Сообщение от Basco Друзья, до меня дошло то, как доказать, что такой прямой не существует. Для интереса я составил уравнение прямой, все также параллельной Q1, но уже под 30° для Q2. И у меня получилось! Две прямые, все как надо.

Не понял что же получилось? Прямые которых не существует?

Сообщение от Igor3D Нужно найти пересечение окружности (основание конуса) с плоскостью параллельной Q1 и проходящей через точку P.

Такое пересечение существует если угол между плоскостями больше (90 - alpha), где alpha - заданный угол, здесь 45

0

Сообщение от Igor3D Не понял что же получилось? Прямые которых не существует?

С моей точки зрения ТС сам разобрался в этой задаче и по-видимому нашёл способ её решения для другого угла 30^o. Для контроля правильности неплохо было выложить соответствующие уравнения прямых...

0

Ну в общем… пусть направляющий вектор прямой (l,m,n), тогда система:


Получается (вроде так, по памяти пишу). Ну и видно что решений нет. Если вместо sin45 взять 30°, то будет 2 решения (ну даже решений будет бесконечно много, но все они образуют 2 прямые, как я понимаю)

0

а зачем тогда находили угол между плоскостями

0

Iliodor, просто для интереса

0

Промахнулся вчера я.Исправляюсь. Задача поставлена корректно.
Вот уравнение искомой прямой с картинкой.

Угол между плоскостями находить полезно, - если он больше заданного (в нашем случае 45 градусов), то задача не имеет решения.В нашем случае угол между заданными плоскостями равен ок. 42 градусов т.е. меньше 45, значит задача решаема.
Да, здесь есть второе решение - пусть кто-то другой его найдет.

Вот и вторая прямая.

0

Продолжим с конусом (n1 и n2 - нормали к плоскостям). Об этом конусе все известно: вершина в точке P, направление высоты = n2, угол основания alpha = 45. Примем длину высоты = 1. Тогда радиус основания R = 1 / tg(alpha). Нужно найти точки пересечения окружности основания с плоскостью с нормалью n2 проходящей через через вершину конуса P

Зададим тройку орто осей
ось z = n2 // направление высоты конуса
ось x = cross(n1, n2).normalized() // вектор пересечения плоскостей, это направление хорды
ось y = cross(z, x) // напраление из центра окружности в середину хорды

Центр окружности
С = P - n2

Центр хорды
D = C + y * tg(beta) // beta = угол между плоскостями

Направление хорды известно (ось x выше), а длина ее половины k = sqrt(1 / tg(alpha) ^ 2 - tg(beta) ^ 2)
Тогда точки пересечения

P2 = D + k * x
P3 = D - k * x

или

P2 = P - n2 + y * tg(beta) + x * sqrt(1 / tg(alpha) ^ 2 - tg(beta) ^ 2)
P3 = P - n2 + y * tg(beta) - x * sqrt(1 / tg(alpha) ^ 2 - tg(beta) ^ 2)

0

Igor3D, Вы думаете что кто-то будет разбираться в том что вы написали. Привели бы сразу уравнения прямых.

Добавлено через 1 час 0 минут
Кошмар. Столько ошибок сделать в одной задаче.
Наконец правильно.

Миниатюры

 

0

Сообщение от Nacuott Igor3D, Вы думаете что кто-то будет разбираться в том что вы написали.

Я знаю что нет

Сообщение от Nacuott Привели бы сразу уравнения прямых.

А какой смысл в "голом ответе"? Интересен ход мысли/решения

0

Ход мыслей должен быть простым и понятным, а также реализован в виде правильного ответа.
См.картинку.
Векторы n и n1 образуют угол между заданными плоскостями.
Наша задача состоят в том, чтобы на плоскости x-2y=0 найти такую точку a, чтобы вектор a
образовывал с вектором n1 угол 45 градусов.Составляем уравнение и систему из трех уравнений, решаем
и находим координаты точки a (вектора a). Таких точек (векторов) два.
Они будут направляющими векторами искомых прямых.
Записываем два уравнения прямых проходящих через т.Р и параллельных плоскости Q1.

Миниатюры

 

0

Сообщение от Nacuott Составляем уравнение и систему из трех уравнений

По сути это все что Вы сказали о собсно решении. Ладно, попробуем разобраться по Вашим исходникам. Вероятно, Вы выделили 3 уравнения желтым. Первое - для наклона 45 градусов. Второе - тоже ясно, искомые прямые перпендикулярны Q1. Третье - откуда взялось уравнение окружности? И почему с радиусом 3 и центром в начале координат? Никаких пояснений на этот счет Вы не даете. Разве это "простой и понятный" ход мысли? Во всяком случае не для меня.

И еще. Возможно уравнения верны, но во что вольется их решение? Или даже просто "расписывание"? Разве решающий обязан привлекать моцный мат пакет? Или кропать часами на бумажке? Право же, решение "в векторах" намного проще и его можно делать шаг за шагом

0

Сообщение от Igor3D И почему с радиусом 3 и центром в начале координат? Никаких пояснений на этот счет Вы не даете. Разве это "простой и понятный" ход мысли? Во всяком случае не для меня.

Точку а (вектор)я обозначил а(x,y,z). Это не уравнение окружности, а квадрат длины вектора а.
Просто оно выглядит как уравнение окружности. Длину этого вектора можно было выбрать любую, я решил три.
Здесь важно направление вектора, а не длина.

Добавлено через 6 минут

Сообщение от Igor3D Второе - тоже ясно, искомые прямые перпендикулярны Q1.

Нет, второе - это принадлежность искомой точки (вектора) а плоскости x-2y=0.

0

Сообщение от Nacuott Точку а (вектор)я обозначил а(x,y,z).

