Функциональное уравнение

@Darkfor · Регистрация: 25.03.2019

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Всем здравствуйте! Помогите пожалуйста решить одну задачу. Мне бы даже хоть наводки какие-то.

Задана функция f: R+ -> R+, где R+ = [0,+бесконечность), удовлетворяющая
при всех неотрицательных x и y равенству (y+1) * f(x+y) = f( x * f(y) ).

Надо найти f(19), если f(1,5)=0,4.

Я уже читал литературу об этом, по примерам удалось функцию упростить.
Я взял y = 0, получил:

f(x) = f( x * f(0) ).

Но потом не нашёл ничего, что бы могло помочь.

Помогите, прошу!

Байт · 14.11.2019, 02:04

Darkfor, чтобы f не путалась под ногами, обозначим f(0) = a
f(x) = f(ax)
Это возможно, только если f(x) - константа
f(19) = f(1.5) = 0.4

Добавлено через 5 минут
Нет, слегка ошибся. Она есть константа, если a = f(0) !=(не равна) 1
При a = 1 функция может быть любой.

Добавлено через 4 минуты
Но мы еще не до конца использовали условие Дадим y = 1
2*f(x+1) = f(x)
Функция может быть чем-то вроде f(x) = C*(1/2)^x

@Darkfor · 14.11.2019, 12:45 **[ТС]**

Не могли бы вы объяснить почему f(x) = C*(1/2)x, и почему «вроде» ?

@kabenyuk · 14.11.2019, 14:00

Сообщение от Байт

константа

Не обязательно. Пусть, скажем, а=2. Обозначим А=gr(2)={...,1/4,1/2,1,2,4,...}. Положим f(0)=a, и на каждом смежном классе xA сделаем f постоянной (не важно какой). Тогда f(x)=f(ax) для любого х.

Байт · 14.11.2019, 14:04

Сообщение от Darkfor

почему f(x) = C*(1/2)², и почему «вроде» ?

Просто угадал, что такая функция подойдет...

@kabenyuk · 14.11.2019, 14:30

К тому же. При y=1.5, x=0. Получаем (1.5+1)f(1.5)=f(0) ==> f(0)=10.

Добавлено через 15 минут
Да и вообще при х=0 получается, что f(0)=(y+1)f(y). Чепуха какая-то?

@Том Ардер · 14.11.2019, 15:23

Сообщение от kabenyuk

х=0 получается, что f(0)=(y+1)f(y). Чепуха какая-то?

Это решение.

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(y)=\frac{f(0)}{y+1}$

Исходное условие даёт $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(1.5)=\frac{f(0)}{1.5+1}=0.4\Rightarrow f(0)=1$

@kabenyuk · 14.11.2019, 15:27

Сообщение от Том Ардер

даёт

Да, и это правда.

@Darkfor · 14.11.2019, 15:51 **[ТС]**

Получается что

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(19) = \frac{f(0)}{19 + 1} = \frac{1}{20} = 0.05 ?$

Правильно?

@kabenyuk · 14.11.2019, 15:58

Сообщение от Darkfor

Правильно?

Да, именно так.

@Darkfor · 14.11.2019, 16:02 **[ТС]**

Спасибо всем! Вы очень помогли!

