Найти приделы, используя правило Лопиталя

@San4ez-1-2-3 · Регистрация: 13.12.2012

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Решить по правилу Лопиталя

Найти приделы, используя правило Лопиталя

Заранее Спасибо!

@0x0000005C · 15.12.2012, 08:20

Задание:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?1)\;\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{4x}-1}{arcsin3x}\\2)\;\lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{2}}(\frac{2x}{ctgx}+\frac{\pi}{\cos x})\\3)\;\lim_{x\rightarrow 4}\frac{tg\frac{\pi x}{8}}{\ln(4-x)}\\4)\;\lim_{x\rightarrow \infty}(3^x+x)^{\frac{2}{x}}$
Правило Лопиталя:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f^'(x)}{g^'(x)}$
Применяется для раскрытия неопределённостей вида $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\small (\frac{0}{0}),\;(\frac{\infty}{\infty})$
Решение:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?1)\;\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{4x}-1}{arcsin3x}=(\frac{0}{0})=\left|(e^{4x}-1)^'=4e^4x,\;(arcsin3x)^'=3*\frac{1}{\sqrt{1-9x^2}} \right|=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{4e^{4x}\sqrt{1-9x^2}}{3}=\frac{4}{3}=1\frac{1}{3}\\2)\;\lim_{x\rightarrow \frac{\pi }{2}}(\frac{2x}{ctgx}+\frac{\pi}{\cos x})=\lim_{x\rightarrow \frac{\pi }{2}}\frac{2x\sin x+\pi}{\cos x}=(\frac{2\pi}{0})=+\infty\\3)\;\lim_{x\rightarrow 4}\frac{tg\frac{\pi x}{8}}{\ln(4-x)}=(\frac{\infty}{\infty})=\lim_{x\rightarrow 4}\frac{\frac{\pi}{8\cos^2\frac{\pi x}{8}}}{\frac{1}{x-4}}=\frac{\pi}{8}\lim_{x\rightarrow 4}\frac{x-4}{\cos^2\frac{\pi x}{8}}=(\frac{0}{0})=\frac{\pi}{8}\lim_{x\rightarrow 4}\frac{1}{\frac{\pi}{8}*2\sin \frac{\pi x}{8}\cos \frac{\pi x}{8}}=\lim_{x\rightarrow 4}\frac{1}{\sin \frac{\pi x}{4}}=(\frac{1}{0})=\infty\\4)\;\lim_{x\rightarrow \infty}(3^x+x)^{\frac{2}{x}}=(\infty^0)=e^{\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{2\ln(3^x+x)}{x}}\\\;\;\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{2\ln(3^x+x)}{x}=(\frac{\infty}{\infty})=2\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{3^x\ln 3 + 1}{3^x+x}=(\frac{\infty}{\infty})=2\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{3^x\ln^2 3}{3^x\ln 3 +1}=2\ln 3\\\;\;e^{\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{2\ln(3^x+x)}{x}}=e^{2\ln 3}=3^2=9$

@San4ez-1-2-3 · 15.12.2012, 10:54 **[ТС]**

Благодарствую!

@San4ez-1-2-3 38 / 38 / 9 Регистрация: 13.12.2012 Сообщений: 142
		1
	Найти приделы, используя правило Лопиталя 13.12.2012, 19:30. Показов 500. Ответов 2 Метки нет (Все метки) Решить по правилу Лопиталя Заранее Спасибо! 0

@0x0000005C 16 / 5 / 2 Регистрация: 15.12.2012 Сообщений: 26
	15.12.2012, 08:20	2
	Задание: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?1)\;\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{4x}-1}{arcsin3x}\\2)\;\lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{2}}(\frac{2x}{ctgx}+\frac{\pi}{\cos x})\\3)\;\lim_{x\rightarrow 4}\frac{tg\frac{\pi x}{8}}{\ln(4-x)}\\4)\;\lim_{x\rightarrow \infty}(3^x+x)^{\frac{2}{x}}$ Правило Лопиталя: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f^'(x)}{g^'(x)}$ Применяется для раскрытия неопределённостей вида $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\small (\frac{0}{0}),\;(\frac{\infty}{\infty})$ Решение: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?1)\;\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{4x}-1}{arcsin3x}=(\frac{0}{0})=\left\|(e^{4x}-1)^'=4e^4x,\;(arcsin3x)^'=3\frac{1}{\sqrt{1-9x^2}} \right\|=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{4e^{4x}\sqrt{1-9x^2}}{3}=\frac{4}{3}=1\frac{1}{3}\\2)\;\lim_{x\rightarrow \frac{\pi }{2}}(\frac{2x}{ctgx}+\frac{\pi}{\cos x})=\lim_{x\rightarrow \frac{\pi }{2}}\frac{2x\sin x+\pi}{\cos x}=(\frac{2\pi}{0})=+\infty\\3)\;\lim_{x\rightarrow 4}\frac{tg\frac{\pi x}{8}}{\ln(4-x)}=(\frac{\infty}{\infty})=\lim_{x\rightarrow 4}\frac{\frac{\pi}{8\cos^2\frac{\pi x}{8}}}{\frac{1}{x-4}}=\frac{\pi}{8}\lim_{x\rightarrow 4}\frac{x-4}{\cos^2\frac{\pi x}{8}}=(\frac{0}{0})=\frac{\pi}{8}\lim_{x\rightarrow 4}\frac{1}{\frac{\pi}{8}2\sin \frac{\pi x}{8}\cos \frac{\pi x}{8}}=\lim_{x\rightarrow 4}\frac{1}{\sin \frac{\pi x}{4}}=(\frac{1}{0})=\infty\\4)\;\lim_{x\rightarrow \infty}(3^x+x)^{\frac{2}{x}}=(\infty^0)=e^{\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{2\ln(3^x+x)}{x}}\\\;\;\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{2\ln(3^x+x)}{x}=(\frac{\infty}{\infty})=2\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{3^x\ln 3 + 1}{3^x+x}=(\frac{\infty}{\infty})=2\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{3^x\ln^2 3}{3^x\ln 3 +1}=2\ln 3\\\;\;e^{\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{2\ln(3^x+x)}{x}}=e^{2\ln 3}=3^2=9$ 0

@San4ez-1-2-3 38 / 38 / 9 Регистрация: 13.12.2012 Сообщений: 142
	15.12.2012, 10:54 [ТС]	3
	Благодарствую! 0