образуют ли к n-мерных векторов базис в к-мерном пространстве

Здравствуйте!
Посоветуйте, пожалуста, как решить проблему:
Есть к n-мерных векторов. Как проверить, что они образуют базис в к-мерном пространстве? (k<=n)
Если следовать определению, то эти вектора образуют базис, если :
пусть v1, v2, ... , vk - n-мерные вектора, тогда они образуют базис, если не существует таких q1, q2, ... , qk что система
q1*v11 + q2*v21 + ... + qk*vk1 = 0
q1*v12 + q2*v22 + ... + qk*vk2 = 0
....
q1*v1n + q2*v2n + ... + qk*vkn = 0

имеет не нулевое решение

те получаем матрицу размером k*n. как для конкретных n и k решить задачу я понимаю, а как программно для любых k и n это автоматизировать не знаю. Написала программу с методом Гаусса, но она решает задачу для матриц n*n и не разделяет случаи когда бесконечно много решений, а когда их нет. Те выдает ответ только если решение существует и единственно.

Просто я то как хотела- брать из этой системы по к уравнений, и смотреть- если получается решение, то я его в оставшмеся n-k штук подставляю, если подходит- значит решение найдено, не базис.... Но тут проблема- решение может быть не единственно, и тогда весь мой не хитрый метод рушится.. Если кто знает книги по алгоритмам(мат основа мне известна), или просто понял где у меня ошибки в рассуждениях, помогите пожалуста.
Да и еще- я с этой темой в "алгоритмы" писала. Извиняюсь перед администраторами, спамить не хотела, просто переместить не смогла

0

Постойте, великий Гаус здесь работает,
просто делайте преобразования не над
строками, а над столбцами.
Если получите пространство такой же
размерности, как и до преобразований, тогда
Ваши вектора образуют базис.

1

Надо взять матрицу k строк, n столбцов
v11 v12 .... v1n
v21 v22 .... v2n
......................
vk1 vk2 .... vkn
И привести ее к ступенчатому виду.
Т.е. вторая строка = (2-я строка) - (v21/v11) *(1-я строка)
и т.д с остальными строками
Правда, придется озаботится о том, чтоб v11 != 0, т,е, если вдруг ==0, переставить
на место 1-й строку с ненулевым vj1

Получится
v11 v12 .... v1n
0 v22 .... v2n
......................
0 vk2 .... vkn

Теперь в качестви "киллерской" берем 2-ю строку и обнуляем с ее помощью все что ниже во
втором столбце и так далее с Божьей помощью,,,

Если вдруг в некотором столбце не удастся найти подходящего нетулевого элемента -
финита ла комедия - не базис!

Дело в том, что перестановка строк и описанное преобразование над строками не меняет
РАНГ матрицы.
А к векторов образуют базис т и т т к РАНГ этой матрицы == к

1

Всё просто чудесно!
И то и другое просто говорит о том, что ядро и
образ линейного отображения инварианты, относительно
даного пространства. В проблемах ранга можно работать
киллером, как для столбцов, так и для рядов.

1

Day спасибо за такой полный ответ. Гаусс то у меня работает, я и ноль на главной диаганали отслеживала. Только вот не знала какой вывод делать, если нулевая строка будет. Я думала- если ноль, то либо нет решений, либо бесконечно много. и вот последнее никак не устраивало.
Теперь знаю ответ- надо найти ранг матрицы, те максимальное число линейнонезависимых столбцов, это и будет базис. Так что если у кого - то такая же проблема:
просто распишите вектора с коэффициентами, получите прямоугольную матрицу, и ищите её ранг.

Всем большое спасибо!

0