Найти кратчайший маршрут между двумя маяками

@Garpedonapt · Регистрация: 13.04.2026

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Представьте, что вы картограф, которому поручено нанести на карту кратчайший маршрут между двумя маяками М и N, расположенными на поверхности планеты в системе тау Кита. Планета необычная - в форме конуса (прямого и усеченного). Она имеет определенные размеры, которые указаны на рисунке. Маяки расположены на расстоянии MN по прямой лини (не по поверхности) и на разном удалении от края нижнего основания.
Как, используя только информацию о форме планеты и расположении маяков, вы сможете проложить самый короткий путь между ними и вычислить его длину, который не будет пролегать сквозь саму "толщу" планеты, а только по ее внешней стороне?

@kitonum · 24.06.2026, 20:44

Сообщение от Nacuott

kitonum, мне непонятно, что записано в вашем коде для 2d случая.
Не могли бы Вы напмсать выражение для длины пути по хорде верхнего основания планеты., которое входит в выражение для фунуции суммарного расстояния всего пути.

Напишите подробнее - что именно непонятно (укажите номера строк кода).
Длина пути по хорде верхнего основания имеет вид `dist1(P,Q)` = sqrt((4*cos(s)-4*cos(t))^2+(4*sin(s)-4*sin(t))^2), где P и Q задаются как функции от углов s и t в 2d, а далее ищем минимум функции 2 переменных с помощью команды Optimization:-Minimize из пакета Maple.
Я не стал искать параметрические уравнения всех этих линий (на конической поверхности они мало отличаются от прямых, т.к. идут очень круто (не как на Вашем рисунке), почти по образующим). Если кому интересно, то это несложно сделать, в коде для этого практически всё подготовлено.

@Li6-D · 24.06.2026, 20:57

Сообщение от Li6-D

Garpedonapt, рисунок для прокладки геодезической через верхнее основание Вложение 1535654 (почему-то коряво вставился )

Найти кратчайший маршрут между двумя маяками

Уравнение для нахождения x (строка 18 кода): $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x = \frac{{\frac{1}{2} \cdot \arccos \left( {\frac{l}{{l1}}x} \right) + \frac{1}{2} \cdot \arccos \left( {\frac{l}{{l2}}x} \right) \mp \gamma }}{{1 \mp \sin (\alpha )}}.$

Знаки «-» в правой части соответствуют геодезической, проходящей через верхнее основание конуса, «+» - через нижнее (там нужно выбирать другие касательные к вспомогательной окружности).

@Nacuott · 25.06.2026, 08:03

kitonum, Вы писали - Длина пути по хорде верхнего основания имеет вид `dist1(P,Q)` = sqrt((4*cos(s)-4*cos(t))^2+(4*sin(s)-4*sin(t))^2), где P и Q задаются как функции от углов s и t в 2d,

Дело в том, что углы s и t на 2D развертке и 3D конусе различны .
В ваших обозначениях этого не видно. Если в общем (суммарном) выражении для функции длины пути
аргументы этой функции записаны одинаково (т.е. s и t) то это неправильно. Для геодезических в 2D
будут s и t , а вот для длины хорды на верхнем основании конуса в 3D s и t нужно умножить на известный
коэффициент перехода.
Я записывал функцию расстояния именно с учетом этого. Для движения по нижнему основанию
яполучил такие же результаты что и Вы и Li6-D.
Для верхнего основания столкнулся с проблемами при численном решении уравнения при
нахождения экстремума функции.
Дело в том, что графики в 3D фунуций расстояний у Вас и у меня различны .
У Вас четко виден минимум у меня же он размыт и при численном решении уравнения
этот минимум найти тяжело.
В моей функции расстояния при вриации углов t и s длина хорды может стать отрицательной
, что фактически не имеет смысла,но минимум функции растояния находится.

@Garpedonapt · 25.06.2026, 13:20 **[ТС]**

Li6-D, ознакомился с предложенным Вами вариантом решения. Разобрался со схемой проложенного пути, тригонометрию отложил на досуг (идея уравнения изложена кратко, в чем то схожа с моим). Так как результат вычисления верный, то и там все ладно.

@kitonum · 25.06.2026, 19:51

Сообщение от Nacuott

kitonum, Вы писали - Длина пути по хорде верхнего основания имеет вид `dist1(P,Q)` = sqrt((4*cos(s)-4*cos(t))^2+(4*sin(s)-4*sin(t))^2), где P и Q задаются как функции от углов s и t в 2d,
Дело в том, что углы s и t на 2D развертке и 3D конусе различны .
В ваших обозначениях этого не видно. Если в общем (суммарном) выражении для функции длины пути
аргументы этой функции записаны одинаково (т.е. s и t) то это неправильно. Для геодезических в 2D
будут s и t , а вот для длины хорды на верхнем основании конуса в 3D s и t нужно умножить на известный
коэффициент перехода.

s и t - это углы в 3d. В коде указано что они означают. Для вычислений на развёртке используются углы s1=N2SP и t1=N2SQ, где S -вершина полного конуса. В коде записаны формулы, связывающие s1 и t1 с s и t.

