Экстремум функции: Найти прямоугольный треугольник наибольшей площади из всех, у которых сумма катета и гипотенузы равна a.

@Ater Felis · Регистрация: 08.06.2013

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Здравствуйте, помогите пожалуйста.

Задание:
Найти прямоугольный треугольник наибольшей площади из всех, у которых сумма катета и гипотенузы равна a.

Для решения использовать следующую математическую модель:

Обозначим один из катетов треугольника через k1, тогда гипотенуза будет равна a-k1, а другой катет, по теореме Пифагора будет равен:

sqrt( (a-k1)² - k1² ) = sqrt( a²-2*a*k1 ).

Площадь треугольника S(x) = 1/2 * k1 * sqrt( a²-2*a*k1 ), так как S(k1₀) должна быть максимальной, то S'(k1₀)=0 или S'(k1) не существует. Находим производную:

S'= 1/2 ( sqrt( a²-2*a*k1 ) + (k1*(-2a)) / (2 * (sqrt( a²-2*a*k1 ))) =
= (a² -2 * a * k1) / (2 * (sqrt( a²-2*a*k1 )) =
= (a² - 3 *a * k1) / (2 * (sqrt( a²-2*a*k1 )).

S'(k1) не существует, если k1=a/2, но тогда катет окажется равным гипотенузе, что невозможно. S'(k1)=0 , если a(a-3*k1)=0. Тогда k1=a/3.
Проверяем является ли эта точка точкой максимума. При k1 in (0 ; a/3), а при k1 in (a/3 ; a/2) A'(k1)<0. Таким образом при k1= a/3 площадь треугольника будет наибольшей.
Возьмём в качестве примера a=90. В таком случае k1= 90/3 = 30, значит, g=90-30=60. По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, следовательно k2=51.96.
Площадь прямоугольного треугольника равна:

S = 1/2 (k1 * k2).

Подставляя наши значения получаем:

S = 1/2(30*51.96)=779.4229

Это и должно быть максимальной площадью заданного прямоугольного треугольника.

Так же необходимо построить график функции и обозначить точку максимума.

Добавлено через 7 минут
Забыл написать: g - обозначение гипотенузы

Зосима · 27.06.2013, 20:47

Вот что выходит

Matlab M
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
clear, clc
 
syms k a
S = 1/2 * k * sqrt( a^2-2*a*k )
dS = simplify(diff(S,k))
kmax = solve(dS,k)
Smax = simplify(subs(S,k,kmax))
clear all
% графики
a = 60:20:120;
for i = 1:length(a)
k(:,i) = 10:50;
s(:,i) = real(1/2*k(:,i).*sqrt(a(i)^2-2*a(i)*k(:,i)));
t(:,i) = [a(i)/3 a(i)/3];
y(:,i) = [0 max(s(:,i))];
str(i) = {['a=',num2str(a(i))]};
end
plot(k,s, t,y,':')
legend(str,2)
xlabel('k')
ylabel('S')

И графики:

Экстремум функции: Найти прямоугольный треугольник наибольшей площади из всех, у которых сумма катета и гипотенузы равна a.

@Ater Felis · 27.06.2013, 21:04 **[ТС]**

Огромное спасибо)) А я-то в циклах запуталась очень сильно)))

