2, double x3)
{
    return detail::f(x1, x2, x3);
}
 
///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
// for test:
 
using namespace detail;
 
constexpr double df1(double x01, double x02, double x03) {
    return (f(x01+e, x02, x03) - f(x01, x02, x03)) / e;
}
 
constexpr double df11(double x01, double x02 ,double x03) {
    return (df1(x01+e ,x02, x03) - df1(x01, x02, x03)) / e;
}
 
int main()
{
    std::cout << calc<2>(1.1, 2.22, 3.33) << "\n";
    std::cout << df11(1.1, 2.22, 3.33) << "\n";
 
    std::cout << calc<1>(1.1, 2.22, 3.33) << "\n";
    std::cout << df1(1.1, 2.22, 3.33) << "\n";
 
    std::cout << calc<0>(1.1, 2.22, 3.33) << "\n";
    std::cout << f(1.1, 2.22, 3.33) << "\n";
}

@nonedark2008 · 04.09.2016, 23:39

cArmius, _Ivana, а мне вот такой товарищ в голову пришел...

C++
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
#include <iostream>
#include <functional>
#include <tuple>
 
using namespace std;
 
double e = 0.000001;  //точность
 
double f(double x1, double x2, double x3) {
    return x1 + 3 * x2 + 2 * x3*x3;
}
 
template<size_t L, typename Functor, typename... Args>
double df1(Functor func, Args ... args) { 
    std::tuple<Args &...> t(args...);
    double r = func(args...);
    get<L>(t) = get<L>(t) + e;
    return (func(args...) - r) / e;
}
 
int main() {
    cout << df1<2>(f, 0., 0., 0.5) << endl;
    auto next = [](double x1, double x2, double x3) {return df1<2>(f, x1, x2, x3); };
    cout << df1<2>(next, 0., 0., 0.5) << endl;
    return 0;
}

Как-то можно наверно избавиться от лямбды, но голова уже не варит.

Добавлено через 31 минуту
UPD:

C++
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
#include <iostream>
#include <functional>
#include <tuple>
 
using namespace std;
 
double e = 0.00001;  //точность
 
double f(double x1, double x2, double x3) {
    return x1 + 3 * x2 + 2 * x3*x3;
}
 
template<typename Functor, typename... Args>
double df1(Functor func, Args ... args) {
    return func(args...);
}
 
template<size_t L, size_t... Ln, typename Functor, typename... Args>
double df1(Functor func, Args ... args) { 
 
    auto lm = [&](Args... args) {
        std::tuple<Args &...> t(args...);
        double r = func(args...);
        get<L>(t) = get<L>(t) + e;
        return (func(args...) - r) / e;
    };
    return df1<Ln...>(lm, args...);
 
}
 
int main() {
    cout << df1<2, 2>(f, 0., 0., 0.5) << endl;
    return 0;
}

Оно даже что-то считает... но я боюсь это отлаживать...

@Renji · 05.09.2016, 00:48

Сообщение от cArmius

однако, я задумался о том, возможно ли считать производную от производной не так долго - для нахождения всех частных производных третьего порядка мне нужно написать уже не 9 а 27 функций. пусть это решается простым копипастом, но должен же существовать более простой метод?

1) Представляете функцию в форме любого понравившегося интерполяционного многочлена.
2) Взятие производной любой степени от многочлена, остается вам в качестве самостоятельного задания по школьному курсу алгебры.

@cArmius · 05.09.2016, 23:39 **[ТС]**

Сообщение от _Ivana

Подозреваю, что способов масса. Но мне то ФВП сразу вспоминаются

ЗЫ метод первых разностей для оценки производных высших порядков весьма убог.

