Отображение содержимого mysql в режиме реального времени

function getLogs(){
    // раз мы в разделе jQuery, предполагаю, что он подключен
    $.ajax({
        url: "get_logs.php", // обратите внимание, это имя нашего php файла, который отдает данные
        success: function(msg){
            // msg тут будет доступен в виде строки, 
            // которую нужно обратно преобразовать в объект с помощью функции JSON.parse()
            var resp = JSON.parse(msg);
            // дальше с этим объектом можно работать так, как хочется
            // в том числе составить HTML код с вставками из объекта 
            // и потом содержимое вставить туда, куда нужно
 
 
            setTimeout(getLogs, 5000); // через 5 сек. снова вызовем функцию
    });
}
 
window.onload = function(){ setTimeout(getLogs, 5000); /* 5000 - 5 sec */ };

{
    '0': 'Vasya',
    '1': 'Petya',
    '2': 'Aleksandr',
    '3': 'z-z'
}

var str = ""; // создаем пустую строку
 
// далее пробегаемся по объекту-ответу от сервера и для каждой пары дополняем строку
 
for(var i in msg) str += i + " " msg[i] + "<br>"; 
 
// затем вставляем эту строку  куда хотим
// например, как в вашем примере, в блок с классом .logs
 
 
$('.logs').html(str);
 
// тут нужно обратить внимание на две вещи
 
// 1. содержимое полностью перезаписывается
// если нужно дополнять, а не перезаписывать, то меняем 
// $('.logs').html(str); на $('.logs').html($('.logs').html() + str);
 
// 2. надо, естественно, правильно указать блок, в который вставляем содержимое.
// если блоков с классом logs на странице несколько, то будет вставляться во все блоки =)

$(document).ready(function ()
            {
                window.setInterval(function () {
                    var idstavk = "<?php echo $idstavk; ?>";
                    var screen_name = "<?php echo $screen_name; ?>";
                    var first_name = "<?php echo $first_name; ?>";
                    var last_name = "<?php echo $last_name; ?>";
                    var photo_big = "<?php echo $photo_big; ?>";
                    $.ajax({
                        url: "action_interval.php",
                        type: "POST",
                        data: {idstavk: idstavk, screen_name: screen_name, first_name: first_name, last_name: last_name, photo_big: photo_big},
                        success: function (data) {
                            if (data == 1)
                            {
 
                            }
                            else
                            {
                                $(".chat_pyst").remove();
                                $("ul").prepend(data);
                            }
                        }
                    });
                }, 500);
            });