Дан тетраэдр ABCD, все его ребра равны. Найти угол между векторами p и q

@Kouhai · Регистрация: 24.09.2022

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Дан тетраэдр ABCD, все его ребра равны. Найти угол между векторами
p = AB+AC+AD
q = BA+BC

Пусть DA = a, DB = b, DC = c - единичные. Тогда AB = b-a, AC = c-a, AD = -a => p = b + c - 3a
Аналогично q = a -2b.
Дальше я не понимаю как делать: какая у них длина и как найти их скалярное произведение?

Помогите с решением (по возможности, распишите подробней скалярные произведения)

@3D Homer · 01.07.2023, 21:32

Сообщение от Kouhai

Дальше я не понимаю как делать: какая у них длина

Это не важно, потому что искомый угол не зависит от длины ребер тетраэдра.

Сообщение от Kouhai

и как найти их скалярное произведение?

С помощью свойств скалярного произведения. Какие свойства вы знаете?

@mathmichel · 01.07.2023, 21:44

Сообщение от Kouhai

Дан тетраэдр ABCD, все его ребра равны. Найти угол между векторами
p = AB+AC+AD
q = BA+BC

Это новая задача? Вижу одно отличие, а с предыдущей то разобрались?

Сообщение от Kouhai

Дальше я не понимаю как делать: какая у них длина

Об этом уже говорили - вычисляйте через квадраты p и q с использованием свойств скалярного произведения.

@Kouhai · 01.07.2023, 21:49 **[ТС]**

Тут наверно пригодится аддитивность и дистрибутивность

@3D Homer · 01.07.2023, 21:50

Не знаю, что такое аддитивность, но дистрибутивность действительно пригодится.

@mathmichel · 01.07.2023, 21:56

Сообщение от Kouhai

Тут наверно пригодится аддитивность и дистрибутивность

Не усложняйте, здесь обычная алгебра работает!

@3D Homer · 01.07.2023, 21:58

Обычная алгебра и есть коммутативность, ассоциативность и дистрибутивность. Хотя ассоциативность не имеет места для скалярного произведения.

@Kouhai · 01.07.2023, 21:58 **[ТС]**

Сообщение от 3D Homer

Не знаю, что такое аддитивность, но дистрибутивность действительно пригодится.

Мне надо просто скалярно перемножить (AB+AC+AD)(BA+BC) ?

@3D Homer · 01.07.2023, 22:00

Да, где эти векторы выражены через a, b и c.

@mathmichel · 01.07.2023, 22:00

Сообщение от Kouhai

Мне надо просто скалярно перемножить (AB+AC+AD)(BA+BC) ?

Лучше перемножьте выражения для p и q, которые Вы уже выразили через а, b и с.

@Kouhai · 01.07.2023, 22:02 **[ТС]**

Сообщение от mathmichel

вычисляйте через квадраты p и q

Я не понимаю смысл этой фразы. Это $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{p}^{2} = {(b + c - 3a)}^{2}$ ?

@mathmichel · 01.07.2023, 22:06

Да, совершенно верно - этот трёхчлен надо возвести в квадрат. На всякий случай напомню формулу: (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc.

@Kouhai · 01.07.2023, 22:12 **[ТС]**

Получается 1 + 1 +1 + 2(1*1*1/2) + 2(1*1*1/2) + 2(1*1*1/2) = 5 и тогда длина sqrt(6) ?

@mathmichel · 01.07.2023, 22:16

Сообщение от Kouhai

и тогда длина sqrt(6) ?

Да, верно! Только у Вас другое выражение (b+c-3a)^2.

@3D Homer · 01.07.2023, 22:17

Вам нужно возводить в квадрат p и q, а не a + b + c. Хотя я не люблю обозначение p² для скалярного произведения. Глядя на p², непонятно, какое произведение имеется в виду.

@Kouhai · 01.07.2023, 22:44 **[ТС]**

У меня получилось arccos(-sqrt(2)/4). Скалярное p и q = -3/2

@mathmichel · 01.07.2023, 22:54

Сообщение от Kouhai

Скалярное p и q = -3/2

Покажите как получилось!

@Kouhai · 02.07.2023, 21:16 **[ТС]**

Сообщение от mathmichel

Покажите как получилось!

Пересчитал, теперь по-идее правильно:
(b+c-2a)(a-2b) = -2
|(b+c-2a)| = |p| = sqrt(6)
|(a-2b)| = |q| = sqrt(3)

cos(p^q) = (p,q)/(|p||q|) = -sqrt(2)/3 = > угол(p^q) = arccos(-sqrt(2)/3)

@mathmichel · 02.07.2023, 21:26

Сообщение от Kouhai

Пересчитал, теперь по-идее правильно

Да, теперь верно.

