Как обнаружить потерю точности при умножении двух double

@ADnD · Регистрация: 05.12.2024

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Добрый день,

Пытаюсь разобраться для себя с такими интересными тонкостями вещественной арифметики, как потеря точности и переполнения. Со сложением и вычитанием ясно: если одно из чисел не равно 0, а результат равен второму - значит произошла потеря точности. Но как быть с умножением? Ведь там при потери точности произведение будет равно не одному из множителей, а просто некоему неправильному числу???

@Pphantom · 18.09.2025, 23:11

Сообщение от Royal_X

товарищи выше говорят, что полезнее оценить погрешность. Ну вот интересно узнать, как они будут оценивать эту погрешность и что это даст?

Этим можно заняться, но при подсчете такого выражения надо сначала не погрешность оценивать, а считать его разумным образом.

ФедосеевПавел · 19.09.2025, 19:08

Сообщение от Royal_X

А как оценишь погрешность для данного выражения?

По правде, после нескольких неудачных попыток вычислить его - домножил и разделил на сумму этих чисел, а потом воспользовался бы пределами
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?1-\sqrt{1-e^{-1000}}=\frac{(1-\sqrt{1-e^{-1000}})(1+\sqrt{1-e^{-1000}})}{1+\sqrt{1-e^{-1000}}}=\frac{1-(1-e^{-1000})}{1+\sqrt{1-e^{-1000}}}\approx \frac{e^{-1000}}{1+1}=\frac{1}{2}e^{-1000}$
Как-то так

Вот и те формулы, о которых говорил - делают подобные преобразования. И они уникальны для каждого случая, нет общей единой формулы.

@Royal_X · 19.09.2025, 19:31

ФедосеевПавел, преобразование, конечно, хорошее. Отличается от оригинального на ≈3.22*10^-870 и полученное выражение вычисляется очень легко.

C++
1
2
3
4
5
6
7
#include <iostream>
#include <cmath>
 
int main()
{
    std::cout<< 0.5 * expl(-1000);
}

выводит 2.53798e-435

ты справился с задачей

@Igor3D · 19.09.2025, 19:37

Сообщение от Royal_X

и что оно даст? Ну оценил погрешность, что потом?

Потом "я сам решу"

В моем примере возможны варианты, погрешность

- мала, никакой проблемы нет, все работает

- существенна. Ну может удастся ее компенсировать напр умышленным уменьшением радиуса

- худший случай, слишком велика. Возможно придется отказаться от такого способа расчета и искать другие. Во всяком случае, проблема мне известна

И вообще. А зачем это нужно? И нужно ли вообще? Такие вопросы нередко вполне разумны, но по сути это попытка "обойти" изначальную задачу. А может проще и лучше ее решить? (а не пытаться обходить)

@Royal_X · 19.09.2025, 19:43

Igor3D, я сперва не понял, но сейчас норм. Запутала цитата, которая была в посте - про оценку погрешности.
ФедосеевПавел просто преобразовал выражение, заменил на асимптотическое. Но тут же не оценка погрешности.

@Pphantom · 19.09.2025, 19:44

Сообщение от ФедосеевПавел

По правде, после нескольких неудачных попыток вычислить его - домножил и разделил на сумму этих чисел, а потом воспользовался бы пределами

Можно намного проще. При $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x \approx 0$ работает приближение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt{1-x} \approx 1 - \frac{x}{2}$ . Отсюда сразу же следует итоговый результат.

Соответственно, и погрешность можно оценить просто как остаток ряда Тейлора. В данном случае, впрочем, и этого не надо, поскольку каждый очередной член будет как минимум в $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?e^{1000} \sim 10^{430}$ меньше предыдущего (порядок я прикидывал в уме, он должен быть заметно занижен), т.е. с любыми практически значимыми целями исходного приближения более чем достаточно.

@Royal_X · 19.09.2025, 19:50

ФедосеевПавел, кстати, судя по твоему посту, ты сам искал это приближение, за что респект.

Но, если что, WM это делает одной командой. Ну это типа на будущее, чтобы впредь не тратил время.

Code
1
Asymptotic[1 - Sqrt[1 - Exp[-x]], x -> Infinity]

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{e^{-x}}{2}$

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Doom для терминала без стрельбы и монстров. 3D Raycasting на ascii. dcc0 05.07.2026 Попросил нейронную сеть deepai. org написать рейкастинг 3D с библиотекой ncurses для Linux. Чтобы можно было ходить на стрелочки. Чтобы стены были отрисованы символами. Справилась. Первый вариант. . .	Установка статуса документа по условию Maks 05.07.2026 Алгоритм из решения ниже реализован на нетиповом документе "НарядПутевка" разработанного в КА2. Задача: в табличной части "Материалы" документа при записи автоматически устанавливать статус. . .	Сезонность и суточность закисления почв anaschu 04.07.2026 200 часов это все равно моловато. Есть ситуации, но нестандартные, когда смена происходит за 5 лет. Но обычно это 50 лет и более. Наверное, закисление почвы происходит сезонно в средней. . .	В чем ценность человеческого опыта в глобальном смысле? kumehtar 03.07.2026 Возможно, ценность человека не в том, что он однажды достигает мудрости, а в том, что он становится носителем карты пути. Он знает не только истину, но и последовательность внутренних изменений,. . .
интеграция AnyLogic с самописным REST API и переход на Odoo anaschu 03.07.2026 Успешная интеграция AnyLogic с самописным REST API и переход на промышленную Odoo WMS Сегодня проделал огромный путь от простой симуляции физических процессов до построения полноценной. . .	Поиск всех путей на ориентированном графе. Linux dcc0 02.07.2026 Переработка старого кода из моей статьи. Через несколько переработок от PHP кода к C89 (надеюсь, 89). Но довольно запутанно получилось. Код для Linux. Но если убрать time и то, что с ним. . .	Сам себя обучал rest api anaschu 02.07.2026 Педагогический лайфхак: Почему чистый REST API для ученика намного круче, чем готовые библиотеки Когда мы отказались от капризного JAR-файла AnyLogic и переписали код на стандартный HttpClient,. . .	rest api anylogic - выполнение модели на своём русском сайте anaschu 02.07.2026 Как подружиться с AnyLogic Cloud API, победить провайдеров и развернуться Java-бэкенд в Docker на бесплатном хостинге: Двухдневный лог борьбы Всем привет! Хочу поделиться свежим (и довольно. . .

@ADnD 1 / 1 / 0 Регистрация: 05.12.2024 Сообщений: 60

	Как обнаружить потерю точности при умножении двух double 14.09.2025, 12:13. Показов 5189. Ответов 66 Метки c++ (Все метки) Добрый день, Пытаюсь разобраться для себя с такими интересными тонкостями вещественной арифметики, как потеря точности и переполнения. Со сложением и вычитанием ясно: если одно из чисел не равно 0, а результат равен второму - значит произошла потеря точности. Но как быть с умножением? Ведь там при потери точности произведение будет равно не одному из множителей, а просто некоему неправильному числу??? 0

@Royal_X 6303 / 3025 / 1053 Регистрация: 01.06.2021 Сообщений: 11,481
	19.09.2025, 19:43
	Igor3D, я сперва не понял, но сейчас норм. Запутала цитата, которая была в посте - про оценку погрешности. ФедосеевПавел просто преобразовал выражение, заменил на асимптотическое. Но тут же не оценка погрешности. 0