2 / 2 / 0
Регистрация: 26.07.2013
Сообщений: 7
1

Переход из квадратичной в прямоугольную область в задаче Дирихле для уравнения Лапласа

06.06.2014, 23:40. Показов 2190. Ответов 0
Метки нет (Все метки)

Постановка задачи для квадратичной области:
Численно решить двумерную обобщенную краевую задачу Дирихле для уравнения Лапласа в квадратичной области, где сторона квадрата равна 1, при заданных непрерывных и разрывных значениях потенциала на границах:
1) фи(х,0) = 10, фи(х, 1) = 10
фи(0, у) = 5, фи(1, у) = 5
2) фи(х,0) = 10, фи(х, 1) = 10
фи(0, у) = -5, фи(1, у) = -5

Исследовать:
- сходимость по числу итераций,
- сходимость по числу узлов двумерной сетки,
- сравнить решения краевых задач 1 и 2
- сходимость при разных значениях параметра релаксации.

Тоже самое только в картинке:
тут

Вот решение:
Кликните здесь для просмотра всего текста
Matlab M
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
2. Численное решение двумерной задачи Дирихле для уравнения Лапласа
% Листинг функции Iteration.m 
% Уравнение Лапласа: d^2phi/dx^2+d^2phi/dy^2=0 в квадратной области [0,1]x[0,1]
% Краевые условия: phi(x,0)=10, phi(x,1)=10, phi(0,y)=phi(1,y)=5
function z=interationL(N,Omega,Number_of_Iteration,phi)
% Возвращает значение потенциала на каждом шаге итерационного процесса
h=1/N; % шаг сетки
% Вычисление координат узлов сетки
i=1:N+1;
x(i)=(i-1)*h;
j=1:N+1;
y(j)=(j-1)*h;
% Итерационный цикл
for k=1:Number_of_Iteration
% Проход по узлам сетки
for j=2:N 
    for i=2:N
% Релаксация
phi(i,j)=(1-Omega)*phi(i,j)+Omega/4*(phi(i+1,j)+phi(i-1,j)+phi(i,j+1)+phi(i,j-1));
    end;
end;
if k==1
    q=phi; % Сохранение решения на 1-м шаге итерации
else
    q=cat(2,q,phi); % сохранение каждого следующего решения
end;
end;
z=q;
 
% Команды вызова
N=15; % Число узлов сетки
i=1:N+1;
j=1:N+1;
mu(i,1)=10; % потенциал на левой границе
mu(i,N+1)=10; % потенциал на правой границе
mu(1,j)=5; % потенциал на нижней границе
mu(N+1,j)=5; % потенциал на верхней границе
% Задание начального приближения
kx=2:N;
ky=2:N;
mu(kx,ky)=12;
Omega=1; % Параметр релаксации
Niter=200; % Число итераций
z=interationL(N,Omega,Niter,mu); % Решение уравнения Лапласа
% Вычисление векторов и матриц для построения линий уровня
% Формируется массив z [16x3200], где [16x16] -1 итерация, [16x16] -2
% итерация и т. д. [16x16] - 200 итерация
x(i)=(i-1)/N;
y(j)=(j-1)/N;
[x1 y1]=meshgrid(x,y); % формируется 2 массива 16x16 x1 - одинаковые
% столбцы, y1 - одинаковые строки
K=100; % Номер итерации для вывода линий уровня
N1=(N+1)*K+1; % (1601)
N2=(N+1)*(K+1); % (1616)
A=z(1:N+1,N1:N2); % Выделение K-того решения из общей матрицы решений
% (матрица 16x16)
[C,h]=contour(x1,y1,A,17); % (K100_10_10.bmp)
 
% Параметрия
K=199;% Вывод решения на 199 итерации (K199_10_10.bmp)
N1=(N+1)*K+1;
N2=(N+1)*(K+1);
A=z(1:N+1,N1:N2);
[C,h]=contour(x1,y1,A,17);
 
K=1;% Вывод решения на 1 итерации (K1_10_10.bmp)
N1=(N+1)*K+1;
N2=(N+1)*(K+1);
A=z(1:N+1,N1:N2);
[C,h]=contour(x1,y1,A,17);
 
[C,h]=contour(x1,y1,mu,17); % Вывод начального приближения (K0_10_10.bmp)


Собственно, вот в чём вопрос: Как перейти в прямоугольную область (х от 0 до 1, у от 0 до N)?
Все значения на потенциалах по периметру остаются такими как есть, просто необходимо теперь рассмотреть прямоугольную область.

Надеюсь меня кто-то поймёт, буду рад помощи от сообщества.
__________________
Помощь в написании контрольных, курсовых и дипломных работ, диссертаций здесь
0
Programming
Эксперт
94731 / 64177 / 26122
Регистрация: 12.04.2006
Сообщений: 116,782
06.06.2014, 23:40
Ответы с готовыми решениями:

Краевая задача Дирихле Для уравнения Лапласа
Добрый день! Дано задание найти численное решение краевой задачи Дирихле для уравнения Лапласа. ...

Численное решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа на полусфере
Сначала проблема: метод не сходится с нужной точностью, при увеличении разбиения, по идее, точность...

Построить функцию Грина для задачи Дирихле для уравнения Лапласа
\begin{cases} & \Delta U = 0; \ {(x,y)\epsilon R;\ \0<y<1,\ x\epsilon R} \\ & {U\mid }_{dD} = g(x)...

Задача Дирихле для уравнения Пуассона в круге
здравствуйте! Помогите пожалуйста решить! \Delta u=1 ; 0\leq r<R;u(x,y)=4 ; r=R

0
IT_Exp
Эксперт
87844 / 49110 / 22898
Регистрация: 17.06.2006
Сообщений: 92,604
06.06.2014, 23:40
Помогаю со студенческими работами здесь

Задача Дирихле для уравнения Пуассона в шаре
\begin{cases} & \Delta U = 0; \ \ 1<\rho <2 \\ & U(1, \varphi ,\theta )= 4cos(\pi /6 + \varphi )*...

Решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона
Если есть у кого решение данной задачи, выложите срочно!! не получается в своей проге, необходимо...


Искать еще темы с ответами

Или воспользуйтесь поиском по форуму:
1
Ответ Создать тему
Опции темы

КиберФорум - форум программистов, компьютерный форум, программирование
Powered by vBulletin
Copyright ©2000 - 2022, CyberForum.ru