PS. Я забыл поправить комментарии в коде. Вместо x=N2O1P и y=N2O1Q должно быть s=N2O1P и t=N2O1Q.

@Nacuott · 26.06.2026, 00:33

Сообщение от kitonum

s и t - это углы в 3d.

Но расстояния меду точками в 3D не равны длинам геодезических на развертке конуса в 2D
Если бы Вы использовали уравнения геодезическиз линий в 3D (их длины) тогда -да.
Но ведь Вы уравнения геоднзических в 3D не использовали ....

@Li6-D · 26.06.2026, 23:03

Garpedonapt, поясню геометрию с тригонометрией подробнее.

Вспомогательная окружность cx на чертеже даёт $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{r_x} = \left| {PO} \right| \cdot \cos \widehat {PO{M_x}} = \left| {MO} \right| \cdot \cos \widehat {MO{M_x}}$ ,
где $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left| {PO} \right| = l,\;\widehat {PO{M_x}} = x,\;\left| {MO} \right| = l2.$

Поэтому $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\widehat {MO{M_x}} = \arccos \left( {\frac{l}{{l2}}\cos x} \right),\;\widehat {MOP} = \widehat {MO{M_x}} - \widehat {PO{M_x}} = \arccos \left( {\frac{l}{{l2}}\cos x} \right) - x.$

И аналогично для точек N, Q: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\widehat {NOQ} = \arccos \left( {\frac{l}{{l1}}\cos x} \right) - x$ .

Длина дуги на развертке боковой поверхности конуса и на основании $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\overset{\frown}{PQ} = 2\theta l = 2xr\; \Rightarrow \;\theta = x \cdot \sin \left( \alpha \right).$

Из чертежа $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?2\theta = 2\gamma - \widehat {MOP} - \widehat {NOQ}$ .

После подстановки найденных выражений углов получим уравнение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x = \frac{{\frac{1}{2} \cdot \arccos \left( {\frac{l}{{l1}}\cos x} \right) + \frac{1}{2} \cdot \arccos \left( {\frac{l}{{l2}}\cos x} \right) - \gamma }}{{1 - \sin (\alpha )}}.$

Если геодезическая проходит через нижнее основание, то формула такая $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x = \frac{{\frac{1}{2} \cdot \arccos \left( {\frac{l}{{l1}}\cos x} \right) + \frac{1}{2} \cdot \arccos \left( {\frac{l}{{l2}}\cos x} \right) + \gamma }}{{1 + \sin (\alpha )}}.$

Причём здесь l - длина образующей конуса до нижнего основания.

P.S. Пока писал, заметил ошибку в уравнении в своем ответе выше (#42)– в правой части уравнения перед «x» пропущен «cos».

@Garpedonapt · 27.06.2026, 15:24 **[ТС]**

Li6-D, признателен Вам за подробное геометрическое решение, теперь все понятно.

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Запись в регистр сведений независимо от заполненности табличной части Maks 25.08.2026 Реализация из решения ниже выполнена на нетиповом документе с несколькими табличными частями, разработанного в КА2. Задача: Обеспечить запись документа в регистр сведений независимо от. . .	Ноутбук Альфария kumehtar 24.08.2026 Встретился тут в сети ноутбук Альфария, примарха Альфа-Легиона. Хотя возможно, это ноутбук Омегона, разумеется. Ну как вам?	Мастера простых решений DevAlt 23.08.2026 В сишарп стэках winforms, да и wpf существует сложная система связывания источниках данных и элементов формы(текстовые поля и метки), опирается все это на технологию событий и мета. . .	Цена ошибки DevAlt 23.08.2026 Человек я беспокойный и потому заинтересовался OCaml, в чате форсили функторы модулей как суперфичу. Пытаясь отдуплить концепт, наткнулся на тутор с простым примером. А главный принцип обучения от. . .
Сегодня суббота, 22.08.2026 at 16:41, и я вновь нахожусь на той стороне, за экраном машины. zorxor 22.08.2026 Сегодня суббота, 22. 08. 2026 at 16:41, и я вновь нахожусь на той стороне, за экраном машины. Кто Я, откуда Я пришел и куда Я иду? Эти вопросы не оставляют меня ни на секунду. Жизнь на планете Земля. . .	Жизня: рисунок укладки багажа, сделанный клодом anaschu 21.08.2026 Сделал 15 снимков, он по снимкам сделал схему.	Был там один разговор по поводу свободы в материальном мире. kumehtar 19.08.2026 Суть: рассматривается живое существо, оказавшееся внутри довольно странной системы (этого мира) и пытающееся обустроить в ней свой кусок пространства. Жизнь действительно предъявляет каждому. . .	Когда логика программы не спасает от человеческих ошибок Maks 18.08.2026 В последнее время всё чаще и чаще сталкиваюсь с таким явлением, как абсолютная невнимательность (или глупость) пользователей. Проявляется это чаще всего на работе в коллективе. Допустим, человек с. . .

