Решение дифференциального уравнения второго порядка аналитически, дальнейшее построение графика функцией step

@kotiksky · Регистрация: 09.03.2020

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Всем доброе утро! Помогите, пожалуйста, с решением уравнения y''+1y'+4y=u, где y(0)=y'=0 и u(t) есть единичная ступенчатая функция. С функцией step +- знаком, но вот с аналитическим решением на бумаге и в принципе у меня с дифф.уравнениями не лады. Вроде как решается через коэффициенты перед y, но как это воплотить на бумаге и в матлабе, я теряюсь. Построение графика ф-ии с помощью step, надеюсь, осилю, но рекомендации лишними не будут)

Ух, ну понеслась нелёгкая.
изначальное ур-ие $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\small y''+By'+4y=u$ , в дополнительном условии y(0)=y'=0 и u(t) есть единичная ступенчатая ф-ия. Причём она тут, я не понимаю, видимо, ей нужно тестировать данную функцию на какую-то реакцию (т.к. предмет, где нам такое задают, именуется теорией автоматического управления и преподаётся чуть более, чем никак). Временно забиваю на эту ступенчатую ф-ию и иду дальше.
Как подсказывает калькулятор, нужно представить уравнение по форме $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\small y=e^r^x$
Решение (аналитическое):
1. составляю характеристическое ур-ие (надеюсь, коэф-ы не потерял и не намудрил): $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\small r^2+r+4=0$
2. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\small D=1^2-16=-15$ , здесь должны быть по идее два корня r1 и r2, но, стыдно сказать, мы такого не проходили. Версия корней из интернет_калькулятора: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\small r1=1+sqrt15i/2*1=-1/2+1/2sqrt15i; r2=1-sqrt15i/2*1=-1/2-1/2sqrt15i$
3. y1 и y2 находятся путём подставления значений r в вышеобозначенную форму:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\small y=e\frac{-1}{2}x*cos(1/2\sqrt{15x})$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\small y=e\frac{-1}{2}x*sin(1/2\sqrt{15x})$
(не получается $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\small 1/2$ записать как степень, в которую возвели экспоненту в формулке)
4. Далее выводится формулка $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\small \bar{y}={C}_{1}e\frac{-1}{2}x*cos(1/2\sqrt{15x}+{C}_{2}e\frac{-1}{2}x*sin(1/2\sqrt{15x}$ ,Ci ∈ R. Общее решение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\small y=y'+\bar{y}$
5. Потом частное решение при условии: y(0) = 0, y'(0) = 0
y(0) = c1= первое ур-ие c1 = 0
Находим первую производную:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\small y'=-(sqrt(15)c1e-x/2sin(sqrt(15)x/2))/2-(c1e-x/2cos(sqrt(15)x/2))/2-(c2e-x/2sin(sqrt(15)x/2))/2+(sqrt(15)*c2e-x/2*cos(sqrt(15)x/2))/2$
Поскольку y'(0) = $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\small -c1/2+sqrt(15)*c2/2$ , второе уравнение: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\small -c1/2+sqrt(15)*c2/2$
6.
c1 = 0
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\small c2=-c1/2+sqrt(15)*c2/2=0$
7. Частное решение: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\small \bar{y}=0e\frac{-1}{2}x*cos(1/2\sqrt{15x})+0e\frac{-1}{2}x*sin(1/2\sqrt{15x})$ (опять степень экспоненты $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\small \frac{1}{2}x$ уплыла)

Посмотрел примеры на экспоненте, как решают другие и затем записывают уравнение с графиком в матлаб.
Допустим, есть уравнение вида $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\small y'''-2y''-y'+2y=0$ . Его аналитическое решение в матлабе записано как:

Matlab M
1
2
3
>> dsolve('D3y-2*D2y-Dy+2*y=0')
ans =
C1*exp(t)+C2*exp(2*t)+C3*exp(-t)

Matlab M
1
2
3
4
5
Численное: 
>> y0=[1 1 1 ];
>> tspan=[0 20];
>> [T,Y]=ode45('ex21',tspan,y0);
>> plot(T,Y)

Посмотрев не один такой пример, я так и не понял, как правильно составить код и прикрутить к постройке графика ф-ию step. Буду благодарен наводкам

@nuHrBuH · 15.03.2020, 21:40

Латекс формулы красивые, но аналитическое решение не осилил. Вы не описали функцию step

@kotiksky · 15.03.2020, 21:47 **[ТС]**

Как понять "не описал"?