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
SDL3 для Web (WebAssembly): Обработчик клика мыши в браузере ПК и касания экрана в браузере на мобильном устройстве 8Observer8 02.02.2026 Содержание блога Для начала пошагово создадим рабочий пример для подготовки к экспериментам в браузере ПК и в браузере мобильного устройства. Потом напишем обработчик клика мыши и обработчик. . .	Философия технологии iceja 01.02.2026 На мой взгляд у человека в технических проектах остается роль генерального директора. Все остальное нейронки делают уже лучше человека. Они не могут нести предпринимательские риски, не могут. . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Вывод текста со шрифтом TTF с помощью SDL3_ttf 8Observer8 01.02.2026 Содержание блога В этой пошаговой инструкции создадим с нуля веб-приложение, которое выводит текст в окне браузера. Запустим на Android на локальном сервере. Загрузим Release на бесплатный. . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Сборка C/C++ проекта из консоли 8Observer8 30.01.2026 Содержание блога Если вы откроете примеры для начинающих на официальном репозитории SDL3 в папке: examples, то вы увидите, что все примеры используют следующие четыре обязательные функции, а. . .
SDL3 для Web (WebAssembly): Установка Emscripten SDK (emsdk) и CMake для сборки C и C++ приложений в Wasm 8Observer8 30.01.2026 Содержание блога Для того чтобы скачать Emscripten SDK (emsdk) необходимо сначало скачать и уставить Git: Install for Windows. Следуйте стандартной процедуре установки Git через установщик. . . .	SDL3 для Android: Подключение Box2D v3, физика и отрисовка коллайдеров 8Observer8 29.01.2026 Содержание блога Box2D - это библиотека для 2D физики для анимаций и игр. С её помощью можно определять были ли коллизии между конкретными объектами. Версия v3 была полностью переписана на Си, в. . .	Инструменты COM: Сохранение данный из VARIANT в файл и загрузка из файла в VARIANT bedvit 28.01.2026 Сохранение базовых типов COM и массивов (одномерных или двухмерных) любой вложенности (деревья) в файл, с возможностью выбора алгоритмов сжатия и шифрования. Часть библиотеки BedvitCOM Использованы. . .	SDL3 для Android: Загрузка PNG с альфа-каналом с помощью SDL_LoadPNG (без SDL3_image) 8Observer8 28.01.2026 Содержание блога SDL3 имеет собственные средства для загрузки и отображения PNG-файлов с альфа-каналом и базовой работы с ними. В этой инструкции используется функция SDL_LoadPNG(), которая. . .

@Ater Felis 0 / 0 / 0 Регистрация: 08.06.2013 Сообщений: 9

	Экстремум функции: Найти прямоугольный треугольник наибольшей площади из всех, у которых сумма катета и гипотенузы равна a. 27.06.2013, 17:00. Показов 17171. Ответов 2 Метки нет (Все метки) Здравствуйте, помогите пожалуйста. Задание: Найти прямоугольный треугольник наибольшей площади из всех, у которых сумма катета и гипотенузы равна a. Для решения использовать следующую математическую модель: Обозначим один из катетов треугольника через k1, тогда гипотенуза будет равна a-k1, а другой катет, по теореме Пифагора будет равен: sqrt( (a-k1)² - k1² ) = sqrt( a²-2ak1 ). Площадь треугольника S(x) = 1/2 * k1 * sqrt( a²-2ak1 ), так как S(k1₀) должна быть максимальной, то S'(k1₀)=0 или S'(k1) не существует. Находим производную: S'= 1/2 ( sqrt( a²-2ak1 ) + (k1(-2a)) / (2 (sqrt( a²-2ak1 ))) = = (a² -2 * a * k1) / (2 * (sqrt( a²-2ak1 )) = = (a² - 3 a k1) / (2 * (sqrt( a²-2ak1 )). S'(k1) не существует, если k1=a/2, но тогда катет окажется равным гипотенузе, что невозможно. S'(k1)=0 , если a(a-3k1)=0. Тогда k1=a/3. Проверяем является ли эта точка точкой максимума. При k1 in (0 ; a/3), а при k1 in (a/3 ; a/2) A'(k1)<0. Таким образом при k1= a/3 площадь треугольника будет наибольшей. Возьмём в качестве примера a=90. В таком случае k1= 90/3 = 30, значит, g=90-30=60. По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, следовательно k2=51.96. Площадь прямоугольного треугольника равна: S = 1/2 (k1 k2). Подставляя наши значения получаем: S = 1/2(3051.96)=779.4229 Это и должно быть максимальной площадью заданного прямоугольного треугольника. Так же необходимо построить график функции и обозначить точку максимума. Добавлено через 7 минут* Забыл написать: g - обозначение гипотенузы 0

@Ater Felis 0 / 0 / 0 Регистрация: 08.06.2013 Сообщений: 9
	27.06.2013, 21:04 [ТС]
	Огромное спасибо)) А я-то в циклах запуталась очень сильно))) 0