Область определения функции

@FasterHarder · Регистрация: 28.04.2015

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Всем привет!
Есть такая задача: найти длину промежутка, являющегося областью определения функции
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=\sqrt{\lg ((1-3x)/(x-2))}$

В итоге я построил такую систему:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lg ((1-3x)/(x-2)) >= 0$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(1-3x)/(x-2)>0$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x-2\neq 0$

и решил ее! Ответ не совпал (в моем решении получилось, что НЕТ таких х вообще - промежутки не пересекаются) и у меня возникли подозрения, а правильна ли сама система сформирована? Именно в этом вопрос.

Байт · 18.11.2016, 11:44

FasterHarder, переход ошибочный
После lg(...) >= 0
(1-3x)/(x-2) >= 1

@FasterHarder · 18.11.2016, 13:01 **[ТС]**

Сообщение от Байт

переход ошибочный

я записал систему ИЗ ТРЕХ неравенств!
2-е неравенство выражает то, что подлогарифмическое выражение д б положительно

я же прав, да?

@mevn · 18.11.2016, 13:22

FasterHarder, Скорее всего забыли рассмотреть случай, когда и (1-3x) и (х-2) - отрицательные
Получаем две системы
Первая
1 - 3x >= x-2
1 - 3x >= 0
x - 2 > 0
Она не имеет решения
И вторая
1 - 3x < x-2
1 - 3x < 0
x - 2 < 0
Она легко решается

@FasterHarder · 18.11.2016, 13:32 **[ТС]**

Сообщение от mevn

когда и (1-3x) и (х-2) - отрицательные

так разве при решении 2-го неравенства из моей первоначальной системы не учитывает этот случай?
т е когда решается (1-3x)/(x-2)>0 этого достаточно

Вроде элементарная задача + я прекрасно знаю, как решаются дробно-рациональные неравенства...странно...

@mevn · 18.11.2016, 13:44

Сообщение от FasterHarder

так разве при решении 2-го неравенства из моей первоначальной системы не учитывает этот случай?

Все учитывается но где то в расчетах ошибка

Сообщение от mevn

И вторая
1 - 3x < x-2
1 - 3x < 0
x - 2 < 0

Ответ 3/4 < x < 2
Или приведите свой расчет

Байт · 18.11.2016, 13:54

Сообщение от FasterHarder

я прекрасно знаю, как решаются дробно-рациональные неравенства...

За то не очень хорошо логарифмические...

log_aX > b <=> X > a^b (при a > 1)
lg(X) >= 0 <=> X > 1
Условие неотрицательности подлогарифмического выражения при этом выполняется автоматически

Добавлено через 4 минуты

Сообщение от mevn

Ответ 3/4 < x < 2

Почти так. Только первое неравенство не строгое.

Добавлено через 53 секунды

Сообщение от FasterHarder

Вроде элементарная задача +

Такие затмения иногда случаются...

@mevn · 18.11.2016, 13:58

Байт, Прошу прощения, ошибочка у меня вышла.

Добавлено через 2 минуты
Конечно же
1 - 3x <= x-2

@jogano · 18.11.2016, 16:25

Сообщение от FasterHarder

В итоге я построил такую систему:

Не все условия нужно выписывать явно - некоторые условия следуют из других, как в вашем случае.
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lg \frac{1-3x}{x-2}\geq 0 \: \Leftrightarrow \: \frac{1-3x}{x-2}\geq 1 \: \Leftrightarrow \: \frac{1-3x-x+2}{x-2}\geq 0 \: \Leftrightarrow \: \frac{3-4x}{x-2}\geq 0 \: \Leftrightarrow \: x \in \left[\frac{3}{4}; \: 2 \right)$
Условие на положительность дроби под логарифмом нужно (если нужно) явно писать только после раскрытия логарифма, т.е. на уровне 2-го неравенства строки выше (в системе вместе со 2-м неравенством), а у вас если дробь получилась >=1, то она автоматически >0. То же и со знаменателем - неравенство нулю х-2 нужно учитывать только при решении последнего неравенства методом "змейки".
Вот если бы у вас было исходное неравенство с другими знаком, тогда да:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lg \frac{1-3x}{x-2}\leq 0 \: \Leftrightarrow \: \begin{cases}\frac{1-3x}{x-2}\leq 1 \\ \frac{1-3x}{x-2}>0 \end{cases} \: \Leftrightarrow \: \begin{cases}\frac{3-4x}{x-2}\leq 0 \\ \frac{1-3x}{x-2}>0 \end{cases} \: \Leftrightarrow \: \begin{cases}x \in \left(-\infty; \: \frac{3}{4} \right] \cup \left(2; \: +\infty \right)\\ x \in \left(\frac{1}{3}; \: 2 \right)\end{cases} \: \Leftrightarrow \: x \in \left(\frac{1}{3}; \: \frac{3}{4} \right]$
- в первой же системе из того, что дробь по неравенству <=1 не следует, что она обязательно >0, а должна, поэтому нужно "подпереть" дробь слева нулём, чтобы логарифм брался.

@FasterHarder · 18.11.2016, 18:55 **[ТС]**

Сообщение от Байт

За то не очень хорошо логарифмические...

Ну, то, что знак отношения может меняться на противоположный, когда основание логарифма лежит на интервале (0; 1), знаю, конечно и пр.)

Сообщение от jogano

Не все условия нужно выписывать явно

Тут я почти согласен, но ведь нужно вначале выписать ВСЕ ограничения, а уже потом "упростить" систему, выбросив избыточные. Т е в первоначальной системе были показаны ВСЕ ограничения.

Вот мое решение, вроде все нормально, лишь могут быть нюансы с нахождением длины ПОЛУИНТЕРВАЛА. Когда отрезок, то все четко, берем модуль разности границ, а вот на полуинтервале...

@FasterHarder · 18.11.2016, 19:07 **[ТС]**

В итоге я осознал свою ошибку - неправильно расставил знаки на интервалах, когда решал дробно-рациональное уравнение методом интервалов.

Лишь уточняющий вопрос.
Когда ищем длину ОТРЕЗКА [a; b], то L = |a - b| = |b - a|. Тут все понятно.
А если полуинтервал (a; b] или [a; b), то как тогда? Ведь вроде нельзя брать формулу для длины отрезка, т к одна точка, составляющая длину не должна попадать в ответ!

Байт · 18.11.2016, 19:47

Сообщение от FasterHarder

Ведь вроде нельзя брать формулу для длины отрезка,

Можно.

@FasterHarder · 18.11.2016, 20:09 **[ТС]**

Сообщение от Байт

Можно.