@nuHrBuH · 15.03.2020, 21:58

Сообщение от kotiksky

есть единичная ступенчатая функция

Это 0 и 1? Когда они наступают?

@kotiksky · 15.03.2020, 22:01 **[ТС]**

Единичная ступенчатая ф-ия в задании- это y(0)=y'=0 и u(t).
>когда наступают
Вот это совсем бешеный вопрос для меня из разряда "смотрю в книгу, вижу фигу".

@nuHrBuH · 15.03.2020, 22:12

Я себе ступенчатую функцию так представляю

@Centurio · 15.03.2020, 23:08

Сообщение от nuHrBuH

Я себе ступенчатую функцию так представляю

Нет, ступенчатая функция, она же функция Хевисайда, равна 0 при t<0 и равна 1 при t>=0

Добавлено через 41 минуту

Matlab M
1
2
3
4
5
syms y(t)
Dy=diff(y,t);
cond=[y(0)==0 Dy(0)==0];
y(t)=simplify(dsolve(diff(y,t,2)+Dy+4*y==heaviside(t),cond))
fplot(y,[0 15]),grid on

Численное решение:

Matlab M
1
2
3
eqn=@(t,y)([y(2);1-y(2)-4*y(1)]);
[t,y]=ode45(eqn,[0 15],[0 0]);
plot(t,y(:,1)),grid on

@tokrab · 15.03.2020, 23:13

почему бы не записать строку 4 проще

Matlab M
1
y(t)=simplify(dsolve(diff(y,t,2)+Dy+4*y==1,cond))

@Centurio · 15.03.2020, 23:28

Сообщение от tokrab

почему бы не записать строку 4 проще

Потому что при t<0 функция будет равна 0.

@tokrab · 15.03.2020, 23:45

Сообщение от Centurio

Потому что при t<0 функция будет равна 0

на решение это не влияет

@Centurio · 16.03.2020, 00:22

Сообщение от tokrab

на решение это не влияет

Как не влияет? Получаются разные решения. При использовании функции heaviside в решении появляется функция sign, тогда как при использовании 1 её нет. И вообще, ответ отличается. Другое дело, что для построения графика можно ограничиваться использованием 1, так как интервал там начинается с нуля.

@tokrab · 16.03.2020, 08:53

Сообщение от Centurio

Как не влияет?

к сожалению влияет, и "решение" трудно назвать решением
y(t) = -Inf*sign(sin((15^(1/2)*t)/2))

@Centurio · 16.03.2020, 11:10

Сообщение от tokrab

к сожалению влияет

Вот я и говорю, что влияет

Сообщение от tokrab

"решение" трудно назвать решением
y(t) = -Inf*sign(sin((15^(1/2)*t)/2))

Не знаю, как у вас так получилось. У меня получилось по-другому:
y(t) =-(exp(-t/2)*(sign(t) + 1)*(15*cos((15^(1/2)*t)/2) - 15*exp(t/2) + 15^(1/2)*sin((15^(1/2)*t)/2)))/120

@tokrab · 16.03.2020, 12:37

Сообщение от Centurio

У меня получилось по-другому:

в каком матлаб ваше решение ? я смотрел в 2016а

@Centurio · 16.03.2020, 18:04

Сообщение от tokrab

в каком матлаб ваше решение ?

В R2019b.

@nuHrBuH · 16.03.2020, 19:07

kotiksky
не слышно ничего от человека

@kotiksky · 21.03.2020, 19:40 **[ТС]**

в 2015м

Добавлено через 1 минуту

Сообщение от nuHrBuH

kotiksky
не слышно ничего от человека

К сожалению, из-за работы имею возможность заниматься только по выходным

Добавлено через 19 минут
Стреляемся дальше. "Аналитически" вот такая формула у меня получилась:

Matlab M
1
2
3
4
dsolve('D2y+Dy+4*y=u')
ans =
 
u/4 + C1*exp(-t/2)*cos((15^(1/2)*t)/2) + C2*exp(-t/2)*sin((15^(1/2)*t)/2)

Теперь бы с численным вроде как надо разобраться, и построить график c помощью step

@Centurio · 22.03.2020, 07:53

Сообщение от kotiksky

Теперь бы с численным вроде как надо разобраться

Я приводил численное решение выше. Какие вопросы у вас возникли по нему?

