Вычисление тройного интеграла методом Симпсона

@The_KKK · Регистрация: 04.09.2015

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Считаю объем половины сферы как тройной интеграл.
Насколько я понял, исходя из формулы погрешности, погрешность метода симпсона при вычислении интеграла от квадратичной функции и константы равна нулю и сводится лишь к погрешности округления. соответственно точность вычисления интеграла от sin(x) 0,001 нужно поделить на "два" других интеграла, чтобы в итоге получить точность 0,001.
Требуется, как я уже упомянул выше, посчитать интеграл до заданной точности 0,001.
из формулы погрешности количество итераций равно $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt[4]{\frac{{(b-a)}^{5}}{2880{\delta }_{n}}}$ или примерно 4. В моей программе количество итераций вычисления "главного" интеграла от sin(x) равно 257 и точность получилась так себе.

Matlab M
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
clc;
clear;
 
f2=inline('x.^2');
a2=0;
b2=5;
n2=1;
h2(1)=(b2-a2)/(2*n2);
x_i=h2(1);
sum1_2=0;
while(x_i<b2)
    sum1_2=sum1_2+feval(f2,x_i);
    x_i=x_i+(2*h2(1));
end
x_i=2*h2(1);
sum2_2=0;
while(x_i<b2)
    sum2_2=sum2_2+feval(f2,x_i);
    x_i=x_i+(2*h2(1));
end
int2(1)=(b2-a2)/(2*n2)/3*(feval(f2,a2)+(4*sum1_2)+(2*sum2_2)+feval(f2,b2));
h2(n2+1)=(b2-a2)/(2*(n2+1));
x_i=h2(n2+1);
sum1_2=0;
while(x_i<b2)
    sum1_2=sum1_2+feval(f2,x_i);
    x_i=x_i+(2*h2(n2+1));
end
x_i=2*h2(n2+1);
sum2_2=0;
while(x_i<b2)
    sum2_2=sum2_2+feval(f2,x_i);
    x_i=x_i+(2*h2(n2+1));
end
int2(n2+1)=(b2-a2)/(2*(n2+1))/3*(feval(f2,a2)+(4*sum1_2)+(2*sum2_2)+feval(f2,b2));
n2=2;
while (abs(int2(n2)-int2(n2-1))>0.001)
    h2(n2+1)=(b2-a2)/(2*(n2+1));
    x_i=h2(n2+1);
    sum1_2=0;
    while(x_i<b2)
        sum1_2=sum1_2+feval(f2,x_i);
        x_i=x_i+(2*h2(n2+1));
    end
    x_i=2*h2(n2+1);
    sum2_2=0;
    while(x_i<b2)
        sum2_2=sum2_2+feval(f2,x_i);
        x_i=x_i+(2*h2(n2+1));
    end
    int2(n2+1)=(b2-a2)/(2*n2)/3*(feval(f2,a2)+(4*sum1_2)+(2*sum2_2)+feval(f2,b2));
    n2=n2+1;
end
 
f3=inline('1');
a3=0;
b3=pi/2;
n3=1;
h3(1)=(b3-a3)/(2*n3);
x_i=h3(1);
sum1_3=0;
while(x_i<b3)
    sum1_3=sum1_3+feval(f3,x_i);
    x_i=x_i+(2*h3(1));
end
x_i=2*h3(1);
sum2_3=0;
while(x_i<b3)
    sum2_3=sum2_3+feval(f3,x_i);
    x_i=x_i+(2*h3(1));
end
int3(1)=(b3-a3)/(2*n3)/3*(feval(f3,a3)+(4*sum1_3)+(2*sum2_3)+feval(f3,b3));
h3(n3+1)=(b3-a3)/(2*(n3+1));
x_i=h3(n3+1);
sum1_3=0;
while(x_i<b3)
    sum1_3=sum1_3+feval(f3,x_i);
    x_i=x_i+(2*h3(n3+1));
end
x_i=2*h3(n3+1);
sum2_3=0;
while(x_i<b3)
    sum2_3=sum2_3+feval(f3,x_i);
    x_i=x_i+(2*h3(n3+1));
end
int3(n3+1)=(b3-a3)/(2*(n3+1))/3*(feval(f3,a3)+(4*sum1_3)+(2*sum2_3)+feval(f3,b3));
n3=2;
while (abs(int3(n3)-int3(n3-1))>0.001)
    h3(n3+1)=(b3-a3)/(2*(n3+1));
    x_i=h3(n3+1);
    sum1_3=0;
    while(x_i<b3)
        sum1_3=sum1_3+feval(f3,x_i);
        x_i=x_i+(2*h3(n3+1));
    end
    x_i=2*h3(n3+1);
    sum2_3=0;
    while(x_i<b3)
        sum2_3=sum2_3+feval(f3,x_i);
        x_i=x_i+(2*h3(n3+1));
    end
    int3(n3+1)=(b3-a3)/(2*n3)/3*(feval(f3,a3)+(4*sum1_3)+(2*sum2_3)+feval(f3,b3));
    n3=n3+1;
end  
 