спс

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Музыка, написанная Искусственным Интеллектом volvo 04.12.2025 Всем привет. Некоторое время назад меня заинтересовало, что уже умеет ИИ в плане написания музыки для песен, и, собственно, исполнения этих самых песен. Стихов у нас много, уже вышли 4 книги, еще 3. . .	От async/await к виртуальным потокам в Python IndentationError 23.11.2025 Армин Ронахер поставил под сомнение async/ await. Создатель Flask заявляет: цветные функции - провал, виртуальные потоки - решение. Не threading-динозавры, а новое поколение лёгких потоков. Откат?. . .	Поиск "дружественных имён" СОМ портов Argus19 22.11.2025 Поиск "дружественных имён" СОМ портов На странице: https:/ / norseev. ru/ 2018/ 01/ 04/ comportlist_windows/ нашёл схожую тему. Там приведён код на С++, который показывает только имена СОМ портов, типа,. . .	Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Programma_Boinc 20.11.2025 Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Вот решила сделать интересный приблизительный подсчет, сколько государство потратило на меня денег на покупку инсулинов. . . .	Ломающие изменения в C#.NStar Alpha Etyuhibosecyu 20.11.2025 Уже можно не только тестировать, но и пользоваться C#. NStar - писать оконные приложения, содержащие надписи, кнопки, текстовые поля и даже изображения, например, моя игра "Три в ряд" написана на этом. . .
Мысли в слух kumehtar 18.11.2025 Кстати, совсем недавно имел разговор на тему медитаций с людьми. И обнаружил, что они вообще не понимают что такое медитация и зачем она нужна. Самые базовые вещи. Для них это - когда просто люди. . .	Создание Single Page Application на фреймах krapotkin 16.11.2025 Статья исключительно для начинающих. Подходы оригинальностью не блещут. В век Веб все очень привыкли к дизайну Single-Page-Application . Быстренько разберем подход "на фреймах". Мы делаем одну. . .	Фото: Daniel Greenwood kumehtar 13.11.2025	Расскажи мне о Мире, бродяга kumehtar 12.11.2025 — Расскажи мне о Мире, бродяга, Ты же видел моря и метели. Как сменялись короны и стяги, Как эпохи стрелою летели. - Этот мир — это крылья и горы, Снег и пламя, любовь и тревоги, И бескрайние. . .	PowerShell Snippets iNNOKENTIY21 11.11.2025 Модуль PowerShell 5. 1+ : Snippets. psm1 У меня модуль расположен в пользовательской папке модулей, по умолчанию: \Documents\WindowsPowerShell\Modules\Snippets\ А в самом низу файла-профиля. . .

@FasterHarder 383 / 280 / 112 Регистрация: 28.04.2015 Сообщений: 1,726

	Область определения функции 18.11.2016, 01:45. Показов 3411. Ответов 12 Метки нет (Все метки) Всем привет! Есть такая задача: найти длину промежутка, являющегося областью определения функции $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=\sqrt{\lg ((1-3x)/(x-2))}$ В итоге я построил такую систему: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lg ((1-3x)/(x-2)) >= 0$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(1-3x)/(x-2)>0$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x-2\neq 0$ и решил ее! Ответ не совпал (в моем решении получилось, что НЕТ таких х вообще - промежутки не пересекаются) и у меня возникли подозрения, а правильна ли сама система сформирована? Именно в этом вопрос. 0

Байт Диссидент 27714 / 17332 / 3810 Регистрация: 24.12.2010 Сообщений: 38,978
	18.11.2016, 11:44
	FasterHarder, переход ошибочный После lg(...) >= 0 (1-3x)/(x-2) >= 1 0

@mevn 137 / 107 / 23 Регистрация: 06.10.2008 Сообщений: 451
	18.11.2016, 13:22
	FasterHarder, Скорее всего забыли рассмотреть случай, когда и (1-3x) и (х-2) - отрицательные Получаем две системы Первая 1 - 3x >= x-2 1 - 3x >= 0 x - 2 > 0 Она не имеет решения И вторая 1 - 3x < x-2 1 - 3x < 0 x - 2 < 0 Она легко решается 0

@mevn 137 / 107 / 23 Регистрация: 06.10.2008 Сообщений: 451
	18.11.2016, 13:58
	Байт, Прошу прощения, ошибочка у меня вышла. Добавлено через 2 минуты Конечно же 1 - 3x <= x-2 0

@FasterHarder 383 / 280 / 112 Регистрация: 28.04.2015 Сообщений: 1,726
	18.11.2016, 19:07 [ТС]
	В итоге я осознал свою ошибку - неправильно расставил знаки на интервалах, когда решал дробно-рациональное уравнение методом интервалов. Лишь уточняющий вопрос. Когда ищем длину ОТРЕЗКА [a; b], то L = \|a - b\| = \|b - a\|. Тут все понятно. А если полуинтервал (a; b] или [a; b), то как тогда? Ведь вроде нельзя брать формулу для длины отрезка, т к одна точка, составляющая длину не должна попадать в ответ! 0