@kotiksky · 22.03.2020, 10:22 **[ТС]**

Сообщение от Centurio

Я приводил численное решение выше. Какие вопросы у вас возникли по нему?

что такое eqn и ode45, мне непонятно.

@Centurio · 22.03.2020, 10:51

Сообщение от kotiksky

что такое eqn и ode45, мне непонятно.

eqn - это функция системы из двух дифференциальных уравнений, на которые расписывается уравнение второго порядка. ode45 - встроенный решатель дифференциальных уравнений, который решает дифуры методом Рунге-Кутты 4-5 порядков.

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Access VikBal 11.12.2025 Помогите пожалуйста !! Как объединить 2 одинаковые БД Access с разными данными.	Новый ноутбук volvo 07.12.2025 Всем привет. По скидке в "черную пятницу" взял себе новый ноутбук Lenovo ThinkBook 16 G7 на Амазоне: Ryzen 5 7533HS 64 Gb DDR5 1Tb NVMe 16" Full HD Display Win11 Pro	Музыка, написанная Искусственным Интеллектом volvo 04.12.2025 Всем привет. Некоторое время назад меня заинтересовало, что уже умеет ИИ в плане написания музыки для песен, и, собственно, исполнения этих самых песен. Стихов у нас много, уже вышли 4 книги, еще 3. . .	От async/await к виртуальным потокам в Python IndentationError 23.11.2025 Армин Ронахер поставил под сомнение async/ await. Создатель Flask заявляет: цветные функции - провал, виртуальные потоки - решение. Не threading-динозавры, а новое поколение лёгких потоков. Откат?. . .	Поиск "дружественных имён" СОМ портов Argus19 22.11.2025 Поиск "дружественных имён" СОМ портов На странице: https:/ / norseev. ru/ 2018/ 01/ 04/ comportlist_windows/ нашёл схожую тему. Там приведён код на С++, который показывает только имена СОМ портов, типа,. . .
Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Programma_Boinc 20.11.2025 Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Вот решила сделать интересный приблизительный подсчет, сколько государство потратило на меня денег на покупку инсулинов. . . .	Ломающие изменения в C#.NStar Alpha Etyuhibosecyu 20.11.2025 Уже можно не только тестировать, но и пользоваться C#. NStar - писать оконные приложения, содержащие надписи, кнопки, текстовые поля и даже изображения, например, моя игра "Три в ряд" написана на этом. . .	Мысли в слух kumehtar 18.11.2025 Кстати, совсем недавно имел разговор на тему медитаций с людьми. И обнаружил, что они вообще не понимают что такое медитация и зачем она нужна. Самые базовые вещи. Для них это - когда просто люди. . .	Создание Single Page Application на фреймах krapotkin 16.11.2025 Статья исключительно для начинающих. Подходы оригинальностью не блещут. В век Веб все очень привыкли к дизайну Single-Page-Application . Быстренько разберем подход "на фреймах". Мы делаем одну. . .	Фото: Daniel Greenwood kumehtar 13.11.2025

@nuHrBuH 483 / 427 / 205 Регистрация: 04.03.2011 Сообщений: 1,259
	15.03.2020, 21:40
	Латекс формулы красивые, но аналитическое решение не осилил. Вы не описали функцию step 0

@kotiksky 0 / 0 / 0 Регистрация: 09.03.2020 Сообщений: 9
	15.03.2020, 21:47 [ТС]
	Как понять "не описал"? 0

@kotiksky 0 / 0 / 0 Регистрация: 09.03.2020 Сообщений: 9
	15.03.2020, 22:01 [ТС]
	Единичная ступенчатая ф-ия в задании- это y(0)=y'=0 и u(t). >когда наступают Вот это совсем бешеный вопрос для меня из разряда "смотрю в книгу, вижу фигу". 0

@nuHrBuH 483 / 427 / 205 Регистрация: 04.03.2011 Сообщений: 1,259
	15.03.2020, 22:12
	Я себе ступенчатую функцию так представляю Миниатюры 0

@nuHrBuH 483 / 427 / 205 Регистрация: 04.03.2011 Сообщений: 1,259
	16.03.2020, 19:07
	kotiksky не слышно ничего от человека 0