Доказать неравенство

@chelogrek · Регистрация: 21.09.2012

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Здравствуйте!

Помогите пожалуйста доказать неравенство, что-то застопорился с ним совсем:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}^{1/n}({1+\frac{x}{n}})^{n} > {x}^{2}$

@Igor · 09.06.2014, 18:04

chelogrek, а на каком множестве? Просто при x=-n сами видите что.

@chelogrek · 09.06.2014, 18:30 **[ТС]**

Извиняюсь, забыл написать : x>1

@Igor · 09.06.2014, 19:15

chelogrek, я бы прологарифмировал для начала.

@chelogrek · 09.06.2014, 19:23 **[ТС]**

Простите, пытаюсь понять идею, но не получается, единственная ассоциация - то, что предел второго множителя - $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{e}^{x}$ , но как это поможет не могу сообразить, Вы не могли бы написать подробнее, что делать с логарифмами?

OldFedor · 09.06.2014, 19:27

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{1}{n}lnx+nln(1+\frac{x}{n})> 2lnx$

@chelogrek · 09.06.2014, 19:37 **[ТС]**

Спасибо. А потом нужно дифференцировать, да?

OldFedor · 09.06.2014, 19:39

Сообщение от chelogrek

А потом нужно дифференцировать, да?

Зачем? Преобразовывайте дальше.

@chelogrek · 09.06.2014, 21:26 **[ТС]**

Получается только такое:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{1}{n} +n{log}_{x}(1+\frac{x}{n})>2$
это верное направление?

Добавлено через 1 час 26 минут
чувствую, что туплю, но не могу ничего придумать(
можете пожалуйста еще подсказать?

OldFedor · 09.06.2014, 21:40

Сам думаю.

@Igor · 09.06.2014, 22:47

chelogrek, я бы исследовал на минимум с помощью производной. Там не так уж плохо получается, вроде.

@chelogrek · 09.06.2014, 23:39 **[ТС]**

Спасибо, попробую. Последний, да, логарифм дифференцировать?

@Igor · 09.06.2014, 23:46

chelogrek, последний не проверял. Лучше тот, который указал уважаемый OldFedor.

OldFedor · 10.06.2014, 11:57

Пока дошел до очевидного.

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}^{\frac{2n-1}{n}}(1+\frac{x}{n})^n>1,(1)$

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f1={x}^{\frac{2n-1}{n}}$

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f2=(1+\frac{x}{n})^n$

Поскольку x > 1, то (1) очевидно выполняется при f1 > 1 и f2 > 1 ( f1 > 1 & f2 >= 1 или f1 >= 1 & f2 > 1)

f1 > 1, n <=0,5 & f2 > 1, n > 0

OldFedor · 10.06.2014, 12:48

При любых n > 0,5

При любых n < 0

Это что же получается? Для любых n при x > 1?

@chelogrek · 14.06.2014, 20:46 **[ТС]**

Скажите пожалуйста, как у Вас получилось
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}^{\frac{2n-1}{n}}$ ?

По-моему, если делить на $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x^2$ , получается
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}^{\frac{1-2n}{n}}$ , нет?

Про графики честно говоря вообще не понял(
С помощью производной также пытался исследовать (как экстремум ф-ции двух переменных), но вроде получается, что экстремума вообще нет, совсем запутался с этой задачей..

@Brigadenfurer · 15.06.2014, 00:06

я думаю, может по аналогии доказать и для $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}^{\frac{1}{n}}(1+\frac{x}{n})^n>{(1+\frac{x}{2})}^{2}$
там, мне кажется, может понадобиться $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{k=1}^{n}\frac{n!}{k!(n-k)!}{(\frac{x}{n}})^{k}$
и учитывать, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}^{\frac{1}{n}}=1$ при $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n\rightarrow \propto$

@Igor · 15.06.2014, 18:30

Сообщение от chelogrek

С помощью производной также пытался исследовать (как экстремум ф-ции двух переменных)

chelogrek, так Вы относительно x только исследуйте. Или, да - с биномом Ньютона попробовать.

@chelogrek · 15.06.2014, 18:51 **[ТС]**

Я так понимаю, нам нужно доказать, что
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(x, n) = \frac{ln(x)}{n}+nln(1+\frac{x}{n})-2ln(x)$
больше нуля при всех x > 1 и n = 1,2,3...
Относительно x получается, что критическая точка - это
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x = \frac{n(2n-1)}{{(n-1)}^{2}}$
Дальше искал производную по n, подставлял в нее этот x, проверял достаточное условие экстремума (дискриминант $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?AC-B^2$ ) и получалось вроде, что нет экстремума..