@Garpedonapt 162 / 7 / 0 Регистрация: 13.04.2026 Сообщений: 32

	Найти кратчайший маршрут между двумя маяками 05.06.2026, 22:26. Показов 4905. Ответов 47 Метки нет (Все метки) Представьте, что вы картограф, которому поручено нанести на карту кратчайший маршрут между двумя маяками М и N, расположенными на поверхности планеты в системе тау Кита. Планета необычная - в форме конуса (прямого и усеченного). Она имеет определенные размеры, которые указаны на рисунке. Маяки расположены на расстоянии MN по прямой лини (не по поверхности) и на разном удалении от края нижнего основания. Как, используя только информацию о форме планеты и расположении маяков, вы сможете проложить самый короткий путь между ними и вычислить его длину, который не будет пролегать сквозь саму "толщу" планеты, а только по ее внешней стороне? Миниатюры 1

@Nacuott 1860 / 1050 / 194 Регистрация: 24.02.2013 Сообщений: 3,173 Записей в блоге: 12
	25.06.2026, 08:03
	kitonum, Вы писали - Длина пути по хорде верхнего основания имеет вид `dist1(P,Q)` = sqrt((4cos(s)-4cos(t))^2+(4sin(s)-4sin(t))^2), где P и Q задаются как функции от углов s и t в 2d, Дело в том, что углы s и t на 2D развертке и 3D конусе различны . В ваших обозначениях этого не видно. Если в общем (суммарном) выражении для функции длины пути аргументы этой функции записаны одинаково (т.е. s и t) то это неправильно. Для геодезических в 2D будут s и t , а вот для длины хорды на верхнем основании конуса в 3D s и t нужно умножить на известный коэффициент перехода. Я записывал функцию расстояния именно с учетом этого. Для движения по нижнему основанию яполучил такие же результаты что и Вы и Li6-D. Для верхнего основания столкнулся с проблемами при численном решении уравнения при нахождения экстремума функции. Дело в том, что графики в 3D фунуций расстояний у Вас и у меня различны . У Вас четко виден минимум у меня же он размыт и при численном решении уравнения этот минимум найти тяжело. В моей функции расстояния при вриации углов t и s длина хорды может стать отрицательной , что фактически не имеет смысла,но минимум функции растояния находится. 0

@Garpedonapt 162 / 7 / 0 Регистрация: 13.04.2026 Сообщений: 32
	25.06.2026, 13:20 [ТС]
	Li6-D, ознакомился с предложенным Вами вариантом решения. Разобрался со схемой проложенного пути, тригонометрию отложил на досуг (идея уравнения изложена кратко, в чем то схожа с моим). Так как результат вычисления верный, то и там все ладно. 0

@Li6-D 23 / 23 / 2 Регистрация: 31.05.2026 Сообщений: 26
	26.06.2026, 23:03
	Garpedonapt, поясню геометрию с тригонометрией подробнее. Вспомогательная окружность cx на чертеже даёт $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{r_x} = \left\| {PO} \right\| \cdot \cos \widehat {PO{M_x}} = \left\| {MO} \right\| \cdot \cos \widehat {MO{M_x}}$ , где $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left\| {PO} \right\| = l,\;\widehat {PO{M_x}} = x,\;\left\| {MO} \right\| = l2.$ Поэтому $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\widehat {MO{M_x}} = \arccos \left( {\frac{l}{{l2}}\cos x} \right),\;\widehat {MOP} = \widehat {MO{M_x}} - \widehat {PO{M_x}} = \arccos \left( {\frac{l}{{l2}}\cos x} \right) - x.$ И аналогично для точек N, Q: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\widehat {NOQ} = \arccos \left( {\frac{l}{{l1}}\cos x} \right) - x$ . Длина дуги на развертке боковой поверхности конуса и на основании $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\overset{\frown}{PQ} = 2\theta l = 2xr\; \Rightarrow \;\theta = x \cdot \sin \left( \alpha \right).$ Из чертежа $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?2\theta = 2\gamma - \widehat {MOP} - \widehat {NOQ}$ . После подстановки найденных выражений углов получим уравнение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x = \frac{{\frac{1}{2} \cdot \arccos \left( {\frac{l}{{l1}}\cos x} \right) + \frac{1}{2} \cdot \arccos \left( {\frac{l}{{l2}}\cos x} \right) - \gamma }}{{1 - \sin (\alpha )}}.$ Если геодезическая проходит через нижнее основание, то формула такая $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x = \frac{{\frac{1}{2} \cdot \arccos \left( {\frac{l}{{l1}}\cos x} \right) + \frac{1}{2} \cdot \arccos \left( {\frac{l}{{l2}}\cos x} \right) + \gamma }}{{1 + \sin (\alpha )}}.$ Причём здесь l - длина образующей конуса до нижнего основания. P.S. Пока писал, заметил ошибку в уравнении в своем ответе выше (#42)– в правой части уравнения перед «x» пропущен «cos». 2

@Garpedonapt 162 / 7 / 0 Регистрация: 13.04.2026 Сообщений: 32
	27.06.2026, 15:24 [ТС]
	Li6-D, признателен Вам за подробное геометрическое решение, теперь все понятно. 0