Доказать неравенство № 1

@Shajtan · Регистрация: 20.09.2015

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Помогите решить, никак не получается, может у кого есть какие мысли)
Докажите что для произвольных действительных чисел Х≥1 Y≥1 Z≥1 имеет место неравенство x^y+y^z+z^x≤x^x+y^y+z^z Докажите для каких еще положительных действительных чисел x, y, z выполняется это неравенство.

echs · 23.10.2015, 17:28

Я подумал. Может это вам и поможет.
Допустим, что x <= y <= z (1)
(другие случаи разбираются отдельно с учетом симметрии переменных)
Итак имеем
x^y+y^z+z^x <= x^y+y^z+z^z
И сравните это с тем, что нам надо доказать.
Иначе говоря, мы проведем доказательство,
если докажем, что x^y+y^z <= x^x+y^y
Учитывая допущение (1). Имеем
Нет
Не выходит.
Но принцип такой. Использовать неравенства типа (1)
Надо подумать ...

Добавлено через 1 час 11 минут
Я подумал. А что если сначала доказать это неравенство для натуральных чисел. Но двойное применение метода математической индукции результата не дало.

Итак первый способ остается основным. Тут проблема кроется пожалуй вот в чем. Мы имеем дело с показательно-степенной функцией. А она растет быстрее и показательной и степенной функций. И это на учитывать.
Надо еще подумать ...

Добавлено через 1 час 28 минут
Сложная задача. Такая жалость. Слетело с крючка такое доказательство. Я не стал мелочится и решил обобщить эту формулу. По индукции начало очевидно. А дальше?
Дальше буду еще думать. Мне кажется, что эта задача не покидала моей головы.

Байт · 24.10.2015, 02:13

Сообщение от geh

Мне кажется, что эта задача не покидала моей головы.

Но ничего, ничего, что всегда, как известно, наша судьба - то гульба, то пальба, не оставляйте стараний, Маэстро!, не убирайте ладони со лба...

Б.Окуджава

echs · 24.10.2015, 08:58

Байт,
Мне кажется, что эту задачу можно решить так.
1) при x = y = z = 1 - Точное равенство
2) но если доказать, что правая часть возрастает быстрее левой, то это и будет доказательством.

PS.
Да вот забыл, как выглядит ряд Тейлора для функции от трех переменных. 100 лет не решал подобных задач.

Байт · 24.10.2015, 11:46

Сообщение от geh

но если доказать, что правая часть возрастает быстрее левой,

Что значит "возрастает" для функции нескольких переменных?

echs · 24.10.2015, 12:46

Байт,
Быстрее возрастает - значит производная больше.

Байт · 24.10.2015, 13:02

Сообщение от geh

Быстрее возрастает - значит производная больше.

А у нее много производных...
Смотри. Для функции одной переменной возрастание выглядит так:
При x1 < x2 будет f(x1) < f(x2)
А как ты собираешься сравнивать точки (x1, y1) (x2, y2) ? Увы, для пространств размерности больше 1 естественной упорядоченности нету. Как нет ее и у комплексных чисел...

Добавлено через 3 минуты

Сообщение от geh

Допустим, что x <= y <= z (1)
(другие случаи разбираются отдельно с учетом симметрии переменных)

Допущение вполне разумно. И никаких других случаях рассматривать не надо. В таких случаях говорят "Для определенности положим, что x <= y <= z"

echs · 24.10.2015, 13:44

Байт,
Спасибо. А что если рассматривать переменные y и z
как параметры. Это на доказательство не повлияет. Зато мы будем иметь только переменную Х.

Добавлено через 34 минуты
Байт,
А что если изменить масштаб переменных. Образно говоря взять их соотношение. Тогда мы можем просто положить х=1 и получим простое неравенство. (???)
1+y^z+z^1 < 1+y^y+z^z
Или
y^z + z < y^y + z^z
А это почти очевидно
Ведь любая показательно-степенная функция растет быстрее, чем степенная или показательная.

echs · 07.11.2015, 17:49

Еще одна попытка (может другим повезет больше)
Дано
x^y + y^z + z^x <= x^x + y^y + z^z
Индукция по количеству переменных.
Шаг 1.
При n=1 неравенство очевидно
То есть x^x <= x^x
Шаг 2.
Пусть верно
x^y + y^x <= x^x + y^y
y^z + z^y <= y^y + z^z
x^z + z^x <= x^x + z^z
Складывая все три неравенства получим

(x^y + y^z + z^x) + (x^z + z^y + y^x) <= 2(x^x + y^y + z^z)

(Но также верно, что x^z + z^y + y^x <= x^x + y^y + z^z)
А вот как разделить эти неравенства?
Ума не приложу.

