Определить тип кривой второго порядка

@NixoNT · Регистрация: 16.12.2019

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Определить тип кривой второго порядка. Найти координаты её центра (если он есть), фокуса (фокусов) и уравнение директрисы (директрис). Система координат прямоугольная.
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{cases} x^2 + y^2 = 2z; \\ z - y = 2.\end{cases}$

@angor6 · 14.03.2020, 11:46

Из второго уравнения получим $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z=y+2$ и подставим в первое уравнение. Тогда

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x^2+y^2=2(y+2),$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x^2+y^2-2y=4,$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x^2+y^2-2y+1=5,$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x^2+(y-1)^2=5,$

то есть заданная кривая -- ... с центром в точке ...

@kabenyuk · 14.03.2020, 14:32

Сообщение от angor6

с центром в точке

Однако, думаю, что с большой долей вероятности ТС не сможет определить точку, где находится центр нашей кривой и уж тем более где там у нее фокусы и каковы уравнения директрис. NixoNT, попробуйте опровергнуть мои предположения.

@NixoNT · 14.03.2020, 14:45 **[ТС]**

ну центр находится в (0,1), фокусы у окружности равны 0,а директрисы уходят на бесконечность вроде как, так как эксцентриситет = 0, я прав?

@angor6 · 14.03.2020, 14:54

NixoNT,

Сообщение от NixoNT

фокусы у окружности равны 0

Это небрежное высказывание. Не позволяйте себе этого. По-моему, правильно так: "Расстояния между фокусами у окружности равны нулю".

@kabenyuk · 14.03.2020, 17:17

Сообщение от NixoNT

ну центр находится в (0,1)

Собственно я так и думал. Это обычное заблуждение, которое, впрочем, означает, что вы забыли условие задачи. Прочитайте его еще раз. Ну а чтобы толкнуть вас в нужную сторону - посмотрите сколько координат имеет каждая точка в условии задачи. И это не единственное ваше заблуждение.

@NixoNT · 14.03.2020, 18:06 **[ТС]**

центр получается находится в (0,1 ,3), но больше заблуждений я не вижу, может быть вы мне поможете?

@kabenyuk · 14.03.2020, 18:32

Сообщение от NixoNT

не вижу

А вот скажите мне, пожалуйста, вот то уравнение "окружности", которое приводит уважаемый angor6, в какой системе координат? Ведь в плоскости z-y=2 никто нам никакой системы координат не вводил. Надеюсь вы понимаете, что значит ввести систему координат и что если нет системы координат, то и нет никаких уравнений.

@NixoNT · 14.03.2020, 18:41 **[ТС]**

то есть нужно ввести систему координат, где уравнение z-y = 2 должно быть одной из осей системы?

@angor6 · 14.03.2020, 19:51

NixoNT, $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z-y=2$ , или $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?-y+z-2=0$ -- это уравнение плоскости. Не спешите, подумайте, как расположена заданная кривая.

Добавлено через 57 минут
NixoNT, уравнение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x^2+y^2=2z$ задаёт эллиптический параболоид. В сечениях этого параболоида плоскостями $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z=h,$ где $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?h>0$ , лежат окружности. В Вашем случае секущая плоскость расположена иначе...

Сделайте рисунок, чтобы было проще рассуждать.

NixoNT, по моим представлениям, уравнение к которому я Вас подвёл, -- это уравнение проекции заданной кривой на плоскость $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?Oxy$ . Я предполагал, что используя его, можно вывести и каноническое уравнение заданной кривой. Надеюсь, что тут я ничего не напутал.

Можно поступить иначе, то есть выполнить следующее:
1) перейти к такой системе координат, в которой данная плоскость была бы плоскостью $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?Oxy$ , то есть $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z=0$ ;
2) вывести в этой системе координат уравнение заданного эллиптического параболоида;
3) решить систему двух полученных выше уравнений. В результате получится уравнение, которому удовлетворяют точки заданной кривой.
Этот способ предлагает П. С. Александров в книге "Лекции по аналитической геометрии". Сумеете ли Вы самостоятельно перейти к "новой" системе координат?

