Удаление элементов управления по нажатию кнопки

button1->Visible=false; // кнопка пропала
// тут обозвали кнопку по-новому (у Вас такие строки уже в коде есть)
button1->Visible=true; // кнопка появилась с новой надписью

void AddMyGroupBox(int yLoc, String^ str)
{
    Panel^ panel1 = gcnew Panel;
    Label^ label1 = gcnew Label;
    TextBox^ textBox1 = gcnew TextBox;
    Button^ button1 = gcnew Button;
 
    panel1->Size = System::Drawing::Size(220, 60);
    label1->Text = str;
    textBox1->Width = 100;
    button1->Text = "Удалить";
 
    panel1->Location = Point(15, yLoc);
    label1->Location = Point(5,5);
    textBox1->Location = Point(10,30);
    button1->Location = Point(130,30);
            
    panel1->Controls->Add( label1 );
    panel1->Controls->Add( textBox1 );
    panel1->Controls->Add( button1 );
    panel1->Left = 15;
    panel1->BackColor = Color::White;
 
    this->Controls->Add( panel1 );
 
    button1->Click += gcnew System::EventHandler(this, &Form1::button_Click);
}
private: void button_Click(System::Object^  sender, System::EventArgs^  e){
    Controls->Remove( ((Button^)sender)->Parent );
}
private: System::Void Form1_Load(System::Object^  sender, System::EventArgs^  e) {
        AddMyGroupBox(15,   "Группа 1");
    AddMyGroupBox(105, "Группа 2");
}