@kabenyuk · 07.11.2015, 18:16

Сообщение от geh

Пусть верно
x^y + y^x <= x^x + y^y

Может все же стоит для начала доказать хотя бы это неравенство.

echs · 07.11.2015, 19:25

kabenyuk,
Как всегда вы правы. Это должно быть проще,
ибо здесь всего два параметра. Что интересно.
Это неравенство вытекает из исходного при z=y.
Спасибо!

@kabenyuk · 08.11.2015, 11:20

geh, дарю вам доказательство неравенства х^у+у^х<х^x+у^y.
Пусть х<y. Поскольку x>=1, то
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> x^y-x^x=x^x\left(x^{y-x}-1\right)<y^x(y^{y-x}-1)=y^y-y^x.<br />$

echs · 08.11.2015, 13:40

Славный kabenyuk,
Вы гений! Бог математики! Я потрясен!!
И преклоняюсь пред мощью вашего интеллекта!
Это невероятно!!....

Добавлено через 1 час 11 минут
Это решение мне было подсказано Великим kabenyuk,
Доказательство неравенства x^y+y^z+z^x < x^x+y^y+z^z
Дополнительное условие x < y < z
Итак.
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x^y+y^x <x^x+y^y$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y^z+z^y <y^y+z^z$

Складываем оба неравенства

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(x^y+y^z)+(y^x+z^y)<(x^x+y^y+z^z)+y^y$

Далее добавляем и вычитаем z^x

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(x^y+y^z+z^x)+(y^x+z^y-z^x)<(x^x+y^y+z^z)+y^y$

Наше неравенство будет доказано если докажем, что

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(y^x+z^y-z^x)<y^y$
или
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(y^x+z^x(z^{y-x}-1))<y^y$

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(y^x+y^x(y^{y-x}-1))<y^y$

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(y^x+y^y-y^x)<y^y$

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y^y<y^y$
(Неравенства все нестрогие)
Что и требовалось доказать

@kabenyuk · 08.11.2015, 15:11

geh, не хотелось бы быть занудным, однако все же geh - мне друг, но истина дороже.
Ваше неравенство после слова "или" (назовем его (2)) и следующее за ним (пусть оно названо (3)) не равносильны. А ведь вам надо как раз-таки, чтобы из неравенства (3) следовало бы неравенство (2), а это не так. Насколько я понимаю ваши выкладки.

Вот слегка исправил ваши рассуждения:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> x^y-x^x+y^z-y^y=x^x(x^{y-x}-1)+y^y(y^{z-y}-1)\ <\ z^x(z^{y-x}-1)+z^y(z^{z-y}-1)=z^y-z^x+z^z-z^y=-z^x+z^z.<br />$

echs · 08.11.2015, 15:46

kabenyuk,
Вы сделали выкладки более красивыми и очевидными.
В моем доказательстве я не уточнил, что делаю левую
часть неравенства меньше.
Честь доказательства принадлежит вам. Вы указали
в каком направлении надо двигаться. А то я только
Кругами ходил.
Спасибо! Тысячу раз спасибо!