@NixoNT · 15.03.2020, 08:21 **[ТС]**

Изначально, я так и решал, но тогда я где-то запутался при переходе от новых координат к старым, поэтому сейчас не чувствую себя уверенным.в этом методе

@angor6 · 15.03.2020, 08:25

NixoNT, я сейчас не располагаю временем, чтобы показать Вам, как выполнить преобразование. Как только появится возможность, постараюсь сделать это, если Вы ещё не справитесь самостоятельно.

@Nacuott · 15.03.2020, 16:48

Пересечение параболоида с плоскостью дает эллипс.
Параметрическое уравнение (уравнения) см.картинку.
Зная длины полуосей, легко находятся фокусы и директрисы эллипса.

@angor6 · 16.03.2020, 14:16

NixoNT, я предполагаю, что для решения задачи можно поступить так:
1) перейти к системе координат $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?O'x'y'$ , такой, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=x'$ , $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=y'$ , $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z=z'+2$ . В этой системе координат уравнения параболоида и секущей плоскости принимают следующие виды соответственно: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x'}^2+{y'}^2=2(z'+2)$ , $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z'-y'=0$ ;
2) перейти к системе координат $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?O''x''y''$ , такой, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x'=x''$ , $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y'=\frac{\sqrt{2}}{2} y''-\frac{\sqrt{2}}{2} z''$ , $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z'=\frac{\sqrt{2}}{2} y''+\frac{\sqrt{2}}{2} z''$ . В этой системе координат уравнения параболоида и секущей плоскости принимают следующие виды соответственно: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x''}^2+(\frac{\sqrt{2}}{2} y''-\frac{\sqrt{2}}{2} z'')^2=2(\frac{\sqrt{2}}{2} y''+\frac{\sqrt{2}}{2} z''+2)$ , $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z''=0$ . Подставляя выражение для $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z''$ в уравнение параболоида, получим уравнение заданной линии в таком виде: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{{x''}^2}{5}+\frac{(y''-\sqrt{2})^2}{10}=1$ ;
3) перейти к системе координат $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?O'''x'''y'''$ , такой, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x''=x'''$ , $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y''=y'''+\sqrt{2}$ , $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z''=z'''$ . В этой системе координат уравнение заданной линии имеет вид $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{{x'''}^2}{5}+\frac{{y'''}^2}{10}=1$ , то есть эта линия представляет собой эллипс.

Вам нужно восстановить пропущенные выкладки, попутно проверив полученные мной результаты, поскольку гарантировать Вам их правильность я не берусь. Я надеюсь, что имея каноническое уравнение эллипса, Вы сумеете продолжить решение задачи самостоятельно.

Извините за задержку с обещанной помощью. Полдня сегодня был отключен университетский сервер.

@Nacuott · 16.03.2020, 19:37

angor6, а где же уравнение эллипса, для которого нужно найти центр, фокусы и директрисы?

@kabenyuk · 16.03.2020, 19:39

Сообщение от angor6

отключен университетский сервер

Переходим на дистанционное образование, однако

@angor6 · 16.03.2020, 20:27

Сообщение от Nacuott

angor6, а где же уравнение эллипса, для которого нужно найти центр, фокусы и директрисы?

Nacuott, в последней формуле моего предыдущего сообщения. Прочитайте, пожалуйста, его внимательнее.

@Nacuott · 16.03.2020, 22:52

Сообщение от angor6

Nacuott, в последней формуле моего предыдущего сообщения. Прочитайте, пожалуйста, его внимательнее.

Так центр, найденного вами эллипса, находится в нуле, а того, что задан ТС в т. (0;1;3).
Аналогично для фокусов и директрис

@angor6 · 17.03.2020, 08:22

Nacuott, автор вопроса определил не координаты центра эллипса, а, если я не ошибаюсь, координаты центра проекции заданной кривой на плоскость, параллельную плоскости $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?Oxy$ и проходящую через центр эллипса. Каноническая система координат для эллипса иная. Попробуйте вычислить координаты центра эллипса в системе $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?Oxy$ .

