Написать программу в Maple12

1. Исследование свойств функций Бесселя первого рода
Специальные функции, а среди них, в первую очередь, цилиндрические функции (ЦФ), достаточно прочно вошли в обиход радиоинженеров. ЦФ находят применение в теории волноводов, объемных резонаторов, в вопросах, связанных с распространением электромагнитных волн, в задачах преобразования спектра нелинейными радиоустройствами, в теории фильтров и длинных линий. В теорию ЦФ большой вклад внесли Эйлер, Бессель, Рэлей, Томсон (Кельвин), Зоммерфельд, Дебай, Фок. Наиболее полное изложение принадлежит английскому математику Ватсону.
1.1. Определение и основные расчетные соотношения
Функции Бесселя первого Jn(х) и второго Nn (х ) рода удовлетворяют дифференциальному уравнению
(1)

Функции Бесселя первого рода представляются в виде степенных рядов
(2)
Одним из важных свойств ЦФ является связь их с колебательными процессами. Для того, чтобы убедиться в этом, нужно ввести вместо у(х)в (1) новую переменную
Тогда из уравнения Бесселя получим
(3)
При больших х последним слагаемым в скобках можно пренебречь и считать, что решение уравнения (3) и
(4)
близки. Как известно, решением последнего уравнения служат функции, описывающие простейшие колебания: А соs (х+а); С ехр (-iх)+D ехр(iх).
Следовательно, решением уравнения (1) являются функции
, характеризующие затухающий колебательный процесс.
Рекуррентные формулы:
,
. (5)
Первое соотношение дает возможность выразить функции произвольного порядка n через функции нулевого и первого порядков, второе – представить производные от функции Бесселя через сами эти функции.
1.2. Методы численного расчета
Для широкого внедрения ЭВМ таблицы цилиндрических функций были основным способом их вычисления. Они, в свою очередь, были получены, используя интегральные представления, разложения в ряды, а также асимптотические выражения. Однако при решении прикладных задач, требующих расчета специальных функций при различных значениях аргумента, необходимо уметь вычислять их с помощью ЭВМ, так как использование таблиц оказывается очень неудобным.
Наиболее простым для реализации па ПЭВМ является использование формулы (2). Для функций Бесселя 1 -го рода этот ряд трудно использовать при больших х. В этом случае целесообразно применять асимптотические разложения Ханкеля для функции Бесселя [1]:
,

;
(6)

Роль асимптотических формул в теории цилиндрических функций велика. Они дают возможность вычислять значения ЦФ при больших значениях аргумента, когда степенные ряды сходятся медленно. Кроме того, асимптотические формулы для ЦФ позволяют при решении физических задач выбрать именно те частные решения дифференциального уравнения, которые соответствуют предельным условиям на бесконечности (например, условию излучения в электродинамике).
При вычислении ЦФ Бесселя первого рода для малых аргументов ряд (2) сходится быстро, и оказывается достаточным ограничиться первыми членами ряда, т.е.
, (7)
Другим способом вычисления функций Бесселя первого рода является применение рекуррентных формул. Рекуррентная формула (5) может быть использована для последовательного вычисления ЦФ, если порядок функции не превышает аргумента (х>п). При применении разностного уравнения в прямом направлении для х<п будет происходить резкое накопление ошибок округления, возрастающее с ростом порядка функции Бесселя (функция Бесселя для аргументов х<п быстро уменьшается с увеличением п, примерно как п-n ) Это явление называется неустойчивостыо.
Техника вычисления функции Jп(х) для х<п по рекуррентной формуле, примененной в обратном направлении (схема обратной рекурсии), предложенная Дж. Мюллером в 1952 г., состоит в следующем. Вводя в (5) замену m = (п-1), приходим к разностному уравнению
, m = М – 2, ….., 1. (8)

Вычисления начинаем с FМ (х) = 0, FМ-1(х) = 10-23, где индекс М превышает как m, так и х. Хотя FМ-1(х) может быть выбрано произвольным образом, оно должно быть достаточно малым, чтобы избежать появления чрезмерно больших чисел при х≤1. Функции Бесселя Jm (х) также удовлетворяют уравнению (8), и для всех m, достаточно малых по сравнению с М, получается Jm (х)≈ Fm(х) /α , α - константа, зависящая от m и вычисляемая с помощью соотношения

из которого следует, что

1.3. Корни цилиндрических функций Бесселя 1-го рода
Вопрос о корнях ЦФ имеет важное значение при решении краевых задач математической физики, которые связаны с отысканием функций, обращающихся в нуль на заданной окружности (волновод, цилиндр, коаксиальная линия). Функция Бесселя 1-го рода имеет бесконечное множество вещественных нулей; комплексных нулей нет. Между каждыми двумя положительными корнями вещественной цилиндрической функции порядка п лежит корень функции порядка (п+1). Нумерация корней s идет в порядке возрастания их значений.
Вычисление нулей и связанных с ними величин основывается на асимптотических разложениях [1]. Для нулей, начиная с s = 2 и п > 1, Эффективны асимптотические разложения. Ниже приводятся формулы, обеспечивающие четыре-пять верных значащих цифр результата

; t1 = 3π(4s-1)/8.
Величины ξ1 и х1 связаны через трансцендентное уравнение
,
решение которого легко находятся методом итераций. Пусть х1(k) - значение х1 на k -ой итерации. Тогда

При 0≤ п≤ s хорошие результаты дают асимптотические разложения Макмагона [1], ниже эти выражения приведены до членов порядка s-5

где 8β=(8 s +4п—2)π, μ=4п2.
Для приближенного вычисления нулей можно использовать метод последовательных приближений, при этом за начальное приближение могут быть приняты корни, полученные из асимптотические формул для функций Бесселя больших аргументов.

1.4. Лабораторное задание.

1. Изучить поведение функций Jn(х), построить графики, сравнить полученные значения с данными таблиц [1]. Для этого использовать программу - файл ВЕSSЕL.ехе. Результат ее выполнения - появление файлов бесформатной записи ВЕSSЕL__.dаt, где 7-ой и 8-ой символы соответствуют номеру порядка функции Бесселя. Для построения графиков функций Бесселя необходимо запустить b.bаt, предварительно подготовив файл !GRF .dаt.
2. Определить границы применимости асимптотических при х≤1 и приближенных при х≥1. формул для первых десяти порядков функции Бесселя. Проанализировать, как изменяются границы применимости различных формул при увеличении порядка функции п. Для выполнения этого пункта используется программа ВЕSSЕL.ехе. Результаты ее выполнения записываются в файлы бесформатной записи ВЕS01.dаt (точное вычисление функций Бесселя), ВЕS03.dаt (вычисление функций Бесселя по приближенным формулам для малого аргумента), ВЕS02.dаt асимптотические представления функции Бесселя для больших аргументов).
3. Определить первые s нулей функции Бесселя 1-го рода п-го порядка, сравнить полученные значения с данными таблиц [1]. Для выполнения этого пункта используется программа NULL_В.ехе. Результаты ее выполнения записываются в файл ) NULL_В.rеs. Полученные нули сравнить со значениями корней для главной асимптотики функции Бесселя. Построить графики зависимостей относительной погрешности определения корней с помощью главной асимптотики от аргумента функции х для первых пяти порядков функции Бесселя.