Нахождение корней уравнения методом обратного интерполирования

@Betokuha · Регистрация: 05.03.2012

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Помощь нужна! кто можеть помогите

@UFO94 · 15.05.2012, 17:27

1) Определяете отрезок, на котором:
а) Лежит ваш корень
б) Функция взаимооднозначна
2) Делаете разбиение по x в зависимости от заданой точности
3) Делаете интерполяцию для функции x(y).
4) Находите ее значение в точке y=0.
P.S.: Этот вопрос ближе к численным методам, чем к вопросам по c\c++

@Betokuha · 15.05.2012, 18:03 **[ТС]**

Spasibo

, mne nado programma na C++

@UFO94 · 15.05.2012, 18:09

А интерполяция чем?

@Betokuha · 16.05.2012, 07:10 **[ТС]**

hehe я не знаю точно, задача такая дана

@UFO94 · 17.05.2012, 11:12

Окей. Самый грубый вариант. Интерполяция прямыми.
1) Делаем разбиение оси x, и делаем табличку x | y. От каждой точки к каждой следующей проводим отрезок. Итого, мы заменили функцию ломаной.
2) Смотрим, где коэфициент прямой меняется с положительного на отрицательный или наоборот. Это -- точка экстремума. Между экстремумами -- промежутки монотонности.
3) Проверяем промежутки монотонности, нас интересуют только те, у которых на концах функция разных знаков.
4) На каждом таком промежутке можно сделать новое, более точное разбиение, но это не обязательно. В итоге, у нас есть табличка x | y (старая или только что полученая), мы на нее смотрим как на табличку y | x, и делаем интерполяцию (эту желательно поточнее). Далее ищем, чему равна наша интерполяция в точке 0. И ответ готов.
Программу просто писать долго...

@UFO94 · 23.05.2012, 01:39

Например, у нас уже есть отрезок монотонности функции. [a;b]. Тогда делаем так:

C++
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
float acc=0;
//Делаем ввод точности с клавиатуры. Точность не менее 0.000001
float h=sqrt(acc);//Шаг разбиения
int n=(b-a)/h+1;
float* x=new float[n];
float* y=new float[n];
for(int i=0; i<n; i++)
{
x[i]=a+i*h;
y[i]=F(x);//float F(float x) -- ваша функция
}
float y0=spline(y,x,n,0);//y0 -- ответ

Функция spline:

C++
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
float spline(float* x, float* y, int n, float x0)//Интерполяция таблицы x,y (n точек) сплайнами и нахождение значения сплайна в точке x0
{
    float* *a=new float*[n-2];
            for(int i=0; i<n-2; i++)
            {
                a[i]=new float[n-2];
                for(int j=0; j<n-2; j++)
                    if(i==j)
                        a[i][j]=(x[i+2]-x[i])/3;
                    else if(i==j+1)
                        a[i][j]=(x[i+1]-x[i])/6;
                    else if(i==j-1)
                        a[i][j]=(x[i+2]-x[i+1])/6;
                    else a[i][j]=0;
            }
            float* b=new float[n-2];
            for(int i=0; i<n-2; i++)
                b[i]=(y[i+2]-y[i+1])/(x[i+2]-x[i+1])-(y[i+1]-y[i])/(x[i+1]-x[i]);
            float* y1=calc(a,b,n-2);
            delete b;
            b=new float[n];
            for(int i=1; i<n-1; i++)
                b[i]=y1[i-1];
            b[0]=0;
            b[n-1]=0;
            delete y1;
            float* *coef=new float*[n-1];
            for(int i=0; i<n-1; i++)
                coef[i]=new float[4];
            for(int i=0; i<n-1; i++)
            {
                coef[i][0]=(b[i+1]-b[i])/(6*(x[i+1]-x[i]));
                coef[i][1]=-(b[i+1]*x[i]-b[i]*x[i+1])/(2*(x[i+1]-x[i]));
                coef[i][2]=(b[i+1]*x[i]*x[i]-b[i]*x[i+1]*x[i+1])/(2*(x[i+1]-x[i]));
                coef[i][3]=-(b[i+1]*x[i]*x[i]*x[i]-b[i]*x[i+1]*x[i+1]*x[i+1])/(6*(x[i+1]-x[i]));
                coef[i][2]+=(b[i]-b[i+1])*(x[i+1]-x[i])/6;
                coef[i][3]+=(b[i+1]*x[i]-b[i]*x[i+1])*(x[i+1]-x[i])/6;
                coef[i][2]+=(y[i+1]-y[i])/(x[i+1]-x[i]);
                coef[i][3]+=(y[i]*x[i+1]-y[i+1]*x[i])/(x[i+1]-x[i]);
            }
            delete b;
            delete a;
            delete y;
            for(int i=0; i<n-1; i++)
                if(((x0>=x[i])&&(x0<=x[i+1]))||((x0<=x[i])&&(x0>=x[i+1])))
                {
                    float y0=((coef[i][0]*x0+coef[i][1])*x0+coef[i][2])*x0+coef[i][3];
                    return y0;
                }
}