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Музыка, написанная Искусственным Интеллектом volvo 04.12.2025 Всем привет. Некоторое время назад меня заинтересовало, что уже умеет ИИ в плане написания музыки для песен, и, собственно, исполнения этих самых песен. Стихов у нас много, уже вышли 4 книги, еще 3. . .	От async/await к виртуальным потокам в Python IndentationError 23.11.2025 Армин Ронахер поставил под сомнение async/ await. Создатель Flask заявляет: цветные функции - провал, виртуальные потоки - решение. Не threading-динозавры, а новое поколение лёгких потоков. Откат?. . .	Поиск "дружественных имён" СОМ портов Argus19 22.11.2025 Поиск "дружественных имён" СОМ портов На странице: https:/ / norseev. ru/ 2018/ 01/ 04/ comportlist_windows/ нашёл схожую тему. Там приведён код на С++, который показывает только имена СОМ портов, типа,. . .	Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Programma_Boinc 20.11.2025 Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Вот решила сделать интересный приблизительный подсчет, сколько государство потратило на меня денег на покупку инсулинов. . . .	Ломающие изменения в C#.NStar Alpha Etyuhibosecyu 20.11.2025 Уже можно не только тестировать, но и пользоваться C#. NStar - писать оконные приложения, содержащие надписи, кнопки, текстовые поля и даже изображения, например, моя игра "Три в ряд" написана на этом. . .
Мысли в слух kumehtar 18.11.2025 Кстати, совсем недавно имел разговор на тему медитаций с людьми. И обнаружил, что они вообще не понимают что такое медитация и зачем она нужна. Самые базовые вещи. Для них это - когда просто люди. . .	Создание Single Page Application на фреймах krapotkin 16.11.2025 Статья исключительно для начинающих. Подходы оригинальностью не блещут. В век Веб все очень привыкли к дизайну Single-Page-Application . Быстренько разберем подход "на фреймах". Мы делаем одну. . .	Фото: Daniel Greenwood kumehtar 13.11.2025	Расскажи мне о Мире, бродяга kumehtar 12.11.2025 — Расскажи мне о Мире, бродяга, Ты же видел моря и метели. Как сменялись короны и стяги, Как эпохи стрелою летели. - Этот мир — это крылья и горы, Снег и пламя, любовь и тревоги, И бескрайние. . .	PowerShell Snippets iNNOKENTIY21 11.11.2025 Модуль PowerShell 5. 1+ : Snippets. psm1 У меня модуль расположен в пользовательской папке модулей, по умолчанию: \Documents\WindowsPowerShell\Modules\Snippets\ А в самом низу файла-профиля. . .

@Darkfor 11 / 7 / 4 Регистрация: 25.03.2019 Сообщений: 140

	Функциональное уравнение 13.11.2019, 23:30. Показов 1960. Ответов 10 Метки нет (Все метки) Всем здравствуйте! Помогите пожалуйста решить одну задачу. Мне бы даже хоть наводки какие-то. Задана функция f: R+ -> R+, где R+ = [0,+бесконечность), удовлетворяющая при всех неотрицательных x и y равенству (y+1) * f(x+y) = f( x * f(y) ). Надо найти f(19), если f(1,5)=0,4. Я уже читал литературу об этом, по примерам удалось функцию упростить. Я взял y = 0, получил: f(x) = f( x * f(0) ). Но потом не нашёл ничего, что бы могло помочь. Помогите, прошу! 0

Байт Диссидент 27714 / 17332 / 3810 Регистрация: 24.12.2010 Сообщений: 38,978
	14.11.2019, 02:04
	Darkfor, чтобы f не путалась под ногами, обозначим f(0) = a f(x) = f(ax) Это возможно, только если f(x) - константа f(19) = f(1.5) = 0.4 Добавлено через 5 минут Нет, слегка ошибся. Она есть константа, если a = f(0) !=(не равна) 1 При a = 1 функция может быть любой. Добавлено через 4 минуты Но мы еще не до конца использовали условие Дадим y = 1 2f(x+1) = f(x) Функция может быть чем-то вроде f(x) = C(1/2)^x 1

@Darkfor 11 / 7 / 4 Регистрация: 25.03.2019 Сообщений: 140
	14.11.2019, 12:45 [ТС]
	Не могли бы вы объяснить почему f(x) = C*(1/2)x, и почему «вроде» ? 0

@kabenyuk $Эксперт по математике/физике$ 4184 / 3052 / 918 Регистрация: 19.11.2012 Сообщений: 6,196
	14.11.2019, 14:30
	К тому же. При y=1.5, x=0. Получаем (1.5+1)f(1.5)=f(0) ==> f(0)=10. Добавлено через 15 минут Да и вообще при х=0 получается, что f(0)=(y+1)f(y). Чепуха какая-то? 2

@Darkfor 11 / 7 / 4 Регистрация: 25.03.2019 Сообщений: 140
	14.11.2019, 15:51 [ТС]
	Получается что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(19) = \frac{f(0)}{19 + 1} = \frac{1}{20} = 0.05 ?$ Правильно? 0

@Darkfor 11 / 7 / 4 Регистрация: 25.03.2019 Сообщений: 140
	14.11.2019, 16:02 [ТС]
	Спасибо всем! Вы очень помогли! 0

Опции темы

Функциональное уравнение

Решение