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Музыка, написанная Искусственным Интеллектом volvo 04.12.2025 Всем привет. Некоторое время назад меня заинтересовало, что уже умеет ИИ в плане написания музыки для песен, и, собственно, исполнения этих самых песен. Стихов у нас много, уже вышли 4 книги, еще 3. . .	От async/await к виртуальным потокам в Python IndentationError 23.11.2025 Армин Ронахер поставил под сомнение async/ await. Создатель Flask заявляет: цветные функции - провал, виртуальные потоки - решение. Не threading-динозавры, а новое поколение лёгких потоков. Откат?. . .	Поиск "дружественных имён" СОМ портов Argus19 22.11.2025 Поиск "дружественных имён" СОМ портов На странице: https:/ / norseev. ru/ 2018/ 01/ 04/ comportlist_windows/ нашёл схожую тему. Там приведён код на С++, который показывает только имена СОМ портов, типа,. . .	Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Programma_Boinc 20.11.2025 Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Вот решила сделать интересный приблизительный подсчет, сколько государство потратило на меня денег на покупку инсулинов. . . .	Ломающие изменения в C#.NStar Alpha Etyuhibosecyu 20.11.2025 Уже можно не только тестировать, но и пользоваться C#. NStar - писать оконные приложения, содержащие надписи, кнопки, текстовые поля и даже изображения, например, моя игра "Три в ряд" написана на этом. . .
Мысли в слух kumehtar 18.11.2025 Кстати, совсем недавно имел разговор на тему медитаций с людьми. И обнаружил, что они вообще не понимают что такое медитация и зачем она нужна. Самые базовые вещи. Для них это - когда просто люди. . .	Создание Single Page Application на фреймах krapotkin 16.11.2025 Статья исключительно для начинающих. Подходы оригинальностью не блещут. В век Веб все очень привыкли к дизайну Single-Page-Application . Быстренько разберем подход "на фреймах". Мы делаем одну. . .	Фото: Daniel Greenwood kumehtar 13.11.2025	Расскажи мне о Мире, бродяга kumehtar 12.11.2025 — Расскажи мне о Мире, бродяга, Ты же видел моря и метели. Как сменялись короны и стяги, Как эпохи стрелою летели. - Этот мир — это крылья и горы, Снег и пламя, любовь и тревоги, И бескрайние. . .	PowerShell Snippets iNNOKENTIY21 11.11.2025 Модуль PowerShell 5. 1+ : Snippets. psm1 У меня модуль расположен в пользовательской папке модулей, по умолчанию: \Documents\WindowsPowerShell\Modules\Snippets\ А в самом низу файла-профиля. . .

@Shajtan 0 / 0 / 0 Регистрация: 20.09.2015 Сообщений: 2

	Доказать неравенство № 1 20.09.2015, 01:12. Показов 2112. Ответов 14 Метки нет (Все метки) Помогите решить, никак не получается, может у кого есть какие мысли) Докажите что для произвольных действительных чисел Х≥1 Y≥1 Z≥1 имеет место неравенство x^y+y^z+z^x≤x^x+y^y+z^z Докажите для каких еще положительных действительных чисел x, y, z выполняется это неравенство. 0

echs Регистрация: 23.10.2013 Сообщений: 5,076 Записей в блоге: 8
	23.10.2015, 17:28
	Я подумал. Может это вам и поможет. Допустим, что x <= y <= z (1) (другие случаи разбираются отдельно с учетом симметрии переменных) Итак имеем x^y+y^z+z^x <= x^y+y^z+z^z И сравните это с тем, что нам надо доказать. Иначе говоря, мы проведем доказательство, если докажем, что x^y+y^z <= x^x+y^y Учитывая допущение (1). Имеем Нет Не выходит. Но принцип такой. Использовать неравенства типа (1) Надо подумать ... Добавлено через 1 час 11 минут Я подумал. А что если сначала доказать это неравенство для натуральных чисел. Но двойное применение метода математической индукции результата не дало. Итак первый способ остается основным. Тут проблема кроется пожалуй вот в чем. Мы имеем дело с показательно-степенной функцией. А она растет быстрее и показательной и степенной функций. И это на учитывать. Надо еще подумать ... Добавлено через 1 час 28 минут Сложная задача. Такая жалость. Слетело с крючка такое доказательство. Я не стал мелочится и решил обобщить эту формулу. По индукции начало очевидно. А дальше? Дальше буду еще думать. Мне кажется, что эта задача не покидала моей головы. 0

echs Регистрация: 23.10.2013 Сообщений: 5,076 Записей в блоге: 8
	24.10.2015, 08:58
	Байт, Мне кажется, что эту задачу можно решить так. 1) при x = y = z = 1 - Точное равенство 2) но если доказать, что правая часть возрастает быстрее левой, то это и будет доказательством. PS. Да вот забыл, как выглядит ряд Тейлора для функции от трех переменных. 100 лет не решал подобных задач. 0

echs Регистрация: 23.10.2013 Сообщений: 5,076 Записей в блоге: 8
	24.10.2015, 12:46
	Байт, Быстрее возрастает - значит производная больше. 0

echs Регистрация: 23.10.2013 Сообщений: 5,076 Записей в блоге: 8
	24.10.2015, 13:44
	Байт, Спасибо. А что если рассматривать переменные y и z как параметры. Это на доказательство не повлияет. Зато мы будем иметь только переменную Х. Добавлено через 34 минуты Байт, А что если изменить масштаб переменных. Образно говоря взять их соотношение. Тогда мы можем просто положить х=1 и получим простое неравенство. (???) 1+y^z+z^1 < 1+y^y+z^z Или y^z + z < y^y + z^z А это почти очевидно Ведь любая показательно-степенная функция растет быстрее, чем степенная или показательная. 0