@kabenyuk · 17.03.2020, 14:32

Сообщение от angor6

автор вопроса определил не координаты центра

И все-таки (0,1,3) - это координаты центра нашего эллипса.
Можно, конечно, переходить к новой системе координат и это правильный путь, только не стоит гнаться за плоскостью z=0.
Можно еще воспользоваться тем, что большая ось эллипса - это максимальная его хорда. В самом деле,
1) запишем уравнение произвольной прямой L, лежащей в плоскости z-y=2 параметрически: x=at, y=t+1, z=t+3 (тут надо осознать, что всегда есть именно такие параметрические уравнения, ну и то, что (0,1,3) лежит в нашей плоскости);
2) найдем точки пересечения прямой L и заданной поверхности
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\small(rt)^2+(t+1)^2=2t+6\Rightarrow t=\pm\frac{\sqrt5}{\sqrt{r^2+1}};$
3) таким образом точки пересечения нашей прямой и поверхности
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\small A=\left(r\frac{\sqrt5}{\sqrt{r^2+1}},\frac{\sqrt5}{\sqrt{r^2+1}}+1,\frac{\sqrt5}{\sqrt{r^2+1}}+3\right),\ B=\left(-r\frac{\sqrt5}{\sqrt{r^2+1}},-\frac{\sqrt5}{\sqrt{r^2+1}}+1,-\frac{\sqrt5}{\sqrt{r^2+1}}+3\right);$
одновременно видим, что центр угадали правильно - его координаты (А+В)/2=(0,1,3);
4) вычислим расстояние AB между точками пересечения
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\small AB^2=20\left(1+\frac{1}{r^2+1}\right);$
5) максимальным это расстояние будет, очевидно, при r=0 и оно равно $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\small \sqrt{40}$ ;
6) значит большая ось нашего эллипса имеет уравнения:
x=0, y=t+1, z=t+3, а большая полуось равна $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\small a=\sqrt{10}$ ;
6) теперь выписываем параметрические уравнения малой оси x=t, y=1, z=3 (она ортогональна большой и проходит через ее середину);
7) точки пересечения малой оси и нашей поверхности имеют координаты
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\small A'=(\sqrt5,1,3),\ B'=(-\sqrt5,1,3);$
8) малая полуось равна половине расстояния A'B', т.е. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\small b=\sqrt{5}$ ;
9) по известным формулам находим третий параметр эллипса $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\small c=\sqrt{5}$ .

Остальное труда не составляет. Неправда ли - легкая задача?

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Символьное дифференцирование igorrr37 13.02.2026 / * Логарифм записывается как: (x-2)log(x^2+2) - означает логарифм (x^2+2) по основанию (x-2). Унарный минус обозначается как ! */ #include <iostream> #include <stack> #include <cctype>. . .	Камера Toupcam IUA500KMA Eddy_Em 12.02.2026 Т. к. у всяких "хикроботов" слишком уж мелкий пиксель, для подсмотра в ESPriF они вообще плохо годятся: уже 14 величину можно рассмотреть еле-еле лишь на экспозициях под 3 секунды (а то и больше),. . .	И ясному Солнцу zbw 12.02.2026 И ясному Солнцу, и светлой Луне. В мире покоя нет и люди не могут жить в тишине. А жить им немного лет.	«Знание-Сила» zbw 12.02.2026 «Знание-Сила» «Время-Деньги» «Деньги -Пуля»
SDL3 для Web (WebAssembly): Подключение Box2D v3, физика и отрисовка коллайдеров 8Observer8 12.02.2026 Содержание блога Box2D - это библиотека для 2D физики для анимаций и игр. С её помощью можно определять были ли коллизии между конкретными объектами и вызывать обработчики событий столкновения. . . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Загрузка PNG с прозрачным фоном с помощью SDL_LoadPNG (без SDL3_image) 8Observer8 11.02.2026 Содержание блога Библиотека SDL3 содержит встроенные инструменты для базовой работы с изображениями - без использования библиотеки SDL3_image. Пошагово создадим проект для загрузки изображения. . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Загрузка PNG с прозрачным фоном с помощью SDL3_image 8Observer8 10.02.2026 Содержание блога Библиотека SDL3_image содержит инструменты для расширенной работы с изображениями. Пошагово создадим проект для загрузки изображения формата PNG с альфа-каналом (с прозрачным. . .	Установка Qt-версии Lazarus IDE в Debian Trixie Xfce volvo 10.02.2026 В общем, достали меня глюки IDE Лазаруса, собранной с использованием набора виджетов Gtk2 (конкретно: если набирать текст в редакторе и вызвать подсказку через Ctrl+Space, то после закрытия окошка. . .

