Почему неправильно считает определенный интеграл?

@Johnlion · Регистрация: 11.05.2011

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Считаю интеграл (файлик .nb Mathematica 8 пригалаю)
Название: опр инт.png
Просмотров: 89

Размер: 1.6 Кб

методом средних прямоугольников. 2 вопроса:
- я что-то делаю неправильно: Mathematica выводит результат 0.364222 (строка 12 в последнем блоке кода), а методом прямоугольников получается 0.543802 (строка 1 в 3м блоке кода). почему?
- может я неправильно определяю наибольшее значение модуля второй производной? (строка 1 во 2м блоке кода)

Кликните здесь для просмотра всего текста

Code
1
2
3
4
5
6
7
f[x_] := x^0.5 *Sin[x]
x0 = 0;
xn = 1;
eps = 0.0001;
f2[x_] = Dt[f[x], {x, 2}];
 
Plot[f2[x], {x, x0, xn}]

Почему неправильно считает определенный интеграл?

Code
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
(* из графика видно, что наибольшее значение модуля второй производной 
в точке 0,04. Найдем это значение *)
M2 = N[f2[0.04]]
 
3.73834
 
(* определим велечину шага h с учетом ограничения на n: *)
 
h = Sqrt[(24*eps)/(M2*(xn - x0))]
 
0.0253377
 
n = (xn - x0)/h
 
39.4669
 
(* возьмем такие значения (h можно только уменьшать, n \
должно быть целым): *)
 
h1 = 0.01111111;
n = (xn - x0)/h1
 
90.
 
(* вычислим значение интеграла: *)

Название: J1_1.png
Просмотров: 86

Размер: 1.8 Кб

Code
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
0.543802
 
(* рассчитаем погрешность для формулы средних квадратов: *)
 
R1 = (xn - x0)/24*h1^2*M2
 
0.0000192301
 
(* погрешность по Рунге для формулы средних прямоугольников 
(h ум. вдвое, n ув. вдвое): *)
 
h11 = h1/2;

Название: J1_2.png
Просмотров: 87

Размер: 2.0 Кб

Code
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
0.543802
 
k = 2;
r1 = (J11 - J1)/(2^k - 1)
 
2.08237*10^-7
 
(* проверка с помощью Mathematica *)
 
JM = NIntegrate[f[x], {x, x0, xn}]
 
0.364222

@VSI · 21.06.2014, 20:46

Средние прямоугольники...

@Johnlion · 21.06.2014, 21:24 **[ТС]**

VSI, не совсем понимаю, почему m = 100 и где вычисляется h ?

@VSI · 21.06.2014, 22:36

h это dx
m - число разбиений диапазона...

@Johnlion · 21.06.2014, 23:02 **[ТС]**

VSI, почему m именно 100? и почему h считается не так, как у меня? и если можно, пожалуйста, прокомментируйте мой метод решения, почему он неправильный?

@VSI · 21.06.2014, 23:34

Сообщение от Johnlion

...почему m именно 100?

Можете присваивать m=10, 20, 30, ..., 100, 110, 120, ..., 200, ... На Ваше усмотрение... Чем больше (в разумных пределах, конечно), тем результат точнее...

@Johnlion · 22.06.2014, 00:15 **[ТС]**

VSI, спасибо

а на остальные вопросы ответите?

@Mysterious Light · 22.06.2014, 02:14

Сообщение от Johnlion

почему m именно 100?

Наверное, из тех же соображений, что и

Code
1
2
3
4
5
6
7
(* возьмем такие значения (h можно только уменьшать, n \
должно быть целым): *)
 
h1 = 0.01111111;
n = (xn - x0)/h1
 
90.

Сообщение от Johnlion

прокомментируйте мой метод решения, почему он неправильный?

В J1 имеется магическая константа 0.2. Сравнивая этот код с аналогичным от VSI, приходим к выводу, что a=0.2 и Вы интегрируете от 0.2 до 1.2, поэтому и не сходится.

@Johnlion · 22.06.2014, 04:05 **[ТС]**

Mysterious Light, а чем же тогда заменить 0.2, чтобы сошлось?

@Mysterious Light · 22.06.2014, 13:04

x0, очевидно

@Johnlion · 22.06.2014, 13:21 **[ТС]**

Mysterious Light, да, получилось, спасибо) а почему вы решили, что я интегрирую до 1.2 ?

@Mysterious Light · 22.06.2014, 13:52

Потому что Вы выбираете n из соображения, что длина интегрированого участка 1 (потому что n h = xn - x0 = 1), а в формуле Вы задаёте аргумент 0.2 + (i - 1/2) h, где (i - 1/2) h охватывает диапазон, задаваемый n h = 1, а смещение 0.2 определяет самую левую точку диапазона, стало быть, самая правая точка диапазона будет 1 + 0.2 = 1.2

См. формулу VSI и сравнивайте с Вашей формулой.

@Johnlion · 22.06.2014, 15:04 **[ТС]**

Mysterious Light, а теперь когда я заменил 0.2 на x0 оно интегрируется до 1 ?

