Как обнаружить потерю точности при умножении двух double

@ADnD · Регистрация: 05.12.2024

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Добрый день,

Пытаюсь разобраться для себя с такими интересными тонкостями вещественной арифметики, как потеря точности и переполнения. Со сложением и вычитанием ясно: если одно из чисел не равно 0, а результат равен второму - значит произошла потеря точности. Но как быть с умножением? Ведь там при потери точности произведение будет равно не одному из множителей, а просто некоему неправильному числу???

@Pphantom · 18.09.2025, 23:11

Сообщение от Royal_X

товарищи выше говорят, что полезнее оценить погрешность. Ну вот интересно узнать, как они будут оценивать эту погрешность и что это даст?

Этим можно заняться, но при подсчете такого выражения надо сначала не погрешность оценивать, а считать его разумным образом.

ФедосеевПавел · 19.09.2025, 19:08

Сообщение от Royal_X

А как оценишь погрешность для данного выражения?

По правде, после нескольких неудачных попыток вычислить его - домножил и разделил на сумму этих чисел, а потом воспользовался бы пределами
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?1-\sqrt{1-e^{-1000}}=\frac{(1-\sqrt{1-e^{-1000}})(1+\sqrt{1-e^{-1000}})}{1+\sqrt{1-e^{-1000}}}=\frac{1-(1-e^{-1000})}{1+\sqrt{1-e^{-1000}}}\approx \frac{e^{-1000}}{1+1}=\frac{1}{2}e^{-1000}$
Как-то так

Вот и те формулы, о которых говорил - делают подобные преобразования. И они уникальны для каждого случая, нет общей единой формулы.

@Royal_X · 19.09.2025, 19:31

ФедосеевПавел, преобразование, конечно, хорошее. Отличается от оригинального на ≈3.22*10^-870 и полученное выражение вычисляется очень легко.

C++
1
2
3
4
5
6
7
#include <iostream>
#include <cmath>
 
int main()
{
    std::cout<< 0.5 * expl(-1000);
}

выводит 2.53798e-435

ты справился с задачей

@Igor3D · 19.09.2025, 19:37

Сообщение от Royal_X

и что оно даст? Ну оценил погрешность, что потом?

Потом "я сам решу"

В моем примере возможны варианты, погрешность

- мала, никакой проблемы нет, все работает

- существенна. Ну может удастся ее компенсировать напр умышленным уменьшением радиуса

- худший случай, слишком велика. Возможно придется отказаться от такого способа расчета и искать другие. Во всяком случае, проблема мне известна

И вообще. А зачем это нужно? И нужно ли вообще? Такие вопросы нередко вполне разумны, но по сути это попытка "обойти" изначальную задачу. А может проще и лучше ее решить? (а не пытаться обходить)

@Royal_X · 19.09.2025, 19:43

Igor3D, я сперва не понял, но сейчас норм. Запутала цитата, которая была в посте - про оценку погрешности.
ФедосеевПавел просто преобразовал выражение, заменил на асимптотическое. Но тут же не оценка погрешности.

@Pphantom · 19.09.2025, 19:44

Сообщение от ФедосеевПавел

По правде, после нескольких неудачных попыток вычислить его - домножил и разделил на сумму этих чисел, а потом воспользовался бы пределами

Можно намного проще. При $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x \approx 0$ работает приближение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt{1-x} \approx 1 - \frac{x}{2}$ . Отсюда сразу же следует итоговый результат.

Соответственно, и погрешность можно оценить просто как остаток ряда Тейлора. В данном случае, впрочем, и этого не надо, поскольку каждый очередной член будет как минимум в $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?e^{1000} \sim 10^{430}$ меньше предыдущего (порядок я прикидывал в уме, он должен быть заметно занижен), т.е. с любыми практически значимыми целями исходного приближения более чем достаточно.

@Royal_X · 19.09.2025, 19:50

ФедосеевПавел, кстати, судя по твоему посту, ты сам искал это приближение, за что респект.