@NixoNT 1 / 1 / 0 Регистрация: 16.12.2019 Сообщений: 34

	Определить тип кривой второго порядка 14.03.2020, 09:59. Показов 7022. Ответов 20 Метки нет (Все метки) Определить тип кривой второго порядка. Найти координаты её центра (если он есть), фокуса (фокусов) и уравнение директрисы (директрис). Система координат прямоугольная. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{cases} x^2 + y^2 = 2z; \\ z - y = 2.\end{cases}$ 0

@angor6 Любитель математики 1500 / 1009 / 288 Регистрация: 27.01.2014 Сообщений: 3,370
	14.03.2020, 11:46
	Из второго уравнения получим $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z=y+2$ и подставим в первое уравнение. Тогда $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x^2+y^2=2(y+2),$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x^2+y^2-2y=4,$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x^2+y^2-2y+1=5,$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x^2+(y-1)^2=5,$ то есть заданная кривая -- ... с центром в точке ... 1

@NixoNT 1 / 1 / 0 Регистрация: 16.12.2019 Сообщений: 34
	14.03.2020, 14:45 [ТС]
	ну центр находится в (0,1), фокусы у окружности равны 0,а директрисы уходят на бесконечность вроде как, так как эксцентриситет = 0, я прав? 1

@NixoNT 1 / 1 / 0 Регистрация: 16.12.2019 Сообщений: 34
	14.03.2020, 18:06 [ТС]
	центр получается находится в (0,1 ,3), но больше заблуждений я не вижу, может быть вы мне поможете? 0

@NixoNT 1 / 1 / 0 Регистрация: 16.12.2019 Сообщений: 34
	14.03.2020, 18:41 [ТС]
	то есть нужно ввести систему координат, где уравнение z-y = 2 должно быть одной из осей системы? 0

@angor6 Любитель математики 1500 / 1009 / 288 Регистрация: 27.01.2014 Сообщений: 3,370
	14.03.2020, 19:51
	NixoNT, $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z-y=2$ , или $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?-y+z-2=0$ -- это уравнение плоскости. Не спешите, подумайте, как расположена заданная кривая. Добавлено через 57 минут NixoNT, уравнение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x^2+y^2=2z$ задаёт эллиптический параболоид. В сечениях этого параболоида плоскостями $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z=h,$ где $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?h>0$ , лежат окружности. В Вашем случае секущая плоскость расположена иначе... Сделайте рисунок, чтобы было проще рассуждать. NixoNT, по моим представлениям, уравнение к которому я Вас подвёл, -- это уравнение проекции заданной кривой на плоскость $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?Oxy$ . Я предполагал, что используя его, можно вывести и каноническое уравнение заданной кривой. Надеюсь, что тут я ничего не напутал. Можно поступить иначе, то есть выполнить следующее: 1) перейти к такой системе координат, в которой данная плоскость была бы плоскостью $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?Oxy$ , то есть $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z=0$ ; 2) вывести в этой системе координат уравнение заданного эллиптического параболоида; 3) решить систему двух полученных выше уравнений. В результате получится уравнение, которому удовлетворяют точки заданной кривой. Этот способ предлагает П. С. Александров в книге "Лекции по аналитической геометрии". Сумеете ли Вы самостоятельно перейти к "новой" системе координат? 1