Функция calc:

C++
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
float* calc(float* *a,float* b, int n)//Нахождение решения матричного уравнения A*|x>=|b> методом LU-разбиения
{
float* *l=new float*[n];
float* *u=new float*[n];
for(int i=0; i<n; i++)
{
    u[i]=new float[n];
    l[i]=new float[n];
    for(int j=0; j<n; j++)
    {
        u[i][j]=0;
        l[i][j]=0;
    }
}
for(int i=0; i<n; i++)
{
    u[i][i]=1;
    for(int j=i; j<n; j++)
    {
        l[j][i]=a[j][i];
        for(int k=0; k<i; k++)
            l[j][i]=l[j][i]-l[j][k]*u[k][i];
    }
    for(int j=i+1; j<n; j++)
    {
        u[i][j]=a[i][j];
        for(int k=0; k<i; k++)
            u[i][j]=u[i][j]-l[i][k]*u[k][j];
        u[i][j]=u[i][j]/l[i][i];
    }
}
float* y=new float[n];
for(int i=0; i<n; i++)
{
    y[i]=b[i];
    for(int j=0; j<i; j++)
        y[i]=y[i]-l[i][j]*y[j];
    y[i]=y[i]/l[i][i];
}
float* x=new float[n];
for(int i=n-1; i>=0; i--)
{
    x[i]=y[i];
    for(int j=i+1; j<n; j++)
        x[i]=x[i]-u[i][j]*x[j];
    x[i]=x[i]/u[i][i];
}
delete l;
delete u;
delete y;
return x;
}

@UFO94 · 25.05.2012, 13:15

C++
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
#include <stdio.h>
#include <conio.h>
 
float F(float x)
{
//Пишете сюда вычисление значения своей функции
}
 
float spline(float* x, float* y, int n, float x0)//Интерполяция таблицы x,y (n точек) сплайнами и нахождение значения сплайна в точке x0
{
    float* *a=new float*[n-2];
            for(int i=0; i<n-2; i++)
            {
                a[i]=new float[n-2];
                for(int j=0; j<n-2; j++)
                    if(i==j)
                        a[i][j]=(x[i+2]-x[i])/3;
                    else if(i==j+1)
                        a[i][j]=(x[i+1]-x[i])/6;
                    else if(i==j-1)
                        a[i][j]=(x[i+2]-x[i+1])/6;
                    else a[i][j]=0;
            }
            float* b=new float[n-2];
            for(int i=0; i<n-2; i++)
                b[i]=(y[i+2]-y[i+1])/(x[i+2]-x[i+1])-(y[i+1]-y[i])/(x[i+1]-x[i]);
            float* y1=calc(a,b,n-2);
            delete b;
            b=new float[n];
            for(int i=1; i<n-1; i++)
                b[i]=y1[i-1];
            b[0]=0;
            b[n-1]=0;
            delete y1;
            float* *coef=new float*[n-1];
            for(int i=0; i<n-1; i++)
                coef[i]=new float[4];
            for(int i=0; i<n-1; i++)
            {
                coef[i][0]=(b[i+1]-b[i])/(6*(x[i+1]-x[i]));
                coef[i][1]=-(b[i+1]*x[i]-b[i]*x[i+1])/(2*(x[i+1]-x[i]));
                coef[i][2]=(b[i+1]*x[i]*x[i]-b[i]*x[i+1]*x[i+1])/(2*(x[i+1]-x[i]));
                coef[i][3]=-(b[i+1]*x[i]*x[i]*x[i]-b[i]*x[i+1]*x[i+1]*x[i+1])/(6*(x[i+1]-x[i]));
                coef[i][2]+=(b[i]-b[i+1])*(x[i+1]-x[i])/6;
                coef[i][3]+=(b[i+1]*x[i]-b[i]*x[i+1])*(x[i+1]-x[i])/6;
                coef[i][2]+=(y[i+1]-y[i])/(x[i+1]-x[i]);
                coef[i][3]+=(y[i]*x[i+1]-y[i+1]*x[i])/(x[i+1]-x[i]);
            }
            delete b;
            delete a;
            delete y;
            for(int i=0; i<n-1; i++)
                if(((x0>=x[i])&&(x0<=x[i+1]))||((x0<=x[i])&&(x0>=x[i+1])))
                {
                    float y0=((coef[i][0]*x0+coef[i][1])*x0+coef[i][2])*x0+coef[i][3];
                    return y0;
                }
}
 