echs Регистрация: 23.10.2013 Сообщений: 5,076 Записей в блоге: 8
	07.11.2015, 17:49
	Еще одна попытка (может другим повезет больше) Дано x^y + y^z + z^x <= x^x + y^y + z^z Индукция по количеству переменных. Шаг 1. При n=1 неравенство очевидно То есть x^x <= x^x Шаг 2. Пусть верно x^y + y^x <= x^x + y^y y^z + z^y <= y^y + z^z x^z + z^x <= x^x + z^z Складывая все три неравенства получим (x^y + y^z + z^x) + (x^z + z^y + y^x) <= 2(x^x + y^y + z^z) (Но также верно, что x^z + z^y + y^x <= x^x + y^y + z^z) А вот как разделить эти неравенства? Ума не приложу. 0

echs Регистрация: 23.10.2013 Сообщений: 5,076 Записей в блоге: 8
	07.11.2015, 19:25
	kabenyuk, Как всегда вы правы. Это должно быть проще, ибо здесь всего два параметра. Что интересно. Это неравенство вытекает из исходного при z=y. Спасибо! 0

@kabenyuk $Эксперт по математике/физике$ 4184 / 3052 / 918 Регистрация: 19.11.2012 Сообщений: 6,196
	08.11.2015, 11:20
	geh, дарю вам доказательство неравенства х^у+у^х<х^x+у^y. Пусть х<y. Поскольку x>=1, то $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> x^y-x^x=x^x\left(x^{y-x}-1\right)<y^x(y^{y-x}-1)=y^y-y^x.<br />$ 2

echs Регистрация: 23.10.2013 Сообщений: 5,076 Записей в блоге: 8
	08.11.2015, 13:40
	Славный kabenyuk, Вы гений! Бог математики! Я потрясен!! И преклоняюсь пред мощью вашего интеллекта! Это невероятно!!.... Добавлено через 1 час 11 минут Это решение мне было подсказано Великим kabenyuk, Доказательство неравенства x^y+y^z+z^x < x^x+y^y+z^z Дополнительное условие x < y < z Итак. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x^y+y^x <x^x+y^y$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y^z+z^y <y^y+z^z$ Складываем оба неравенства $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(x^y+y^z)+(y^x+z^y)<(x^x+y^y+z^z)+y^y$ Далее добавляем и вычитаем z^x $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(x^y+y^z+z^x)+(y^x+z^y-z^x)<(x^x+y^y+z^z)+y^y$ Наше неравенство будет доказано если докажем, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(y^x+z^y-z^x)<y^y$ или $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(y^x+z^x(z^{y-x}-1))<y^y$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(y^x+y^x(y^{y-x}-1))<y^y$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(y^x+y^y-y^x)<y^y$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y^y<y^y$ (Неравенства все нестрогие) Что и требовалось доказать 2

@kabenyuk $Эксперт по математике/физике$ 4184 / 3052 / 918 Регистрация: 19.11.2012 Сообщений: 6,196
	08.11.2015, 15:11
	geh, не хотелось бы быть занудным, однако все же geh - мне друг, но истина дороже. Ваше неравенство после слова "или" (назовем его (2)) и следующее за ним (пусть оно названо (3)) не равносильны. А ведь вам надо как раз-таки, чтобы из неравенства (3) следовало бы неравенство (2), а это не так. Насколько я понимаю ваши выкладки. Вот слегка исправил ваши рассуждения: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> x^y-x^x+y^z-y^y=x^x(x^{y-x}-1)+y^y(y^{z-y}-1)\ <\ z^x(z^{y-x}-1)+z^y(z^{z-y}-1)=z^y-z^x+z^z-z^y=-z^x+z^z.<br />$ 1

echs Регистрация: 23.10.2013 Сообщений: 5,076 Записей в блоге: 8
	08.11.2015, 15:46
	kabenyuk, Вы сделали выкладки более красивыми и очевидными. В моем доказательстве я не уточнил, что делаю левую часть неравенства меньше. Честь доказательства принадлежит вам. Вы указали в каком направлении надо двигаться. А то я только Кругами ходил. Спасибо! Тысячу раз спасибо! 0