@NixoNT 1 / 1 / 0 Регистрация: 16.12.2019 Сообщений: 34
	15.03.2020, 08:21 [ТС]
	Изначально, я так и решал, но тогда я где-то запутался при переходе от новых координат к старым, поэтому сейчас не чувствую себя уверенным.в этом методе 0

@angor6 Любитель математики 1500 / 1009 / 288 Регистрация: 27.01.2014 Сообщений: 3,370
	15.03.2020, 08:25
	NixoNT, я сейчас не располагаю временем, чтобы показать Вам, как выполнить преобразование. Как только появится возможность, постараюсь сделать это, если Вы ещё не справитесь самостоятельно. 1

@Nacuott 1833 / 1027 / 192 Регистрация: 24.02.2013 Сообщений: 3,084 Записей в блоге: 12
	15.03.2020, 16:48
	Пересечение параболоида с плоскостью дает эллипс. Параметрическое уравнение (уравнения) см.картинку. Зная длины полуосей, легко находятся фокусы и директрисы эллипса. Миниатюры 0

@angor6 Любитель математики 1500 / 1009 / 288 Регистрация: 27.01.2014 Сообщений: 3,370
	16.03.2020, 14:16
	Сообщение было отмечено NixoNT как решение Решение NixoNT, я предполагаю, что для решения задачи можно поступить так: 1) перейти к системе координат $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?O'x'y'$ , такой, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=x'$ , $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=y'$ , $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z=z'+2$ . В этой системе координат уравнения параболоида и секущей плоскости принимают следующие виды соответственно: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x'}^2+{y'}^2=2(z'+2)$ , $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z'-y'=0$ ; 2) перейти к системе координат $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?O''x''y''$ , такой, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x'=x''$ , $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y'=\frac{\sqrt{2}}{2} y''-\frac{\sqrt{2}}{2} z''$ , $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z'=\frac{\sqrt{2}}{2} y''+\frac{\sqrt{2}}{2} z''$ . В этой системе координат уравнения параболоида и секущей плоскости принимают следующие виды соответственно: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x''}^2+(\frac{\sqrt{2}}{2} y''-\frac{\sqrt{2}}{2} z'')^2=2(\frac{\sqrt{2}}{2} y''+\frac{\sqrt{2}}{2} z''+2)$ , $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z''=0$ . Подставляя выражение для $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z''$ в уравнение параболоида, получим уравнение заданной линии в таком виде: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{{x''}^2}{5}+\frac{(y''-\sqrt{2})^2}{10}=1$ ; 3) перейти к системе координат $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?O'''x'''y'''$ , такой, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x''=x'''$ , $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y''=y'''+\sqrt{2}$ , $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z''=z'''$ . В этой системе координат уравнение заданной линии имеет вид $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{{x'''}^2}{5}+\frac{{y'''}^2}{10}=1$ , то есть эта линия представляет собой эллипс. Вам нужно восстановить пропущенные выкладки, попутно проверив полученные мной результаты, поскольку гарантировать Вам их правильность я не берусь. Я надеюсь, что имея каноническое уравнение эллипса, Вы сумеете продолжить решение задачи самостоятельно. Извините за задержку с обещанной помощью. Полдня сегодня был отключен университетский сервер. 1

@Nacuott 1833 / 1027 / 192 Регистрация: 24.02.2013 Сообщений: 3,084 Записей в блоге: 12
	16.03.2020, 19:37
	angor6, а где же уравнение эллипса, для которого нужно найти центр, фокусы и директрисы? 0

@angor6 Любитель математики 1500 / 1009 / 288 Регистрация: 27.01.2014 Сообщений: 3,370
	17.03.2020, 08:22
	Nacuott, автор вопроса определил не координаты центра эллипса, а, если я не ошибаюсь, координаты центра проекции заданной кривой на плоскость, параллельную плоскости $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?Oxy$ и проходящую через центр эллипса. Каноническая система координат для эллипса иная. Попробуйте вычислить координаты центра эллипса в системе $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?Oxy$ . 0

Определить тип кривой второго порядка

Решение