А почему, Вы говорите, достаточно посмотреть по x? от n ведь тоже зависит, и я подумал сначала "растянуть" n на все действ. числа больше 1 и так рассматривать f(x,n) и потом обратно перейти к натуральным, или можно проще, смотря на один x?
(с биномом была идея раскрывать, но показалось, ничего не сокращается, хотя может быть просто поспешил)

@Igor · 15.06.2014, 19:18

Сообщение от chelogrek

от n ведь тоже зависит

chelogrek, n - это параметр, но не более.

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Музыка, написанная Искусственным Интеллектом volvo 04.12.2025 Всем привет. Некоторое время назад меня заинтересовало, что уже умеет ИИ в плане написания музыки для песен, и, собственно, исполнения этих самых песен. Стихов у нас много, уже вышли 4 книги, еще 3. . .	От async/await к виртуальным потокам в Python IndentationError 23.11.2025 Армин Ронахер поставил под сомнение async/ await. Создатель Flask заявляет: цветные функции - провал, виртуальные потоки - решение. Не threading-динозавры, а новое поколение лёгких потоков. Откат?. . .	Поиск "дружественных имён" СОМ портов Argus19 22.11.2025 Поиск "дружественных имён" СОМ портов На странице: https:/ / norseev. ru/ 2018/ 01/ 04/ comportlist_windows/ нашёл схожую тему. Там приведён код на С++, который показывает только имена СОМ портов, типа,. . .	Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Programma_Boinc 20.11.2025 Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Вот решила сделать интересный приблизительный подсчет, сколько государство потратило на меня денег на покупку инсулинов. . . .	Ломающие изменения в C#.NStar Alpha Etyuhibosecyu 20.11.2025 Уже можно не только тестировать, но и пользоваться C#. NStar - писать оконные приложения, содержащие надписи, кнопки, текстовые поля и даже изображения, например, моя игра "Три в ряд" написана на этом. . .
Мысли в слух kumehtar 18.11.2025 Кстати, совсем недавно имел разговор на тему медитаций с людьми. И обнаружил, что они вообще не понимают что такое медитация и зачем она нужна. Самые базовые вещи. Для них это - когда просто люди. . .	Создание Single Page Application на фреймах krapotkin 16.11.2025 Статья исключительно для начинающих. Подходы оригинальностью не блещут. В век Веб все очень привыкли к дизайну Single-Page-Application . Быстренько разберем подход "на фреймах". Мы делаем одну. . .	Фото: Daniel Greenwood kumehtar 13.11.2025	Расскажи мне о Мире, бродяга kumehtar 12.11.2025 — Расскажи мне о Мире, бродяга, Ты же видел моря и метели. Как сменялись короны и стяги, Как эпохи стрелою летели. - Этот мир — это крылья и горы, Снег и пламя, любовь и тревоги, И бескрайние. . .	PowerShell Snippets iNNOKENTIY21 11.11.2025 Модуль PowerShell 5. 1+ : Snippets. psm1 У меня модуль расположен в пользовательской папке модулей, по умолчанию: \Documents\WindowsPowerShell\Modules\Snippets\ А в самом низу файла-профиля. . .

@chelogrek 18 / 18 / 0 Регистрация: 21.09.2012 Сообщений: 86

	Доказать неравенство 09.06.2014, 17:48. Показов 1580. Ответов 20 Метки нет (Все метки) Здравствуйте! Помогите пожалуйста доказать неравенство, что-то застопорился с ним совсем: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}^{1/n}({1+\frac{x}{n}})^{n} > {x}^{2}$ 0

@Igor 4654 / 3406 / 361 Регистрация: 11.11.2010 Сообщений: 6,205 Записей в блоге: 2
	09.06.2014, 18:04
	chelogrek, а на каком множестве? Просто при x=-n сами видите что. 0

@chelogrek 18 / 18 / 0 Регистрация: 21.09.2012 Сообщений: 86
	09.06.2014, 18:30 [ТС]
	Извиняюсь, забыл написать : x>1 0

@Igor 4654 / 3406 / 361 Регистрация: 11.11.2010 Сообщений: 6,205 Записей в блоге: 2
	09.06.2014, 19:15
	chelogrek, я бы прологарифмировал для начала. 1

@chelogrek 18 / 18 / 0 Регистрация: 21.09.2012 Сообщений: 86
	09.06.2014, 19:23 [ТС]
	Простите, пытаюсь понять идею, но не получается, единственная ассоциация - то, что предел второго множителя - $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{e}^{x}$ , но как это поможет не могу сообразить, Вы не могли бы написать подробнее, что делать с логарифмами? 0

OldFedor 7486 / 4150 / 474 Регистрация: 25.08.2012 Сообщений: 11,530 Записей в блоге: 11
	09.06.2014, 19:27
	$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{1}{n}lnx+nln(1+\frac{x}{n})> 2lnx$ 1