float* calc(float* *a,float* b, int n)//Нахождение решения матричного уравнения A*|x>=|b> методом LU-разбиения
{
float* *l=new float*[n];
float* *u=new float*[n];
for(int i=0; i<n; i++)
{
    u[i]=new float[n];
    l[i]=new float[n];
    for(int j=0; j<n; j++)
    {
        u[i][j]=0;
        l[i][j]=0;
    }
}
for(int i=0; i<n; i++)
{
    u[i][i]=1;
    for(int j=i; j<n; j++)
    {
        l[j][i]=a[j][i];
        for(int k=0; k<i; k++)
            l[j][i]=l[j][i]-l[j][k]*u[k][i];
    }
    for(int j=i+1; j<n; j++)
    {
        u[i][j]=a[i][j];
        for(int k=0; k<i; k++)
            u[i][j]=u[i][j]-l[i][k]*u[k][j];
        u[i][j]=u[i][j]/l[i][i];
    }
}
float* y=new float[n];
for(int i=0; i<n; i++)
{
    y[i]=b[i];
    for(int j=0; j<i; j++)
        y[i]=y[i]-l[i][j]*y[j];
    y[i]=y[i]/l[i][i];
}
float* x=new float[n];
for(int i=n-1; i>=0; i--)
{
    x[i]=y[i];
    for(int j=i+1; j<n; j++)
        x[i]=x[i]-u[i][j]*x[j];
    x[i]=x[i]/u[i][i];
}
delete l;
delete u;
delete y;
return x;
}
 
int main()
{
printf("Input borders of interval\n");
float a=0;
float b=0;
scanf("%f%f",&a,&b);
float tol=0;
printf("Input tolerance\n");
scanf("%f",&tol);
float h=sqrt(acc);//Шаг разбиения
int n=(b-a)/h+1;
float* x=new float[n];
float* y=new float[n];
for(int i=0; i<n; i++)
{
x[i]=a+i*h;
y[i]=F(x);//float F(float x) -- ваша функция
}
float y0=spline(y,x,n,0);//y0 -- ответ
printf("Radical is %f\n",y0);
getch();
return 0;
}

15.06.2012, 17:47

Betokuha, У меня такая же тема по курсовой. Если сделаешь скинь мне или напиши в скайп или же http://vk.com/id101332538

@UFO94 · 15.06.2012, 19:28

Бекмырза, так а что собственно надо? Код -- вот он! Просто вписываешь в функцию F подсчет значения твоей функции.

16.06.2012, 18:42

UFO94, У меня чуток другая тема курсовой. "Нахождение корней нелинейного уравнения методом обратного интерполирования". Что делать? В чем разница?

@_Лёша_ · 03.11.2012, 22:55

Сообщение от UFO94

Бекмырза, так а что собственно надо? Код -- вот он! Просто вписываешь в функцию F подсчет значения твоей функции.

А если у меня просто задание "Нахождение корней уравнения методом обратного интерполирования." без функций, то как мне быть? Не могли бы вы написать рабочий пример какой-нибудь, а то я не могу найти никакой инфы по этому методу и, что еще хуже знаю только vb.net, спасибо заранее!

@UFO94 · 07.11.2012, 13:20

Переносишь все в правую сторону и получаешь уравнение вида F(x)=0

@_Лёша_ · 09.11.2012, 21:38

Сообщение от UFO94

Переносишь все в правую сторону и получаешь уравнение вида F(x)=0

уже не актуально)

