Как не используя таймер и потоки можно выставить таймаут метода

private void TaskWritInDB(Task task)
    {
...
      try
      {
...
                var unloadCashRequest = new UnloadCashRequest(dateBegin, dateEnd);
...
}

Thread thrd = new Thread(/* Ваш рапрос */);
thrd.Start();
endTime = Environment.TickCount + (1000 * 300);
while(Environment.TickCount < endTime || thrd.ThreadState != ThreadState.Running); //Ожидаем пока поток не остановится или не выйдет время

static void CallWithTimeout(Action action, int timeoutMilliseconds)
    {
        Thread threadToKill = null;
        Action wrappedAction = () =>
        {
            threadToKill = Thread.CurrentThread;
            action();
        };
 
        IAsyncResult result = wrappedAction.BeginInvoke(null, null);
        if (result.AsyncWaitHandle.WaitOne(timeoutMilliseconds))
        {
            wrappedAction.EndInvoke(result);
        }
        else
        {
            threadToKill.Abort();
            throw new TimeoutException();
        }
    }

TimeSpan time = TimeSpan.FromMinutes(5);
CallWithTimeout(/* Запрос */, time.Milliseconds);

time.Milliseconds

Convert.ToInt32(time.TotalMilliseconds)

private async void TaskWritInDB(Task task)
    {
...
      try
      {
...
                await var unloadCashRequest = new UnloadCashRequest(dateBegin, dateEnd);
...
}