выглядит совсем незнакомо, можно полное название метода, чтобы хоть погуглить? ну или просто пояснения к форме задания функций
был бы очень благодарен )

ну и так то да, я уже осознал что хотя бы из-за точности выходит беда ) эффективнее задать-таки формулами

Кликните здесь для просмотра всего текста

C++
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
double d2f(int n1, int n2, double x01,double x02,double x03){
double el=0.0001;   
  if(n1==1)if(n2==1)return (f(x01+el,x02,x03)-2*f(x01,x02,x03)+f(x01-el,x02,x03))/(el*el);
  if(n1==1)if(n2==2)return (f(x01+el,x02+el,x03)-f(x01-el,x02+el,x03)-f(x01+el,x02-el,x03)+f(x01-el,x02-el,x03))/(el*el);
  if(n1==1)if(n2==3)return (f(x01+el,x02,x03+el)-f(x01-el,x02,x03+el)-f(x01+el,x02,x03-el)+f(x01-el,x02,x03-el))/(el*el);
  if(n1==2)if(n2==1)return (f(x01+el,x02+el,x03)-f(x01-el,x02+el,x03)-f(x01+el,x02-el,x03)+f(x01-el,x02-el,x03))/(el*el);
  if(n1==2)if(n2==2)return (f(x01,x02+el,x03)-2*f(x01,x02,x03)+f(x01,x02-el,x03))/(el*el);
  if(n1==2)if(n2==3)return (f(x01,x02+el,x03+el)-f(x01,x02-el,x03+el)-f(x01,x02+el,x03-el)+f(x01,x02-el,x03-el))/(el*el);
  if(n1==3)if(n2==1)return (f(x01+el,x02,x03+el)-f(x01-el,x02,x03+el)-f(x01+el,x02,x03-el)+f(x01-el,x02,x03-el))/(el*el);
  if(n1==3)if(n2==2)return (f(x01,x02+el,x03+el)-f(x01,x02-el,x03+el)-f(x01,x02+el,x03-el)+f(x01,x02-el,x03-el))/(el*el);
  if(n1==3)if(n2==3)return (f(x01,x02,x03+el)-2*f(x01,x02,x03)+f(x01,x02,x03-el))/(el*el);
}

Добавлено через 3 минуты

Сообщение от notAll

Должно работать, особо не тестил:

Кликните здесь для просмотра всего текста

C++
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
namespace detail {
 
constexpr double e = 0.000001;
 
constexpr double f(double x1, double x2, double x3) {
    return x1 + 3*x2 + 2*x3*x3;
}
 
} // end namespace detail
 
template <int N>
constexpr double calc(double x01, double x02, double x03)
{
    using detail::e;
    return (calc<N-1>(x01+e, x02, x03) - calc<N-1>(x01, x02, x03)) / e;
}
 
template <>
constexpr double calc<0>(double x1, double x2, double x3)
{
    return detail::f(x1, x2, x3);
}
 
///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
// for test:
 
using namespace detail;
 
constexpr double df1(double x01, double x02, double x03) {
    return (f(x01+e, x02, x03) - f(x01, x02, x03)) / e;
}
 
constexpr double df11(double x01, double x02 ,double x03) {
    return (df1(x01+e ,x02, x03) - df1(x01, x02, x03)) / e;
}
 
int main()
{
    std::cout << calc<2>(1.1, 2.22, 3.33) << "\n";
    std::cout << df11(1.1, 2.22, 3.33) << "\n";
 
    std::cout << calc<1>(1.1, 2.22, 3.33) << "\n";
    std::cout << df1(1.1, 2.22, 3.33) << "\n";
 
    std::cout << calc<0>(1.1, 2.22, 3.33) << "\n";
    std::cout << f(1.1, 2.22, 3.33) << "\n";
}

замечательно, это как раз то, что я пытался построить, огромное спасибо )

Добавлено через 1 минуту

Сообщение от nonedark2008

cArmius, _Ivana, а мне вот такой товарищ в голову пришел...

Кликните здесь для просмотра всего текста

C++
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
#include <iostream>
#include <functional>
#include <tuple>
 
using namespace std;
 
double e = 0.000001;  //точность
 
double f(double x1, double x2, double x3) {
    return x1 + 3 * x2 + 2 * x3*x3;
}
 
template<size_t L, typename Functor, typename... Args>
double df1(Functor func, Args ... args) { 
    std::tuple<Args &...> t(args...);
    double r = func(args...);
    get<L>(t) = get<L>(t) + e;
    return (func(args...) - r) / e;
}
 
int main() {
    cout << df1<2>(f, 0., 0., 0.5) << endl;
    auto next = [](double x1, double x2, double x3) {return df1<2>(f, x1, x2, x3); };
    cout << df1<2>(next, 0., 0., 0.5) << endl;
    return 0;
}

Как-то можно наверно избавиться от лямбды, но голова уже не варит.