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
SDL3 для Desktop (MinGW): Создаём пустое окно с нуля для 2D-графики на SDL3, Си и C++ 8Observer8 10.03.2026 Содержание блога Финальные проекты на Си и на C++: hello-sdl3-c. zip hello-sdl3-cpp. zip Результат:	Установка CMake и MinGW 13.1 для сборки С и C++ приложений из консоли и из Qt Creator в EXE 8Observer8 10.03.2026 Содержание блога MinGW - это коллекция инструментов для сборки приложений в EXE. CMake - это система сборки приложений. Здесь описаны базовые шаги для старта программирования с помощью CMake и. . .	Как дизайн сайта влияет на конверсию: 7 решений, которые реально повышают заявки Neotwalker 08.03.2026 Многие до сих пор воспринимают дизайн сайта как “красивую оболочку”. На практике всё иначе: дизайн напрямую влияет на то, оставит человек заявку или уйдёт через несколько секунд. Даже если у вас. . .	Модульная разработка через nuget packages DevAlt 07.03.2026 Сложившийся в . Net-среде способ разработки чаще всего предполагает монорепозиторий в котором находятся все исходники. При создании нового решения, мы просто добавляем нужные проекты и имеем. . .
Модульный подход на примере F# DevAlt 06.03.2026 В блоге дяди Боба наткнулся на такое определение: В этой книге («Подход, основанный на вариантах использования») Ивар утверждает, что архитектура программного обеспечения — это структуры,. . .	Управление камерой с помощью скрипта OrbitControls.js на Three.js: Вращение, зум и панорамирование 8Observer8 05.03.2026 Содержание блога Финальная демка в браузере работает на Desktop и мобильных браузерах. Итоговый код: orbit-controls-threejs-js. zip. Сканируйте QR-код на мобильном. Вращайте камеру одним пальцем,. . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Синхронизация спрайтов SDL3 и тел Box2D 8Observer8 04.03.2026 Содержание блога Финальная демка в браузере. Итоговый код: finish-sync-physics-sprites-sdl3-c. zip На первой гифке отладочные линии отключены, а на второй включены:. . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Идентификация объектов на Box2D v3 - использование userData и событий коллизий 8Observer8 02.03.2026 Содержание блога Финальная демка в браузере. Итоговый код: finish-collision-events-sdl3-c. zip Сканируйте QR-код на мобильном и вы увидите, что появится джойстик для управления главным героем. . . .

@Betokuha 32 / 29 / 1 Регистрация: 05.03.2012 Сообщений: 114

	Нахождение корней уравнения методом обратного интерполирования 15.05.2012, 11:08. Показов 6024. Ответов 13 Метки нет (Все метки) Помощь нужна! кто можеть помогите 0

@UFO94 267 / 256 / 23 Регистрация: 04.04.2012 Сообщений: 546
	15.05.2012, 17:27
	1) Определяете отрезок, на котором: а) Лежит ваш корень б) Функция взаимооднозначна 2) Делаете разбиение по x в зависимости от заданой точности 3) Делаете интерполяцию для функции x(y). 4) Находите ее значение в точке y=0. P.S.: Этот вопрос ближе к численным методам, чем к вопросам по c\c++ 1

@Betokuha 32 / 29 / 1 Регистрация: 05.03.2012 Сообщений: 114
	15.05.2012, 18:03 [ТС]
	Spasibo , mne nado programma na C++ 0

@UFO94 267 / 256 / 23 Регистрация: 04.04.2012 Сообщений: 546
	15.05.2012, 18:09
	А интерполяция чем? 0

@Betokuha 32 / 29 / 1 Регистрация: 05.03.2012 Сообщений: 114
	16.05.2012, 07:10 [ТС]
	hehe я не знаю точно, задача такая дана 0

@UFO94 267 / 256 / 23 Регистрация: 04.04.2012 Сообщений: 546
	17.05.2012, 11:12
	Окей. Самый грубый вариант. Интерполяция прямыми. 1) Делаем разбиение оси x, и делаем табличку x \| y. От каждой точки к каждой следующей проводим отрезок. Итого, мы заменили функцию ломаной. 2) Смотрим, где коэфициент прямой меняется с положительного на отрицательный или наоборот. Это -- точка экстремума. Между экстремумами -- промежутки монотонности. 3) Проверяем промежутки монотонности, нас интересуют только те, у которых на концах функция разных знаков. 4) На каждом таком промежутке можно сделать новое, более точное разбиение, но это не обязательно. В итоге, у нас есть табличка x \| y (старая или только что полученая), мы на нее смотрим как на табличку y \| x, и делаем интерполяцию (эту желательно поточнее). Далее ищем, чему равна наша интерполяция в точке 0. И ответ готов. Программу просто писать долго... 1

Бекмырза
	15.06.2012, 17:47
	Betokuha, У меня такая же тема по курсовой. Если сделаешь скинь мне или напиши в скайп или же http://vk.com/id101332538

@UFO94 267 / 256 / 23 Регистрация: 04.04.2012 Сообщений: 546
	15.06.2012, 19:28
	Бекмырза, так а что собственно надо? Код -- вот он! Просто вписываешь в функцию F подсчет значения твоей функции. 0

Бекмырза
	16.06.2012, 18:42
	UFO94, У меня чуток другая тема курсовой. "Нахождение корней нелинейного уравнения методом обратного интерполирования". Что делать? В чем разница?

@UFO94 267 / 256 / 23 Регистрация: 04.04.2012 Сообщений: 546
	07.11.2012, 13:20
	Переносишь все в правую сторону и получаешь уравнение вида F(x)=0 1