@chelogrek 18 / 18 / 0 Регистрация: 21.09.2012 Сообщений: 86
	09.06.2014, 19:37 [ТС]
	Спасибо. А потом нужно дифференцировать, да? 0

@chelogrek 18 / 18 / 0 Регистрация: 21.09.2012 Сообщений: 86
	09.06.2014, 21:26 [ТС]
	Получается только такое: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{1}{n} +n{log}_{x}(1+\frac{x}{n})>2$ это верное направление? Добавлено через 1 час 26 минут чувствую, что туплю, но не могу ничего придумать( можете пожалуйста еще подсказать? 0

OldFedor 7486 / 4150 / 474 Регистрация: 25.08.2012 Сообщений: 11,530 Записей в блоге: 11
	09.06.2014, 21:40
	Сам думаю. 0

@Igor 4654 / 3406 / 361 Регистрация: 11.11.2010 Сообщений: 6,205 Записей в блоге: 2
	09.06.2014, 22:47
	chelogrek, я бы исследовал на минимум с помощью производной. Там не так уж плохо получается, вроде. 0

@chelogrek 18 / 18 / 0 Регистрация: 21.09.2012 Сообщений: 86
	09.06.2014, 23:39 [ТС]
	Спасибо, попробую. Последний, да, логарифм дифференцировать? 0

@Igor 4654 / 3406 / 361 Регистрация: 11.11.2010 Сообщений: 6,205 Записей в блоге: 2
	09.06.2014, 23:46
	chelogrek, последний не проверял. Лучше тот, который указал уважаемый OldFedor. 1

OldFedor 7486 / 4150 / 474 Регистрация: 25.08.2012 Сообщений: 11,530 Записей в блоге: 11
	10.06.2014, 11:57
	Пока дошел до очевидного. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}^{\frac{2n-1}{n}}(1+\frac{x}{n})^n>1,(1)$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f1={x}^{\frac{2n-1}{n}}$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f2=(1+\frac{x}{n})^n$ Поскольку x > 1, то (1) очевидно выполняется при f1 > 1 и f2 > 1 ( f1 > 1 & f2 >= 1 или f1 >= 1 & f2 > 1) f1 > 1, n <=0,5 & f2 > 1, n > 0 0

OldFedor 7486 / 4150 / 474 Регистрация: 25.08.2012 Сообщений: 11,530 Записей в блоге: 11
	10.06.2014, 12:48
	При любых n > 0,5 При любых n < 0 Это что же получается? Для любых n при x > 1? 1

@chelogrek 18 / 18 / 0 Регистрация: 21.09.2012 Сообщений: 86
	14.06.2014, 20:46 [ТС]
	Скажите пожалуйста, как у Вас получилось $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}^{\frac{2n-1}{n}}$ ? По-моему, если делить на $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x^2$ , получается $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}^{\frac{1-2n}{n}}$ , нет? Про графики честно говоря вообще не понял( С помощью производной также пытался исследовать (как экстремум ф-ции двух переменных), но вроде получается, что экстремума вообще нет, совсем запутался с этой задачей.. 0

@Brigadenfurer 0 / 0 / 0 Регистрация: 14.06.2014 Сообщений: 4
	15.06.2014, 00:06
	я думаю, может по аналогии доказать и для $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}^{\frac{1}{n}}(1+\frac{x}{n})^n>{(1+\frac{x}{2})}^{2}$ там, мне кажется, может понадобиться $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{k=1}^{n}\frac{n!}{k!(n-k)!}{(\frac{x}{n}})^{k}$ и учитывать, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}^{\frac{1}{n}}=1$ при $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n\rightarrow \propto$ 0

@chelogrek 18 / 18 / 0 Регистрация: 21.09.2012 Сообщений: 86
	15.06.2014, 18:51 [ТС]
	Я так понимаю, нам нужно доказать, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(x, n) = \frac{ln(x)}{n}+nln(1+\frac{x}{n})-2ln(x)$ больше нуля при всех x > 1 и n = 1,2,3... Относительно x получается, что критическая точка - это $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x = \frac{n(2n-1)}{{(n-1)}^{2}}$ Дальше искал производную по n, подставлял в нее этот x, проверял достаточное условие экстремума (дискриминант $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?AC-B^2$ ) и получалось вроде, что нет экстремума.. А почему, Вы говорите, достаточно посмотреть по x? от n ведь тоже зависит, и я подумал сначала "растянуть" n на все действ. числа больше 1 и так рассматривать f(x,n) и потом обратно перейти к натуральным, или можно проще, смотря на один x? (с биномом была идея раскрывать, но показалось, ничего не сокращается, хотя может быть просто поспешил) 0