Конечно любую точку можно рассматривать как вектор из начала координат. По сути Вы разместили центр СК в центре основания (окружности) того самого конуса. Нормально, но тогда

1. Надо сместить точку P (или найденную точку "а")
2. Первое уравнение: в правой части у Вас 1/sqrt(2). Почему не с минусом (-1/sqrt(2))? Ведь "угол с плоскостью" (т.е. с проекцией на плоскость) тоже 45. И вообще использование констант-чисел не украшает решение, будет др угол, и что - все по новой?

Сообщение от Nacuott Это не уравнение окружности, а квадрат длины вектора а. Просто оно выглядит как уравнение окружности. Длину этого вектора можно было выбрать любую, я решил три. Здесь важно направление вектора, а не длина.

Я понимаю т.к. держу в голове конструкцию с конусом. Но без этого "произвольная" точка "а" выглядит как "хрен с бугра", откуда она взялась? И лучше не спрашивать - задавит авторитетом/маткадом

0

Сообщение от Igor3D . Первое уравнение: в правой части у Вас 1/sqrt(2). Почему не с минусом (-1/sqrt(2))? Ведь "угол с плоскостью" (т.е. с проекцией на плоскость) тоже 45.

Потому что, угол между вектором а и n1 45 градусов, а косинус 45 градусов равен корень из двух делить на два.
Кстати, система решается легко вручную - со второго уравнения х=2у , подставляем вместо х 2у в первое и третье.
Со третьего уравнения выражаем z через у и подставляем в первое - получаем уравнение с одним неизвестным. Далее выполняем обратный ход и находим все неизвестные.

Добавлено через 14 минут

Сообщение от Igor3D По сути Вы разместили центр СК в центре основания (окружности) того самого конуса. Нормально, но тогда

Я ничего не размещал- начало координат находится на линии пересечения плоскостей Q и Q1 такие уж плоскости.

0

Сообщение от Nacuott Потому что, угол между вектором а и n1 45 градусов,

Сообщение от Nacuott ..такие уж плоскости.

Хорошо, пусть это решение для конкретных данных. Но меня смущает

Сообщение от Nacuott Наша задача состоят в том, чтобы на плоскости x-2y=0 найти такую точку a, чтобы вектор a образовывал с вектором n1 угол 45 градусов

Задача ставилась не так

Сообщение от Basco Дана точка Р и даны плоскости Q1 и Q2. P = (0, 2, 1), Q1 = {x-2y=0}, Q2 ={×-2y+2z= 0}. Найти уравнение прямой L, которая проходит через точку Р параллельно плоскости Q1 и образует угол 45° с плоскостью Q2.

Сама точка P не лежит в плоскости Q1, стало быть и точка "а" в ней лежать не может.

0

Сообщение от Igor3D Сама точка P не лежит в плоскости Q1, стало быть и точка "а" в ней лежать не может.

Ой, какой Вы непонятливый. Мы находим прямую (даже не прямую, а вектор лежащий в плоскости Q1)
Зная этот вектор, мы можем легко написать уравнение прямой, проходящей через любую точку, не только через P.
Вот и нашли вектор а, который образует с вектором n1 (а значит и с плоскостью Q2) угол и 45 градусов.

0

Сообщение от Nacuott Ой, какой Вы непонятливый. Мы находим прямую (даже не прямую, а вектор лежащий в плоскости Q1).Зная этот вектор, мы можем легко написать уравнение прямой, проходящей через любую точку, не только через P. Вот и нашли вектор а, который образует с вектором n1 (а значит и с плоскостью Q2) угол и 45 градусов.

Если вектор а - чисто направление, то третье уравнение (квадрат длины) "притянуто за уши". Давая разные значения (вместо 9) будем получать разные (неколлинеарные) вектора.

Но Ваша мысль с точкой а вполне разумна. Только система будет такой

× - 2y + 2z = 0: (1)
x - 2y + 2 = 0; (2)
x * x + y * y + z * z = 4; (3)

Точка а (искомые x, y, z) - вторая точка на прямой, лежит на окружности основания конуса
(1) Вектор а перпендикулярен n2 (нормали к Q2)
(2) Точка а лежит в плоскости параллельной Q1 и проходящей через P
(3) Длина вектора а равна радиусу основания конуса и (за счет угла 45) равна его высоте (расстоянию от P до Q2)

Конечно это решение не общее

0

Сообщение от Igor3D Если вектор а - чисто направление, то третье уравнение (квадрат длины) "притянуто за уши". Давая разные значения (вместо 9) будем получать разные (неколлинеарные) вектора.

Да нет же, все векторы будут иметь разные длины, но одинаковые направления .

Добавлено через 41 минуту
Более того, в векторе a координату z можно положить равной любому числу и уравнение x^2+y^2+z^2=9
вообще не включать в систему.

0

Сообщение от Nacuott Да нет же, все векторы будут иметь разные длины, но одинаковые направления .

Хммм.... действительно, нужен вектор в заданной плоскости и образующий с другим (известным) вектором 45 градусов. Точка P здесь ни при чем. Но с задачей длина никак не связана. Может это известный прием?

Сообщение от Nacuott Более того, в векторе a координату z можно положить равной любому числу и уравнение x^2+y^2+z^2=9 вообще не включать в систему.

Заманчиво. Понятно что не обязаны находить "именно эти" (x, y, z), поэтому (вроде бы) достаточно 2 уравнений. Но без квадратных корней - как быть с вариантом если нет решений?

0

Сообщение от Igor3D как быть с вариантом если нет решений?

Этот случай здесь уже оговорен - находим угол между плоскостями, если он больше того угла, который задан в задаче, то задача не имеет решения - это очевидно (по крайней мере для меня)

0