Добавлено через 31 минуту
UPD:

C++
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
#include <iostream>
#include <functional>
#include <tuple>
 
using namespace std;
 
double e = 0.00001;  //точность
 
double f(double x1, double x2, double x3) {
    return x1 + 3 * x2 + 2 * x3*x3;
}
 
template<typename Functor, typename... Args>
double df1(Functor func, Args ... args) {
    return func(args...);
}
 
template<size_t L, size_t... Ln, typename Functor, typename... Args>
double df1(Functor func, Args ... args) { 
 
    auto lm = [&](Args... args) {
        std::tuple<Args &...> t(args...);
        double r = func(args...);
        get<L>(t) = get<L>(t) + e;
        return (func(args...) - r) / e;
    };
    return df1<Ln...>(lm, args...);
 
}
 
int main() {
    cout << df1<2, 2>(f, 0., 0., 0.5) << endl;
    return 0;
}

Оно даже что-то считает... но я боюсь это отлаживать...

ух. я правильно понимаю, что для того чтобы понять как это работает мне нужно искать функции с неопределенным количеством переменных?
P.S. на самом деле, если не смотреть на название темы - это самый близкий ответ на вопрос, который я пытался задать, о комбинации функций от функций

Добавлено через 9 минут

Сообщение от Renji

1) Представляете функцию в форме любого понравившегося интерполяционного многочлена.
2) Взятие производной любой степени от многочлена, остается вам в качестве самостоятельного задания по школьному курсу алгебры.

в примере с производными - пожалуй
но вообще я пытался понять можно ли аккуратно построить комбинацию функций, не обязательно производных

@nonedark2008 · 06.09.2016, 00:48

Сообщение от cArmius

ух. я правильно понимаю, что для того чтобы понять как это работает мне нужно искать функции с неопределенным количеством переменных?

Там все довольно безхитростно. В функцию df1 передается в шаблоне набор чисел - порядок взятия частных производных. Каждое число - номер аргумента функции. Вычисляем функцию в точке f(args), далее зворачиваем ссылки на эти аргументы в tuple, что бы просто взять L-тый из них и увеличить его на "e". И вот это все дело заворачиваем в лямбда-функцию и рекурсивно вызываем df1 уже с лямбдой для расчета следующей производной.

@_Ivana · 06.09.2016, 01:19

Сообщение от cArmius

но вообще я пытался понять можно ли аккуратно построить комбинацию функций, не обязательно производных

Производная - функциональный оператор. То есть, его аргумент - функция, и результат - функция. То, что вы называете "комбинацию функций". Возьмем для примера обычный косинус. Это функция из числа в число, поэтому можно сколько угодно раз композировать cos(cos(cos(.... x))), и вычислять это в цикле, потому что числовые значения являются в С++ гражданами первого класса - помимо всего прочего, они могут возвращаться из функций. Такой же подход с функциями сработает только, если в языке функция может быть таким же гражданином первого класса. В функциональных языках это с рождения так, а в остальных пытаются приклеить абстракции разной степени похожести.

@cArmius · 11.09.2016, 11:18 **[ТС]**

Сообщение от _Ivana

Производная - функциональный оператор. То есть, его аргумент - функция, и результат - функция. То, что вы называете "комбинацию функций". Возьмем для примера обычный косинус. Это функция из числа в число, поэтому можно сколько угодно раз композировать cos(cos(cos(.... x))), и вычислять это в цикле, потому что числовые значения являются в С++ гражданами первого класса - помимо всего прочего, они могут возвращаться из функций. Такой же подход с функциями сработает только, если в языке функция может быть таким же гражданином первого класса. В функциональных языках это с рождения так, а в остальных пытаются приклеить абстракции разной степени похожести.

