Построить часовые диаграммы работы прибора оптимальной оценки неизвестной амплитуды радиоимпульса.

Оценка энергетических параметров
Параметры радиосигнала разделяют на энергетические и неэнергетические. Энергетическими называют параметры, от которых зависит энергия сигнала.
E=A^2/2 T
А, Т – энергетические параметры. ω, τ, φ – неэнергетические.
В качестве примера рассмотрим оценку амплитуды А радиосигнала S(t,A)=AS_0 (t), S_0 (t) – сигнал единичной амплитуды.
Постановка задачи.
z(t)=AS_0 (t)+n(t), t∈[0,T]
А – случайная амплитуда, n(t) – ГБШ, K_n (τ)=N_0/2 δ(τ).
Используем критерий МП:
λ ̂_МП=〖max^(-1)〗┬λ L(λ)
или
├ (dL(λ))/dλ=0┤|_(λ=λ ̂ )
L(λ)=k∙exp{-1/N_0 ∫_0^T▒〖(z(t)-AS_0 (t))^2 dt〗}
функция правдоподобия для данной задачи.
Логарифм функции правдоподобия:
ln⁡(L(A))=lnk-1/N_0 ∫_0^T▒〖(z(t)-AS_0 (t))^2 dt〗
Поскольку ln⁡(L(λ)) монотонно возрастающая функция:
├ (d ln⁡(L(λ)))/dλ=0┤|_( λ=λ ̂ )
(d ln⁡L(λ))/dλ=(d ln⁡L(A))/dA=-1/N_0 ∫_0^T▒〖2(z(t)-AS_0 (t)) S_0 (t)dt〗=0_( A=A ̂ )
∫_0^T▒〖z(t)S_0 (t)dt〗=A ̂∫_0^T▒〖〖S_0〗^2 (t)dt〗
A ̂=1/E_0 ∫_0^T▒〖z(t)S_0 (t)dt〗
Корреляционный приемник для этой задачи имеет вид





если z(t)=A_0 S_0 (t) (помеха отсутствует), то A ̂=A.
Определим математическое ожидание оценки A ̂ (смещение):
M[A ̂ ]=〈A ̂ 〉=〈1/E_0 ∫_0^T▒〖(AS_0 (t)+n(t)) S_0 (t)dt〗〉=
=1/E_0 (A∫_0^T▒〖〖S_0〗^2 (t)dt〗+∫_0^T▒〖S_0 (t)〈n(t)〉dt〗)=1/E_0 AE_0=A
Оценка амплитуды является несмещенной.
Определим дисперсию ошибки оценки:
ε=A ̂-A=1/E_0 ∫_0^T▒〖(AS_0 (t)+n(t)) S_0 (t)dt〗-A=
=A+1/E_0 ∫_0^T▒〖n(t)S(t)dt〗-A=1/E_0 ∫_0^T▒〖n(t)S(t)dt〗
〖σ_ε〗^2=M[ε^2 ]=〈ε^2 〉=〈(1/E_0 ∫_0^T▒〖n(t) S_0 (t)dt〗)^2 〉=
=〈1/〖E_0〗^2 ∫_0^T▒〖n(t_1 ) S_0 (t_1 )dt_1 〗 ∫_0^T▒〖n(t_2 ) S_0 (t_2 )dt_2 〗〉=
=1/〖E_0〗^2 ∫_0^T▒∫_0^T▒〖〈n(t_1 )n(t_2 )〉 S_0 (t_1 ) S_0 (t_2 )dt_1 dt_2 〗=
=1/〖E_0〗^2 ∫_0^T▒〖N_0/2 〖S_0〗^2 (t_1 )dt_1 〗=N_0/(2〖E_0〗^2 ) E_0=N_0/(2E_0 )
Относительная дисперсия
〖σ_ε〗^2/A^2 =N_0/(2E_0 A^2 )=N_0/2E=h^(-2)
обратно пропорциональна ОСШ. Точность оценки тем выше, чем больше отношение энергии сигнала и спектральной плотности шума.