Система нелинейных уравнений

@~Jack~ · Регистрация: 30.11.2010

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Подскажите, как решить данное уравнение:
Вложение 624211
Где, Tпл1, Тпл2, Тпл3 - температура плавления первого, второго и третьего компонента системы.
N1, N2, N3 - количество атомов в формуле компонента
X1, X2, X3 - мольная доля компонента
Мне решение нужно, чтобы потом его запрограммировать.

@AGK · 24.12.2015, 14:21

Введем обозначения $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?X_{1}=e^{x_{1}}, X_{2}=e^{x_{2}}, X_{3}=e^{x_{3}}$ . В новых обозначениях немного по-другому перепишу уравнения: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?1-\frac{x_{2}}{N_{2}}=\frac{T_{2}}{T_{1}}(1-\frac{x_{1}}{N_{1}}) , 1-\frac{x_{3}}{N_{3}}=\frac{T_{3}}{T_{1}}(1-\frac{x_{1}}{N_{1}})$ . Таким образом, все можно выразить через x1. Подставляя все это в третье уравнение, получим примерно следующее (надеюсь, что не сделал ошибок):
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?e^{x_{1}}(1+e^{N_{2}(1-\frac{T_{2}}{T_{1}})}e^{(\frac{N_{2}T_{2}}{N_{1}T_{1}}-1)x_{1}} +e^{N_{3}(1-\frac{T_{3}}{T_{1}})}e^{(\frac{N_{3}T_{3}}{N_{1}T_{1}}-1)x_{1}} ) = 1$
Теперь, можно попытаться найти х1 методом последовательных приближений, взяв в качестве первого значения, например, 0 . Мне кажется, итерационный процесс должен достаточно быстро сходиться:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x_{1,i}=-\ln(1+e^{N_{2}(1-\frac{T_{2}}{T_{1}})}e^{(\frac{N_{2}T_{2}}{N_{1}T_{1}}-1)x_{1,i-1}} +e^{N_{3}(1-\frac{T_{3}}{T_{1}})}e^{(\frac{N_{3}T_{3}}{N_{1}T_{1}}-1)x_{1,i-1}} )$
По крайней мере, этот итерационный процесс легко запрограммировать и проверить, сходится или нет. Может быть как-то придется поиграть с начальным приближением. Предлагаю попробовать.

Если сходиться будет плохо, есть мысли, как улучшить сходимость

@~Jack~ 12 / 12 / 3 Регистрация: 30.11.2010 Сообщений: 157
		1
	Система нелинейных уравнений 23.12.2015, 21:01. Показов 509. Ответов 1 Метки нет (Все метки) Подскажите, как решить данное уравнение: Вложение 624211 Где, Tпл1, Тпл2, Тпл3 - температура плавления первого, второго и третьего компонента системы. N1, N2, N3 - количество атомов в формуле компонента X1, X2, X3 - мольная доля компонента Мне решение нужно, чтобы потом его запрограммировать. 0

@AGK 763 / 664 / 194 Регистрация: 24.11.2015 Сообщений: 2,158
	24.12.2015, 14:21	2
	Введем обозначения $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?X_{1}=e^{x_{1}}, X_{2}=e^{x_{2}}, X_{3}=e^{x_{3}}$ . В новых обозначениях немного по-другому перепишу уравнения: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?1-\frac{x_{2}}{N_{2}}=\frac{T_{2}}{T_{1}}(1-\frac{x_{1}}{N_{1}}) , 1-\frac{x_{3}}{N_{3}}=\frac{T_{3}}{T_{1}}(1-\frac{x_{1}}{N_{1}})$ . Таким образом, все можно выразить через x1. Подставляя все это в третье уравнение, получим примерно следующее (надеюсь, что не сделал ошибок): $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?e^{x_{1}}(1+e^{N_{2}(1-\frac{T_{2}}{T_{1}})}e^{(\frac{N_{2}T_{2}}{N_{1}T_{1}}-1)x_{1}} +e^{N_{3}(1-\frac{T_{3}}{T_{1}})}e^{(\frac{N_{3}T_{3}}{N_{1}T_{1}}-1)x_{1}} ) = 1$ Теперь, можно попытаться найти х1 методом последовательных приближений, взяв в качестве первого значения, например, 0 . Мне кажется, итерационный процесс должен достаточно быстро сходиться: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x_{1,i}=-\ln(1+e^{N_{2}(1-\frac{T_{2}}{T_{1}})}e^{(\frac{N_{2}T_{2}}{N_{1}T_{1}}-1)x_{1,i-1}} +e^{N_{3}(1-\frac{T_{3}}{T_{1}})}e^{(\frac{N_{3}T_{3}}{N_{1}T_{1}}-1)x_{1,i-1}} )$ По крайней мере, этот итерационный процесс легко запрограммировать и проверить, сходится или нет. Может быть как-то придется поиграть с начальным приближением. Предлагаю попробовать. Если сходиться будет плохо, есть мысли, как улучшить сходимость 1