Но, если что, WM это делает одной командой. Ну это типа на будущее, чтобы впредь не тратил время.

Code
1
Asymptotic[1 - Sqrt[1 - Exp[-x]], x -> Infinity]

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{e^{-x}}{2}$

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Новый ноутбук volvo 07.12.2025 Всем привет. По скидке в "черную пятницу" взял себе новый ноутбук Lenovo ThinkBook 16 G7 на Амазоне: Ryzen 5 7533HS 64 Gb DDR5 1Tb NVMe 16" Full HD Display Win11 Pro	Музыка, написанная Искусственным Интеллектом volvo 04.12.2025 Всем привет. Некоторое время назад меня заинтересовало, что уже умеет ИИ в плане написания музыки для песен, и, собственно, исполнения этих самых песен. Стихов у нас много, уже вышли 4 книги, еще 3. . .	От async/await к виртуальным потокам в Python IndentationError 23.11.2025 Армин Ронахер поставил под сомнение async/ await. Создатель Flask заявляет: цветные функции - провал, виртуальные потоки - решение. Не threading-динозавры, а новое поколение лёгких потоков. Откат?. . .	Поиск "дружественных имён" СОМ портов Argus19 22.11.2025 Поиск "дружественных имён" СОМ портов На странице: https:/ / norseev. ru/ 2018/ 01/ 04/ comportlist_windows/ нашёл схожую тему. Там приведён код на С++, который показывает только имена СОМ портов, типа,. . .	Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Programma_Boinc 20.11.2025 Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Вот решила сделать интересный приблизительный подсчет, сколько государство потратило на меня денег на покупку инсулинов. . . .
Ломающие изменения в C#.NStar Alpha Etyuhibosecyu 20.11.2025 Уже можно не только тестировать, но и пользоваться C#. NStar - писать оконные приложения, содержащие надписи, кнопки, текстовые поля и даже изображения, например, моя игра "Три в ряд" написана на этом. . .	Мысли в слух kumehtar 18.11.2025 Кстати, совсем недавно имел разговор на тему медитаций с людьми. И обнаружил, что они вообще не понимают что такое медитация и зачем она нужна. Самые базовые вещи. Для них это - когда просто люди. . .	Создание Single Page Application на фреймах krapotkin 16.11.2025 Статья исключительно для начинающих. Подходы оригинальностью не блещут. В век Веб все очень привыкли к дизайну Single-Page-Application . Быстренько разберем подход "на фреймах". Мы делаем одну. . .	Фото: Daniel Greenwood kumehtar 13.11.2025	Расскажи мне о Мире, бродяга kumehtar 12.11.2025 — Расскажи мне о Мире, бродяга, Ты же видел моря и метели. Как сменялись короны и стяги, Как эпохи стрелою летели. - Этот мир — это крылья и горы, Снег и пламя, любовь и тревоги, И бескрайние. . .

@ADnD 1 / 1 / 0 Регистрация: 05.12.2024 Сообщений: 60

	Как обнаружить потерю точности при умножении двух double 14.09.2025, 12:13. Показов 4297. Ответов 66 Метки c++ (Все метки) Добрый день, Пытаюсь разобраться для себя с такими интересными тонкостями вещественной арифметики, как потеря точности и переполнения. Со сложением и вычитанием ясно: если одно из чисел не равно 0, а результат равен второму - значит произошла потеря точности. Но как быть с умножением? Ведь там при потери точности произведение будет равно не одному из множителей, а просто некоему неправильному числу??? 0

@Royal_X 6092 / 2783 / 1037 Регистрация: 01.06.2021 Сообщений: 10,152
	19.09.2025, 19:43
	Igor3D, я сперва не понял, но сейчас норм. Запутала цитата, которая была в посте - про оценку погрешности. ФедосеевПавел просто преобразовал выражение, заменил на асимптотическое. Но тут же не оценка погрешности. 0