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Символические и жёсткие ссылки в Linux. algri14 15.03.2026 Существует два типа ссылок — символические и жёсткие. Ссылка в Linux — это дополнительная запись в каталоге, которая может указывать либо на inode «файла-ИСТОЧНИКА», тогда это будет «жёсткая. . .	[Owen Logic] Поддержание уровня воды в резервуаре количеством включённых насосов: моделирование и выбор регулятора ФедосеевПавел 14.03.2026 Поддержание уровня воды в резервуаре количеством включённых насосов: моделирование и выбор регулятора ВВЕДЕНИЕ Выполняя задание на управление насосной группой заполнения резервуара,. . .	делаю науч статью по влиянию грибов на сукцессию anaschu 13.03.2026 прикрепляю статью	SDL3 для Desktop (MinGW): Создаём пустое окно с нуля для 2D-графики на SDL3, Си и C++ 8Observer8 10.03.2026 Содержание блога Финальные проекты на Си и на C++: hello-sdl3-c. zip hello-sdl3-cpp. zip Результат:
Установка CMake и MinGW 13.1 для сборки С и C++ приложений из консоли и из Qt Creator в EXE 8Observer8 10.03.2026 Содержание блога MinGW - это коллекция инструментов для сборки приложений в EXE. CMake - это система сборки приложений. Здесь описаны базовые шаги для старта программирования с помощью CMake и. . .	Как дизайн сайта влияет на конверсию: 7 решений, которые реально повышают заявки Neotwalker 08.03.2026 Многие до сих пор воспринимают дизайн сайта как “красивую оболочку”. На практике всё иначе: дизайн напрямую влияет на то, оставит человек заявку или уйдёт через несколько секунд. Даже если у вас. . .	Модульная разработка через nuget packages DevAlt 07.03.2026 Сложившийся в . Net-среде способ разработки чаще всего предполагает монорепозиторий в котором находятся все исходники. При создании нового решения, мы просто добавляем нужные проекты и имеем. . .	Модульный подход на примере F# DevAlt 06.03.2026 В блоге дяди Боба наткнулся на такое определение: В этой книге («Подход, основанный на вариантах использования») Ивар утверждает, что архитектура программного обеспечения — это структуры,. . .

@VSI Модератор $Эксперт по математике/физике$ 5291 / 4073 / 1392 Регистрация: 30.07.2012 Сообщений: 12,490
	21.06.2014, 20:46
	Средние прямоугольники... Миниатюры 0

@Johnlion 63 / 3 / 1 Регистрация: 11.05.2011 Сообщений: 666
	21.06.2014, 21:24 [ТС]
	VSI, не совсем понимаю, почему m = 100 и где вычисляется h ? 0

@VSI Модератор $Эксперт по математике/физике$ 5291 / 4073 / 1392 Регистрация: 30.07.2012 Сообщений: 12,490
	21.06.2014, 22:36
	h это dx m - число разбиений диапазона... 0

@Johnlion 63 / 3 / 1 Регистрация: 11.05.2011 Сообщений: 666
	21.06.2014, 23:02 [ТС]
	VSI, почему m именно 100? и почему h считается не так, как у меня? и если можно, пожалуйста, прокомментируйте мой метод решения, почему он неправильный? 0

@Johnlion 63 / 3 / 1 Регистрация: 11.05.2011 Сообщений: 666
	22.06.2014, 00:15 [ТС]
	VSI, спасибо а на остальные вопросы ответите? 0

@Johnlion 63 / 3 / 1 Регистрация: 11.05.2011 Сообщений: 666
	22.06.2014, 04:05 [ТС]
	Mysterious Light, а чем же тогда заменить 0.2, чтобы сошлось? 0

@Mysterious Light $Эксперт по математике/физике$ 4313 / 2105 / 431 Регистрация: 19.07.2009 Сообщений: 3,205 Записей в блоге: 24
	22.06.2014, 13:04
	x0, очевидно 0

@Johnlion 63 / 3 / 1 Регистрация: 11.05.2011 Сообщений: 666
	22.06.2014, 13:21 [ТС]
	Mysterious Light, да, получилось, спасибо) а почему вы решили, что я интегрирую до 1.2 ? 0

@Mysterious Light $Эксперт по математике/физике$ 4313 / 2105 / 431 Регистрация: 19.07.2009 Сообщений: 3,205 Записей в блоге: 24
	22.06.2014, 13:52
	Потому что Вы выбираете n из соображения, что длина интегрированого участка 1 (потому что n h = xn - x0 = 1), а в формуле Вы задаёте аргумент 0.2 + (i - 1/2) h, где (i - 1/2) h охватывает диапазон, задаваемый n h = 1, а смещение 0.2 определяет самую левую точку диапазона, стало быть, самая правая точка диапазона будет 1 + 0.2 = 1.2 См. формулу VSI и сравнивайте с Вашей формулой. 0

@Johnlion 63 / 3 / 1 Регистрация: 11.05.2011 Сообщений: 666
	22.06.2014, 15:04 [ТС]
	Mysterious Light, а теперь когда я заменил 0.2 на x0 оно интегрируется до 1 ? 0