f1=inline('sin(x)');
a1=0;
b1=pi/2;
n1=1;
h1(1)=(b1-a1)/(2*n1);
x_i=h1(1);
sum1_1=0;
while(x_i<b1)
    sum1_1=sum1_1+feval(f1,x_i);
    x_i=x_i+(2*h1(1));
end
x_i=2*h1(1);
sum2_1=0;
while(x_i<b1)
    sum2_1=sum2_1+feval(f1,x_i);
    x_i=x_i+(2*h1(1));
end
int1(1)=(b1-a1)/(2*n1)/3*(feval(f1,a1)+(4*sum1_1)+(2*sum2_1)+feval(f1,b1));
h1(n1+1)=(b1-a1)/(2*(n1+1));
x_i=h1(n1+1);
sum1_1=0;
while(x_i<b1)
    sum1_1=sum1_1+feval(f1,x_i);
    x_i=x_i+(2*h1(n1+1));
end
x_i=2*h1(n1+1);
sum2_1=0;
while(x_i<b1)
    sum2_1=sum2_1+feval(f1,x_i);
    x_i=x_i+(2*h1(n1+1));
end
int1(n1+1)=(b1-a1)/(2*(n1+1))/3*(feval(f1,a1)+(4*sum1_1)+(2*sum2_1)+feval(f1,b1));
n1=2;
while (abs(int1(n1)-int1(n1-1))>(0.001/int2(n2)/int3(n3)))
    h1(n1+1)=(b1-a1)/(2*(n1+1));
    x_i=h1(n1+1);
    sum1_1=0;
    while(x_i<b1)
        sum1_1=sum1_1+feval(f1,x_i);
        x_i=x_i+(2*h1(n1+1));
    end
    x_i=2*h1(n1+1);
    sum2_1=0;
    while(x_i<b1)
        sum2_1=sum2_1+feval(f1,x_i);
        x_i=x_i+(2*h1(n1+1));
    end
    int1(n1+1)=(b1-a1)/(2*n1)/3*(feval(f1,a1)+(4*sum1_1)+(2*sum2_1)+feval(f1,b1));
    %fprintf('i=%.2f\n',x_i);
    fprintf('int1(%.i)=%.4f\n',n1,int1(n1));
    n1=n1+1;
end
int=4*int1(n1)*int2(n2)*int3(n3);
fprintf('Объём равен %.3f',int);

Почему так получается?

Добавлено через 8 минут
Или не стоит точность делить на другие интегралы и тогда количество итераций равно 2. И тогда цикл while поменять на for с заранее вычисленным количеством циклов?

Добавлено через 13 минут
Но тогда интеграл от r^2 требует 6 итераций. Что с реальностью плохо сочетается.
Забыл указать, что интеграл считаю в сферических координатах то есть
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?4\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}d\varphi \int_{0}^{5}{\rho }^{2}d\rho \int_{0}^{\frac{\pi }{2}}sin\Theta d\Theta$

Добавлено через 38 минут
А не, про 6 итераций чушь написал

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Символические и жёсткие ссылки в Linux. algri14 15.03.2026 Существует два типа ссылок — символические и жёсткие. Ссылка в Linux — это дополнительная запись в каталоге, которая может указывать либо на inode «файла-ИСТОЧНИКА», тогда это будет «жёсткая. . .	[Owen Logic] Поддержание уровня воды в резервуаре количеством включённых насосов: моделирование и выбор регулятора ФедосеевПавел 14.03.2026 Поддержание уровня воды в резервуаре количеством включённых насосов: моделирование и выбор регулятора ВВЕДЕНИЕ Выполняя задание на управление насосной группой заполнения резервуара,. . .	делаю науч статью по влиянию грибов на сукцессию anaschu 13.03.2026 прикрепляю статью	SDL3 для Desktop (MinGW): Создаём пустое окно с нуля для 2D-графики на SDL3, Си и C++ 8Observer8 10.03.2026 Содержание блога Финальные проекты на Си и на C++: hello-sdl3-c. zip hello-sdl3-cpp. zip Результат:
Установка CMake и MinGW 13.1 для сборки С и C++ приложений из консоли и из Qt Creator в EXE 8Observer8 10.03.2026 Содержание блога MinGW - это коллекция инструментов для сборки приложений в EXE. CMake - это система сборки приложений. Здесь описаны базовые шаги для старта программирования с помощью CMake и. . .	Как дизайн сайта влияет на конверсию: 7 решений, которые реально повышают заявки Neotwalker 08.03.2026 Многие до сих пор воспринимают дизайн сайта как “красивую оболочку”. На практике всё иначе: дизайн напрямую влияет на то, оставит человек заявку или уйдёт через несколько секунд. Даже если у вас. . .	Модульная разработка через nuget packages DevAlt 07.03.2026 Сложившийся в . Net-среде способ разработки чаще всего предполагает монорепозиторий в котором находятся все исходники. При создании нового решения, мы просто добавляем нужные проекты и имеем. . .	Модульный подход на примере F# DevAlt 06.03.2026 В блоге дяди Боба наткнулся на такое определение: В этой книге («Подход, основанный на вариантах использования») Ивар утверждает, что архитектура программного обеспечения — это структуры,. . .