то есть, в принципе, я могу создать класс, допустим, векторный V(3х1), и мастерить функции f:V->V
а если у меня есть функция вида f(g(х1,х2),x1,x2) где внутри функции f где-то используется g, то я могу вставлять её в f указателями на функцию

и, наверное, если я задам достаточно указателей на функции, я могу их переобозначать перед вызовом функции, где использую их, и использовать именно их внутри функции

C++
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
double (*f1)(double,double);
...
double (*fn)(double,double);
 
double func(...){
abrakadabra=f1(f2(),...)+...;
}
 
int main(){
f1=g(x1,x2);
...
 
}

@_Ivana · 11.09.2016, 20:01

cArmius, если я правильно понимаю то, что вы написали - то нифига подобного

Пока функция - не объект первого класса языка, у вас в принципе могут быть только лишь те функции, которые вы написали в коде и которые известны на этапе компиляции. Вы не можете создавать в рантайме новые функции, только вызывать скомпилированные с разными параметрами.

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
SDL3 для Web (WebAssembly): Основы отладки веб-приложений на SDL3 по USB и Wi-Fi, запущенных в браузере мобильных устройств 8Observer8 07.02.2026 Содержание блога Браузер Chrome имеет средства для отладки мобильных веб-приложений по USB. В этой пошаговой инструкции ограничимся работой с консолью. Вывод в консоль - это часть процесса. . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Обработчик клика мыши в браузере ПК и касания экрана в браузере на мобильном устройстве 8Observer8 02.02.2026 Содержание блога Для начала пошагово создадим рабочий пример для подготовки к экспериментам в браузере ПК и в браузере мобильного устройства. Потом напишем обработчик клика мыши и обработчик. . .	Философия технологии iceja 01.02.2026 На мой взгляд у человека в технических проектах остается роль генерального директора. Все остальное нейронки делают уже лучше человека. Они не могут нести предпринимательские риски, не могут. . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Вывод текста со шрифтом TTF с помощью SDL3_ttf 8Observer8 01.02.2026 Содержание блога В этой пошаговой инструкции создадим с нуля веб-приложение, которое выводит текст в окне браузера. Запустим на Android на локальном сервере. Загрузим Release на бесплатный. . .
SDL3 для Web (WebAssembly): Сборка C/C++ проекта из консоли 8Observer8 30.01.2026 Содержание блога Если вы откроете примеры для начинающих на официальном репозитории SDL3 в папке: examples, то вы увидите, что все примеры используют следующие четыре обязательные функции, а. . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Установка Emscripten SDK (emsdk) и CMake для сборки C и C++ приложений в Wasm 8Observer8 30.01.2026 Содержание блога Для того чтобы скачать Emscripten SDK (emsdk) необходимо сначало скачать и уставить Git: Install for Windows. Следуйте стандартной процедуре установки Git через установщик. . . .	SDL3 для Android: Подключение Box2D v3, физика и отрисовка коллайдеров 8Observer8 29.01.2026 Содержание блога Box2D - это библиотека для 2D физики для анимаций и игр. С её помощью можно определять были ли коллизии между конкретными объектами. Версия v3 была полностью переписана на Си, в. . .	Инструменты COM: Сохранение данный из VARIANT в файл и загрузка из файла в VARIANT bedvit 28.01.2026 Сохранение базовых типов COM и массивов (одномерных или двухмерных) любой вложенности (деревья) в файл, с возможностью выбора алгоритмов сжатия и шифрования. Часть библиотеки BedvitCOM Использованы. . .

@_Ivana 4949 / 2289 / 287 Регистрация: 01.03.2013 Сообщений: 5,991 Записей в блоге: 32
	11.09.2016, 20:01
	cArmius, если я правильно понимаю то, что вы написали - то нифига подобного Пока функция - не объект первого класса языка, у вас в принципе могут быть только лишь те функции, которые вы написали в коде и которые известны на этапе компиляции. Вы не можете создавать в рантайме новые функции, только вызывать скомпилированные с разными параметрами. 0

Итерационное вычисление частных производных

Решение