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Модель заражения группы наркоманов alhaos 17.04.2026 Условия задачи сформулированы тут Суть: - Группа наркоманов из 10 человек. - Только один инфицирован ВИЧ. - Колются одной иглой. - Колются раз в день. - Колются последовательно через. . .	Мысли в слух. Про "навсегда". kumehtar 16.04.2026 Подумалось тут, что наверное очень глупо использовать во всяких своих установках понятие "навсегда". Это очень сильное понятие, и я только начинаю понимать край его смысла, не смотря на то что давно. . .	My Business CRM MaGz GoLd 16.04.2026 Всем привет, недавно возникла потребность создать CRM, для личных нужд. Собственно программа предоставляет из себя базу данных клиентов, в которой можно фиксировать звонки, стадии сделки, а также. . .	Знаешь почему 90% людей редко бывают счастливыми? kumehtar 14.04.2026 Потому что они ждут. Ждут выходных, ждут отпуска, ждут удачного момента. . . а удачный момент так и не приходит.
Фиксация колонок в отчете СКД Maks 14.04.2026 Фиксация колонок в СКД отчета типа Таблица. Задача: зафиксировать три левых колонки в отчете. Процедура ПриКомпоновкеРезультата(ДокументРезультат, ДанныеРасшифровки, СтандартнаяОбработка) / / . . .	Настройки VS Code Loafer 13.04.2026 { "cmake. configureOnOpen": false, "diffEditor. ignoreTrimWhitespace": true, "editor. guides. bracketPairs": "active", "extensions. ignoreRecommendations": true, . . .	Оптимизация кода на разграничение прав доступа к элементам формы Maks 13.04.2026 Алгоритм из решения ниже реализован на нетиповом документе, разработанного в конфигурации КА2. Задачи, как таковой, поставлено не было, проделанное ниже исключительно моя инициатива. Было так:. . .	Контроль заполнения и очистка дат в зависимости от значения перечислений Maks 12.04.2026 Алгоритм из решения ниже реализован на примере нетипового документа "ПланированиеПерсонала", разработанного в конфигурации КА2. Задача: реализовать контроль корректности заполнения дат назначения. . .

@Kouhai 0 / 0 / 0 Регистрация: 24.09.2022 Сообщений: 109

	Дан тетраэдр ABCD, все его ребра равны. Найти угол между векторами p и q 01.07.2023, 21:28. Показов 1726. Ответов 18 Метки нет (Все метки) Дан тетраэдр ABCD, все его ребра равны. Найти угол между векторами p = AB+AC+AD q = BA+BC Пусть DA = a, DB = b, DC = c - единичные. Тогда AB = b-a, AC = c-a, AD = -a => p = b + c - 3a Аналогично q = a -2b. Дальше я не понимаю как делать: какая у них длина и как найти их скалярное произведение? Помогите с решением (по возможности, распишите подробней скалярные произведения) 0

@Kouhai 0 / 0 / 0 Регистрация: 24.09.2022 Сообщений: 109
	01.07.2023, 21:49 [ТС]
	Тут наверно пригодится аддитивность и дистрибутивность 0

@3D Homer $Эксперт по математике/физике$ 5016 / 3628 / 1164 Регистрация: 01.09.2014 Сообщений: 9,792
	01.07.2023, 21:50
	Не знаю, что такое аддитивность, но дистрибутивность действительно пригодится. 0

@3D Homer $Эксперт по математике/физике$ 5016 / 3628 / 1164 Регистрация: 01.09.2014 Сообщений: 9,792
	01.07.2023, 21:58
	Обычная алгебра и есть коммутативность, ассоциативность и дистрибутивность. Хотя ассоциативность не имеет места для скалярного произведения. 0

@3D Homer $Эксперт по математике/физике$ 5016 / 3628 / 1164 Регистрация: 01.09.2014 Сообщений: 9,792
	01.07.2023, 22:00
	Да, где эти векторы выражены через a, b и c. 0

@mathmichel $Эксперт по математике/физике$ 11084 / 7383 / 3992 Регистрация: 14.01.2014 Сообщений: 16,820
	01.07.2023, 22:06
	Да, совершенно верно - этот трёхчлен надо возвести в квадрат. На всякий случай напомню формулу: (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc. 0

@Kouhai 0 / 0 / 0 Регистрация: 24.09.2022 Сообщений: 109
	01.07.2023, 22:12 [ТС]
	Получается 1 + 1 +1 + 2(111/2) + 2(111/2) + 2(111/2) = 5 и тогда длина sqrt(6) ? 0

@3D Homer $Эксперт по математике/физике$ 5016 / 3628 / 1164 Регистрация: 01.09.2014 Сообщений: 9,792
	01.07.2023, 22:17
	Вам нужно возводить в квадрат p и q, а не a + b + c. Хотя я не люблю обозначение p² для скалярного произведения. Глядя на p², непонятно, какое произведение имеется в виду. 0

@Kouhai 0 / 0 / 0 Регистрация: 24.09.2022 Сообщений: 109
	01.07.2023, 22:44 [ТС]
	У меня получилось arccos(-sqrt(2)/4). Скалярное p и q = -3/2 0

Дан тетраэдр ABCD, все его ребра равны. Найти угол между векторами p и q

Решение