Через какое минимальное количество точек можно провести один и только один эллипс?

Здравствуйте.
Если я не ошибаюсь, то по трём точкам, не лежащим на одной прямой, можно построить проходящую через них окружность, причём, одну и только одну.
Ах да. Все построения происходят на плоскости.
Соединив две любые точки отрезком прямой, получаем хорду. Строим перпендикулярную ей прямую, проходящую через её (хорды то есть) середину.
Соединяем одну из точек, участвовавших в предыдущем построении, с третьей точкой. Тоже отрезком прямой. Получаем ещё одну хорду. Снова строим через её середину перпендикуляр.
Точка пересечения перпендикуляров будет центром окружности. И всё, для проведения окружности достаточно любой из имеющихся точек и вычисленного центра.
Данный способ построения окружности может применяться в картографии, когда нужно нанести на карту существующий объект местности, имеющий в плане форму круга. Например, дорогу с круговым движением или здание.
Теперь собственно вопрос. А как быть с объектами, которые в плане имеют форму эллипса? Через какое минимальное количество точек можно провести один и только один эллипс?
Спасибо!

Добавлено через 14 минут
Какие мысли возникают у меня самого.
Если я не ошибаюсь (поправьте меня, пожалуйста, если что), то для проведения окружности по трём точкам на плоскости есть только одно требование: эти точки не должны лежать на одной прямой. Хотя бы потому, что перпендикуляры будут параллельны друг другу и не пересекутся никогда.
И вообще, в данном случае мы имеем дело с окружностью, описанной около треугольника.
С эллипсами сложнее.
У каждого эллипса есть два фокуса. Если взять любую лежащую на эллипсе точку и измерить расстояния от этой точки до одного фокуса и до другого, а потом эти расстояния сложить, то сумма будет постоянной --- независимо от того, какую именно точку на эллипсе мы выбрали.
И вот на плоскости имеются n произвольных точек. Ну не совсем произвольных: никакие три из них не лежат на одной прямой. Пока единственное исключение.
Так вот. Имеем множество точек на плоскости. Никакие три из них не лежат на одной прямой.
И можно ли для всех этих точек найти такие две, чтобы они послужили фокусами будущего эллипса?
По-моему, нет...

0

"

Сообщение от aaamibor Теперь собственно вопрос. А как быть с объектами, которые в плане имеют форму эллипса? Через какое минимальное количество точек можно провести один и только один эллипс? Спасибо!

Ни через какое. Таков получается ответ. (Каков вопрос - таков ответ.)
В самом деле, бывают 4 точки, через которых можно провести два эллипса, так что 4 ответом не являются. А детские впечатления с лекций по аналитической геометрии подсказывают нам, что "существует одна и только одна кривая 2-го порядка, проходящая через пять точек, из которых никакие три не лежат на одной прямой" То есть бывают пять точек, через которых проходит единственная кривая второго порядка, которая оказалась параболой, скажем. То есть никакой эллипс через них не проходит. Так что число 5 тоже ответом не является.

1

Mea culpa, колледжский и университетский курсы математики забыл. Сейчас вот по работе требуется всё вспоминать, порой обращаться к помощи, вот как сейчас.
И да, я сам уже прихожу к выводу, что ни через какое.

Сообщение от palva То есть бывают пять точек, через которых проходит единственная кривая второго порядка, которая оказалась параболой, скажем.

Ну можно же подобрать пять точек, через которые парабола ну никак не может пройти. А эллипс может. Но всё равно, насколько полезен этот факт...

0

Сообщение от palva Ни через какое. Таков получается ответ. (Каков вопрос - таков ответ.)

А я бы ответил, что на такой вопрос нет никакого ответа, потому что он сформулирован нечётко. Возможно (и я даже подозреваю), имелось в виду вот что: "Каково минимальное число точек, которые можно расположить на плоскости так, чтобы через них проходил только один эллипс?"

0

Сообщение от eropegov Каково минимальное число точек, которые можно расположить на плоскости так, чтобы через них проходил только один эллипс?

Вот-вот. Именно то, что имелось в виду. Прошу прощения, нечётко изложил.

0

eropegov, будьте добры ответьте на свой же вопрос. Для меня школа была наказанием, а ответ узнать ну очень интересно.

0

Сообщение от gogaloh eropegov, будьте добры ответьте на свой же вопрос.

Да я так навскидку-то и не скажу. Наверное, 4. Но это не точно.

0

Сообщение от eropegov Но это не точно.

Почему же не точно? Очень даже точно. Через 4 точки, расположенные в вершинах ромба можно провести ровно 1 эллипс.

0

Ну а если четыре точки в вершинах прямоугольника, то сразу видно два эллипса.

Добавлено через 3 минуты
кот Бегемот, хотя это, конечно, не возражение. На вопрос eropegov, вы ответили.

0

Ответ, отмеченный как лучший, является неверным ответом. "Ни через какое" - это не ответ вовсе.
По теореме Безу https://ru.wikipedia.org/wiki/... %B8%D1%8F)
Два эллипса могут пересекаться максимум в 4 точках. Это значит, что если у нас есть 5 точек, то через них может проходить один и только 1 эллипс. (Или ни одного, если среди этих 5 есть 3 точки лежащие на одной прямой ).

0

Очевидно, что в общем случае - требуются пять точек, так как у нас пять неизвестных: четыре координаты для двух фокусов и общая одинаковая сумма расстояний от точки эллипса до этих фокусов.

1

Сообщение от кот Бегемот Почему же не точно? Очень даже точно. Через 4 точки, расположенные в вершинах ромба можно провести ровно 1 эллипс.

Вот эллипсы, построенные через вершины ромба. Их можно построить бесконечно много, 3 это не предел .

Миниатюры

 

0

Сообщение от Cont Вот эллипсы, построенные через вершины ромба. Их можно построить бесконечно много, 3 это не предел

Совершенно верно. Надо просто договориться о терминах.
Говоря об одном эллипсе я имел ввиду классический вид эллипса с осями направленными вдоль осей координат и определяемый каноническим уравнением.

0